2007-2010年考研數(shù)學(xué)二真題及部分答案()

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1、 2010年考研數(shù)學(xué)二真題（強(qiáng)烈推薦） 一 填空題(8×4=32分) 2009年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題 一、選擇題：1~8小題，每小題8分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。 （1）函數(shù)與是等價(jià)無(wú)窮小，則（） （A）1 （B）2 （C）3 （D）無(wú)窮多個(gè)

2、 （2）當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，則（） （A） （B） （C） （D） （3）設(shè)函數(shù)的全微分為，則點(diǎn)（0，0）（） （A）不是的連續(xù)點(diǎn) （B）不是的極值點(diǎn) （C）是的極大值點(diǎn) （D）是的極小值點(diǎn) （4）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則=（） （A） （B） （C） （D） （5）若不變號(hào)，且曲線在點(diǎn)（1，1）的曲率圓為，則在區(qū)間（1，2）內(nèi)（） （A）有極值點(diǎn)，無(wú)零點(diǎn) （B）無(wú)極值點(diǎn)，有零點(diǎn) （C）有極值點(diǎn)，有零點(diǎn) （D）無(wú)極值點(diǎn)，無(wú)零點(diǎn) （6）設(shè)函數(shù)在區(qū)間[-1,3]上的圖形為 則函數(shù)為（） （7）設(shè)Ａ、B均為2階矩陣，分別為A、B的伴隨矩陣。

3、若|A|=2，|B|=3，則分塊矩陣的伴隨矩陣為（） （A） （B） （C） （D） （8）設(shè)A，P均為3階矩陣，為P的轉(zhuǎn)置矩陣，且AＰ＝，若 ，則為（） （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 二、填空題：9-14 小題，每小題 4分，共 24 分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上。 （9）曲線在（0，0）處的切線方程為____________ （10）已知，則k=____________ （11）=___________ （12）設(shè)是方程確定的隱函數(shù)，則=____________ （13）函數(shù)在區(qū)間(0,1]上的最小值為_________ （14）設(shè)為3維列向量，為的轉(zhuǎn)置，若相似

4、于，則 =___________ 三、解答題：15-23 小題，共 94 分。請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 （15）（本題滿分9分）求極限 （16）（本題滿分10分）計(jì)算不定積分 （17）（本題滿分10分）設(shè)，其中具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求與 （18）（本題滿分10分）設(shè)非負(fù)函數(shù)y=y(x)(x0)，滿足微分方程，當(dāng)曲線 y=y(x)過原點(diǎn)時(shí)，其與直線x=1及y=0圍成平

5、面區(qū)域的面積為2，求D繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。 （19）（本題滿分10分）求二重積分，其中 （20）（本題滿分12分）設(shè)y=y(x)是區(qū)間內(nèi)過點(diǎn)的光滑曲線，當(dāng) 時(shí)，曲線上任一點(diǎn)處的發(fā)現(xiàn)都過原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)y(x)滿足 。求y(x)的表達(dá)式。 （21）（本題滿分11分）（I）證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，在（a,b）可導(dǎo)，則存在，使得。（II）證明：若函數(shù)在x=0處連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且則 存在，且

6、。 （22）（本題滿分11分）設(shè) （I）求滿足的所有向量； （II）對(duì)（I）中的任一向量，證明：線性無(wú)關(guān)。 （23）（本題滿分11分）設(shè)二次型 （I）求二次型的矩陣的所有特征值；（II）若二次型的規(guī)范形為，求a的值。 2008考研數(shù)學(xué)二真題 一、選擇題：（本題共8小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)） (1)設(shè)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )． (A)

7、0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． (2)曲線方程為，函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定積分在幾何上表示( )． (A) 曲邊梯形的面積． (B) 梯形的面積． (C) 曲邊三角形面積． (D) 三角形面積． (3)在下列微分方程中，以（為任意的常數(shù)）為通解的是( )． (A) . (B) . (C) . (D) . (4) 判定函數(shù)間斷點(diǎn)的情況( )． (A) 有1可去間斷點(diǎn)，1跳躍間斷點(diǎn)．(B) 有1跳躍間斷點(diǎn)，1無(wú)窮間斷點(diǎn)． (C) 有2個(gè)無(wú)窮

8、間斷點(diǎn). (D)有2個(gè)跳躍間斷點(diǎn). (5)設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界，為數(shù)列，下列命題正確的是( )． (A) 若收斂，則收斂 (B) 若單調(diào)，則收斂 (C) 若收斂，則收斂. (D) 若單調(diào)，則收斂. (6)設(shè)函數(shù)連續(xù)，若，其中區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，則( )． (A) (B) (C) (D) (7)設(shè)為階非零矩陣，為階單位矩陣．若，則下列結(jié)論正確的是( )． (A) 不可逆，不可逆. (B) 不可逆，可逆. (C) 可逆， 可逆.

