《高數(shù)課件-點積叉積(高等教育出版社).ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高數(shù)課件-點積叉積(高等教育出版社).ppt（27頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、,*三、向量的混合積,第二節(jié),一、兩向量的數(shù)量積,二、兩向量的向量積,數(shù)量積 向量積 *混合積,第八章,一、兩向量的數(shù)量積,沿與力夾角為,的直線移動,1. 定義,設(shè)向量,的夾角為 ,稱,數(shù)量積,(點積) .,故,2. 性質(zhì),為兩個非零向量,則有,3. 運算律,(1) 交換律,(2) 結(jié)合律,(3) 分配律,事實上, 當(dāng),時, 顯然成立 ;,例1. 證明三角形余弦定理,證: 如圖 .,則,設(shè),4. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示,設(shè),則,當(dāng),為非零向量時,由于,兩向量的夾角公式, 得,例2. 已知三點, AMB .,解:,則,求,故,為 ) .,求單位時間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P (流體密度,例3. 設(shè)均
2、勻流速為,的流體流過一個面積為 A 的平,面域 ,與該平面域的單位垂直向量,解:,單位時間內(nèi)流過的體積:,的夾角為,且,二、兩向量的向量積,引例. 設(shè)O 為杠桿L 的支點 ,有一個與杠桿夾角為,符合右手規(guī)則,1. 定義,定義,向量,方向 :,(叉積),記作,且符合右手規(guī)則,模 :,向量積 ,引例中的力矩,思考: 右圖三角形面積,S,2. 性質(zhì),為非零向量, 則,3. 運算律,(2) 分配律,(3) 結(jié)合律,(證明略),證明:,4. 向量積的坐標(biāo)表示式,設(shè),則,向量積的行列式計算法,( 行列式計算見上冊 P355P358 ),例4. 已知三點,角形 ABC 的面積 .,解: 如圖所示,求三,一點
3、 M 的線速度,例5. 設(shè)剛體以等角速度 繞 l 軸旋轉(zhuǎn),導(dǎo)出剛體上,的表示式 .,解: 在軸 l 上引進一個角速度向量,使,其,在 l 上任取一點 O,作,它與,則,點 M離開轉(zhuǎn)軸的距離,且,符合右手法則,的夾角為 ,方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則 ,向徑,*三、向量的混合積,1. 定義,已知三向量,稱數(shù)量,混合積 .,幾何意義,為棱作平行六面體,底面積,高,故平行六面體體積為,則其,2. 混合積的坐標(biāo)表示,設(shè),3. 性質(zhì),(1) 三個非零向量,共面的充要條件是,(2) 輪換對稱性 :,(可用三階行列式推出),例6. 已知一四面體的頂點,4 ) , 求該四面體體積 .,解: 已知四面體的體積等于
4、以向量,為棱的平行六面體體積的,故,例7. 已知 A (1,2,0)、B (2,3,1)、C (4,2,2)、,四點共面, 求點 M 的坐標(biāo) x、y、z 所滿足的方程.,解: A、B、 C、M 四點共面,展開行列式即得點 M 的坐標(biāo)所滿足的方程,即,內(nèi)容小結(jié),設(shè),1. 向量運算,加減:,數(shù)乘:,點積:,叉積:,混合積:,2. 向量關(guān)系:,思考與練習(xí),1. 設(shè),計算,并求,夾角 的正弦與余弦 .,答案:,2. 用向量方法證明正弦定理:,證: 由三角形面積公式,所以,因,P22 3 , 4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 12,第三節(jié),作業(yè),備用題,1. 已知向量,的夾角,且,解：,在頂點為,三角形中,求 AC 邊上的高 BD .,解：,三角形 ABC 的面積為,2.,而,故有,
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