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1、2.6 電位微分方程與邊值問題,2.6.1 泊松方程與拉普拉斯方程,推導(dǎo)電位微分方程的基本出發(fā)點是靜電場的基本方程：,泊松方程,注意：泊松方程與拉普拉斯方程只適用于各向同性、線性的均勻媒質(zhì)。,拉普拉斯方程,拉普拉斯算子,圖2.6.2 邊值問題框圖,,,,,,,,微分方程,邊界條件,邊值問題,2.6.2 邊值問題,場域邊界條件,1）第一類邊界條件（狄里赫利條件Dirichlet),2）第二類邊界條件（諾依曼條件 Neumann),3）第三類邊界條件（若賓條件 Robin),已知邊界上電位及電位法向?qū)?shù)的線性組合,已知邊界上的電位分布,已知邊界上電位的法向?qū)?shù)(對于導(dǎo)體，即電荷面密度 ，或電力
2、線),求解邊值問題注意事項：,1根據(jù)求解場域內(nèi)是否有 存在，決定電位滿足泊松方程還是拉氏方程，然后判斷場域是否具有對稱性，以便選擇適當?shù)淖鴺讼怠?2正確表達邊界條件，并利用它們確定通解的待定常數(shù)。,3若所求解的場域內(nèi)有兩個（或以上）的均勻介質(zhì)區(qū)域，應(yīng)分區(qū)求解。不能用一個電位函數(shù)表達兩個區(qū)域的情況。這時會出現(xiàn)4個積分常數(shù)，還需考慮介質(zhì)分界面上的銜接條件來確定積分常數(shù)。,4.對于開域問題，還需給出無限遠處的自然邊界條件。當場域有限分布時，應(yīng)有：,即： 至少按一次方反比變化，通常可簡單取,自然邊界條件,例2.4.1 列出求解區(qū)域的微分方程,圖2.6.1 三個不同媒質(zhì)區(qū)域的靜電場,,邊值問題 研究方法
3、,解析法,數(shù)值法,實測法,模擬法,定性,定量,積分法,分離變量法,鏡像法、電軸法,微分方程法,保角變換法,有限差分法,有限元法,邊界元法,矩量法,模擬電荷法,數(shù)學(xué)模擬法,物理模擬法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,圖2.6.3 邊值問題研究方法框圖,,計算法,實驗法,作圖法,例2.6.1 圖示長直同軸電纜橫截面。已知纜芯截面是一邊長為2b的正方形，鉛皮半徑為a，內(nèi)外導(dǎo)體之間電介質(zhì)的介電常數(shù)為 ，并且在兩導(dǎo)體之間接有電源 U0，試寫出該電纜中靜電場的邊值問題。,解：根據(jù)場分布對稱性，確定場域。,（陰影區(qū)域， 1/4原區(qū)域）,場的邊值問題,圖 2.6.4 纜心為正
4、方形的同軸電纜橫截面,邊界條件,積分得通解,例2.6.2 設(shè)有電荷均勻分布在半徑為a 的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度為 ，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場。,解: 采用球坐標系,分區(qū)域建立方程,參考點電位,圖 2.6.5 體電荷分布的球形域電場,解得,電場強度（球坐標梯度公式）：,對于一維場（場量僅僅是一個坐標變量的函數(shù)）求解過程： (1)對二階常系數(shù)微分方程積分兩次，得到通解 (2)利用邊界條件求得積分常數(shù)，得到電位的解 (3)再由 得到電場強度 E 的分布。,電位：,2. 唯一性定理的重要意義, 可判斷靜電場問題的解的正確性：,2.6.2 唯一性定理,1、唯一性定理,,在靜電場中滿足給定邊界條件的電位微分方程（泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的，稱之為靜電場的唯一性定理。, 唯一性定理為靜電場問題的多種解法(試探解、數(shù)值解、解析解等）提供了思路及理論根據(jù)。,例2.6.3 圖示平板電容器的電位，哪一個解答正確？,答案：（ C ）,圖 2.6.7 平板電容器外加電源U0,思路：將邊界條件代入，看是否滿足,作業(yè)： 2.12，2.15，2.17，2.19,
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