2011-2012年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 推理與證明（含解析）

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1、推理與證明1（2011年天津）對實數(shù)和，定義運(yùn)算“”：設(shè)函數(shù)若函數(shù)的圖像與軸恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是A B C D【答案】B2（2011年山東）設(shè)，是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點，若（R），（R），且,則稱，調(diào)和分割，,已知平面上的點C，D調(diào)和分割點A，B則下面說法正確的是AC可能是線段AB的中點 BD可能是線段AB的中點CC，D可能同時在線段AB上 DC，D不可能同時在線段AB的延長線上【答案】D3.（2011年湖北）若實數(shù)a,b滿足且，則稱a與b互補(bǔ)，記，那么是a與b互補(bǔ)的A必要而不充分的條件 B充分而不必要的條件C充要條件 D即不充分也不必要的條件【答案】C4.（2011年福

2、建）設(shè)V是全體平面向量構(gòu)成的集合，若映射滿足：對任意向量a=（x1，y1）V，b=（x2，y2）V，以及任意R，均有則稱映射f具有性質(zhì)P?，F(xiàn)給出如下映射：其中，具有性質(zhì)P的映射的序號為_。（寫出所有具有性質(zhì)P的映射的序號）【答案】5.（2011年湖南）對于,將n 表示,當(dāng)時，,當(dāng)時, 為0或1記為上述表示中ai為0的個數(shù)（例如：）,故, ）,則（1）_;（2） _;【答案】2 10936.（2011年四川）函數(shù)的定義域為A，若時總有為單函數(shù)例如，函數(shù)=2x+1（）是單函數(shù)下列命題：函數(shù)=（xR）是單函數(shù)；若為單函數(shù)，若f：AB為單函數(shù)，則對于任意bB，它至多有一個原象；函數(shù)f（x）在某區(qū)間上具

3、有單調(diào)性，則f（x）一定是單函數(shù)其中的真命題是 （寫出所有真命題的編號）答案：解析 ：錯，正確7.（2011年山東）設(shè)函數(shù),觀察:根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當(dāng)且時， .【答案】8.（2011年陜西）觀察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此規(guī)律，第個等式為 ?！敬鸢浮?.（2012陜西高考卷T114分）觀察下列不等式，照此規(guī)律，第五個不等式為 【答案】【解析】觀察這幾個不等式可以發(fā)現(xiàn)左邊分母從1、2、3、4、5的平方依次增加1后的平方，分子全是1，右邊分母是左邊最后一項的分母的底數(shù)，分子式左邊后兩分母底數(shù)的和，于是有：【點評】該題主要考察

4、歸納推理，從給出的幾個不等式的特征猜測出一般的規(guī)律正是歸納推理的本質(zhì)所在.10.（2012天津高考卷T144分）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是_.【答案】（0，1）或（1，4）【命題透析】本題考查了函數(shù)的圖象，以兩圖象相交于兩點為載體，求實數(shù)的取值范圍，意在考杳考生的數(shù)形結(jié)合思想與綜合分析問題的能力.【思路點撥】先簡化函數(shù)為，再在同一直角坐標(biāo)系下畫出兩函數(shù)的圖象，（略），在時，有兩交點的實數(shù)的取值范圍為（1，4），當(dāng)時，有兩交點的實數(shù)的取值范圍為，所以實數(shù)實數(shù)的取值范圍為（0，1）或（1，4）.【技巧點撥】畫圖尋找兩圖象有兩交點的位置是解題的關(guān)鍵，其次以平行線為依

5、據(jù)或以個別特殊點對就的斜率值作為解題的基本點.11.（2012重慶高考卷T105分）設(shè)平面點集，則所表示的平面圖形的面積為（A） （B） （C） （D） 答案Dxy0解析 則滿足上述條件的區(qū)域為如圖所示的圓內(nèi)部分和，因為的圖象都關(guān)于直線y=x對稱，所以和區(qū)域的面積相等，和區(qū)域的面積相等，即圓內(nèi)部分和的面積之和為單位圓面積的一半，即點評考查線性規(guī)劃中可行域的畫法，突破常規(guī)，難度較大，需要考生有扎實的基礎(chǔ)儲備和靈活的轉(zhuǎn)化能力；而另一難點是要有敏銳的觀察力，能看到圖象的對稱性，否則問題的求解會落入定積分的復(fù)雜運(yùn)算中.所以在復(fù)習(xí)中既要重視雙基，又要善于創(chuàng)新，在變化中尋找不變.12.（2012山東高考卷

6、T164分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在（0,1），此時圓上一點P的位置在（0,0），圓在x軸上沿正向滾動.當(dāng)圓滾動到圓心位于（2,1）時，的坐標(biāo)為_.CD【答案】【解析】根據(jù)題意可知圓滾動了2單位個弧長，點P旋轉(zhuǎn)了弧度，此時點的坐標(biāo)為另解1：根據(jù)題意可知滾動自圓心為（2,1）時的圓的參數(shù)方程為，且，則點P的坐標(biāo)為，即.【點評】本題考察了三角函數(shù)與向量知識的靈活應(yīng)用，屬于知識點交匯處的題目.解決好本題的關(guān)鍵是充分利用圖象語言，屬于典型的數(shù)形結(jié)合法思想的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”，這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，做到心中有圖，見