9、 (D) 可逆， 不可逆. (8) 設(shè)，則在實(shí)數(shù)域上，與A合同矩陣為( )． (A) . (B) . (C) . (D) .　 二、填空題：（9－14小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上） (9)已知函數(shù)連續(xù)，且，則 (10)微分方程的通解是 . (11)曲線在點(diǎn)處的切線方程為 . (12)曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)為 . (13)設(shè)，則 . (14)設(shè)3階矩陣的特征值為．若行列式，則__________

10、_. 三、解答題(15－23小題，共94分)． (15)(本題滿分9分) 求極限． (16)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，其中是初值問題的解，求． (17)（本題滿分9分）計(jì)算． (18)(本題滿分11分)計(jì)算，其中． (19)(本題滿分11分)設(shè)是區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且．對(duì)任意的，直線，曲線以及軸所

11、圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成一旋轉(zhuǎn)體，若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面面積在數(shù)值上等于其體積的2倍，求函數(shù)的表達(dá)式． (20)(本題滿分11分) (I) 證明積分中值定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使得； (II) 若函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足，，證明至少存在一點(diǎn)，使得． (21)(本題滿分11分) 求函數(shù)在約束條件和下的最大值和最小值． (22) (本題滿分12分)． 設(shè)元

12、線性方程組，其中 ，，． （I）證明行列式； （II）當(dāng)為何值時(shí)，該方程組有惟一解，并求． （III）當(dāng)為何值時(shí)，該方程組有無(wú)窮多解，并求其通解． (23) (本題滿分10分)設(shè)為3階矩陣，為的分別屬于特征值的特征向量，向量滿足， (I)證明線性無(wú)關(guān)； (II)令，求． 2007年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二試題 一、選擇題：1～10小題，每小題4分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi). （1）當(dāng)

13、時(shí)，與等價(jià)的無(wú)窮小量是 （A） （B） （C） （D） [ ] （2）函數(shù)在上的第一類間斷點(diǎn)是 （ ） （A）0 （B）1 （C） （D） （3）如圖，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是： （A） (B) （C） （D） [ ]

14、（4）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是： （A）若存在，則 （B）若存在，則 . （B）若存在，則 （D）若存在，則. [ ] （5）曲線的漸近線的條數(shù)為 （A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ] （6）設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，令，則下列結(jié)論正確的是： (A) 若 ，則必收斂. (B) 若

15、，則必發(fā)散 (C) 若 ，則必收斂. (D) 若 ，則必發(fā)散. [ ] （7）二元函數(shù)在點(diǎn)處可微的一個(gè)充要條件是 （A）. （B）. （C）. （D）. （8）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于 （A） （B） （C） （D） （9）設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是 線性相關(guān)，則 (A) (B) (C) . (D) . [ ] （10）設(shè)矩陣，則與 (A) 合同且相似 （B）合同，但不相似. (C) 不合同，但相

16、似. (D) 既不合同也不相似 [ ] 二、填空題：11～16小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上. （11） __________. （12）曲線上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的法線斜率為_________. （13）設(shè)函數(shù)，則________. （14） 二階常系數(shù)非齊次微分方程的通解為________. （15） 設(shè)是二元可微函數(shù)，，則 __________. （16）設(shè)矩陣，則的秩為 . 三、解答題：17～24小題，共86分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. （17） (本

17、題滿分10分) 設(shè)是區(qū)間上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，且滿足，其中是的反函數(shù)，求. （18）（本題滿分11分）設(shè)是位于曲線下方、軸上方的無(wú)界區(qū)域. （Ⅰ）求區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積； （Ⅱ）當(dāng)為何值時(shí)，最??？并求此最小值. （19）（本題滿分10分）求微分方程滿足初始條件的特解 （20）（本題滿分11分）已知函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，函數(shù)由方程所確定，設(shè)，求. （21） (本題滿分11分)設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，，證明：存在，使得. （22） (本題滿分11分)設(shè)二元函數(shù)，計(jì)算二重積分，其中. （23） (本題滿分11分) 設(shè)線性方程組與方程有公共解，求的值及所有公共解.