7、數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野；結(jié)合新情境考查明年還會繼續(xù).13.（2012湖南高考卷T165分）設(shè)N=2n（nN*，n2），將N個數(shù)x1,x2,，xN依次放入編號為1,2，N的N個位置，得到排列P0=x1x2xN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對應(yīng)的前和后個位置，得到排列P1=x1x3xN-1x2x4xN，將此操作稱為C變換，將P1分成兩段，每段個數(shù)，并對每段作C變換，得到；當(dāng)2in-2時，將Pi分成2i段，每段個數(shù)，并對每段C變換，得到Pi+1，例如，當(dāng)N=8時，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時x7位于P2中的第4個位置.（1）當(dāng)N=16時，x7位于

8、P2中的第_個位置；（2）當(dāng)N=2n（n8）時，x173位于P4中的第_個位置.【答案】（1）6；（2）【解析】（1）當(dāng)N=16時,可設(shè)為,即為,即, x7位于P2中的第6個位置,；（2）方法同（1）,歸納推理知x173位于P4中的第個位置.【點評】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識，考查運(yùn)算能力，考查創(chuàng)造性解決問題的能力.需要在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)自己動腦的習(xí)慣，才可順利解決此類問題.14.（2012湖南高考卷T115分）某制藥企業(yè)為了對某種藥用液體進(jìn)行生物測定，需要優(yōu)選培養(yǎng)溫度，實驗范圍定為2963.精確度要求1.用分?jǐn)?shù)法進(jìn)行優(yōu)選時，能保證找到最佳培養(yǎng)溫度需要最少實驗次數(shù)為_.【答案】【解析】用分?jǐn)?shù)法計算

9、知要最少實驗次數(shù)為7.【點評】本題考查優(yōu)選法中的分?jǐn)?shù)法，考查基本運(yùn)算能力.15.（2012重慶高考卷T1613分）設(shè)其中，曲線在點處的切線垂直于軸.（） 求的值；（）求函數(shù)的極值.解析 求導(dǎo)后利用幾何意義求得參數(shù)，然后根據(jù)極值的定義求解.（）曲線在點處的切線垂直于軸，（）當(dāng)a=-1時，當(dāng)時，解得（舍去），因為當(dāng)時，時，所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值f(1)=3.點評考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)求極值，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的考查是高考必備問題，要熟悉他們之間的關(guān)系定理，能熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式和法則求解，屬中檔題.16.（2012山東高考卷T1812分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB

10、CD，DAB=60，F(xiàn)C平面ABCD，AEBD，CB=CD=CF.（）求證：BD平面AED；（）求二面角F-BD-C的余弦值.【解析】（）在等腰梯形ABCD中，ABCD，DAB=60，CB=CD,由余弦定理可知,即,在中，DAB=60，則為直角三角形，且.又AEBD，平面AED，平面AED，且，故BD平面AED；（）由（）可知，設(shè)，則,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，向量為平面的一個法向量.設(shè)向量為平面的法向量，則,即，取，則，則為平面的一個法向量.，而二面角F-BD-C的平面角為銳角，則二面角F-BD-C的余弦值為.【點評】本題考查本題考察了線面垂直的位置關(guān)系的判斷，和利用空間向量來求二面角的

11、余弦問題. 明年可以結(jié)合線面平行的知識進(jìn)行考察，二面角或者線面角的形式考察空間向量的應(yīng)用.17.（2012湖南高考卷T1812分）如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90，E是CD的中點.%:*中#國教育出版網(wǎng)（）證明：CD平面PAE；（）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積.【解析】解法1（如圖（1），連接AC，由AB=4，是的中點，所以所以而內(nèi)的兩條相交直線，所以CD平面PAE.（）過點作由（）CD平面PAE知，平面PAE.于是為直線與平面PAE所成的角，且.由知，為直線與平面所成的角.由題意，知因為所以由所以四邊形是平行四邊形，故于是在中，所以于是又梯形的面積為所以四棱錐的體積為解法2：如圖（2），以A為坐標(biāo)原點，所在直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)則相關(guān)的各點坐標(biāo)為：（）易知因為所以而是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以()由題設(shè)和（）知，分別是，的法向量，而PB與所成的角和PB與所成的角相等，所以由（）知，由故解得.又梯形ABCD的面積為，所以四棱錐的體積為 .【點評】本題考查空間線面垂直關(guān)系的證明，考查空間角的應(yīng)用，及幾何體體積計算.第一問只要證明即可，第二問算出梯形的面積和棱錐的高，由算得體積，或者建立空間直角坐標(biāo)系，求得高及其體積。