2011-2012年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 第二章數(shù)列（含解析）新人教版必修5

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1、數(shù)列1.（2012重慶高考卷T15分）在等差數(shù)列中，則的前5項(xiàng)和= A.7 B.15 C.20 D.25 答案B解析從點(diǎn)評(píng)考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.2.（2012四川高考卷T125分）設(shè)函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，則（ ）A、 B、 C、 D、答案D解析數(shù)列an是公差為的等差數(shù)列，且 即 得點(diǎn)評(píng)本題難度較大，綜合性很強(qiáng).突出考查了等差數(shù)列性質(zhì)和三角函數(shù)性質(zhì)的綜合使用，需考生加強(qiáng)知識(shí)系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)化學(xué)習(xí). 另外，隱蔽性較強(qiáng)，需要考生具備一定的觀察能力.3.（2012安徽高考卷T45分）公比為2的等比數(shù)列 的各項(xiàng)都是正數(shù)，且=16，則（ ）（A）4 （B）5 （C）6 （D）7【答案】

2、B【解析】利用等比數(shù)列性質(zhì).設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，故.【技巧點(diǎn)撥】等比數(shù)列運(yùn)算是注意整體運(yùn)算和等比數(shù)列的運(yùn)用，這樣可以提高解題效率，同時(shí)還應(yīng)該注意運(yùn)用選擇題的題型特征，廣開思路采用多種方法和技巧，快速突破.3（2011年四川）數(shù)列的首項(xiàng)為，為等差數(shù)列且若，則A0 B3 C8 D11【答案】B【解析】由已知知由疊加法4（2011年四川）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，設(shè)在上的最大值為，且的前項(xiàng)和為，則A3 B C2 D【答案】D【解析】由題意,在上，5（2011年上海）設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的無窮數(shù)列，是邊長(zhǎng)為的矩形面積（），則為等比數(shù)列的充要條件為A是等比數(shù)列。 B或是等比數(shù)列。C和均是等比數(shù)列

3、。D和均是等比數(shù)列，且公比相同?！敬鸢浮緿6（2011年全國(guó)大綱）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，公差，則A8 B7 C6 D5【答案】D7（2011年江西） 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足：，且=1那么=A1 B9 C10 D55【答案】A8（2011年福建）已知函數(shù)f（x）=e+x，對(duì)于曲線y=f（x）上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個(gè)點(diǎn)A,B,C，給出以下判斷：ABC一定是鈍角三角形ABC可能是直角三角形ABC可能是等腰三角形ABC不可能是等腰三角形其中，正確的判斷是A B C D【答案】B9.（2012北京高考卷T105分）已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1= ，S2=a3，則a2=_，Sn=_.答

4、案1，解析本題考查等差數(shù)列的基本計(jì)算，難度不大，因?yàn)?，所以點(diǎn)評(píng)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式是必須要掌握的內(nèi)容，并會(huì)熟練應(yīng)用.10（2011年湖南）設(shè)是等差數(shù)列，的前項(xiàng)和，且，則= 【答案】2511（2011年重慶）在等差數(shù)列中，則_【答案】7412（2011年北京）在等比數(shù)列an中，a1=，a4=-4，則公比q=_；_。2 【答案】13（2011年安徽）已知的一個(gè)內(nèi)角為120o，并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則的面積為_.【答案】14.（2012四川高考卷T2012分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)一切正整數(shù)都成立。（）求，的值；（）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)為何值時(shí)，最大？并求出的最大值

5、。解析取n=1,得 取n=2,得 又-，得 （1）若a2=0, 由知a1=0, (2)若a2, 由得： （2）當(dāng)a10時(shí),由（I）知，當(dāng) , (2+)an-1=S2+Sn-1所以，an=所以令所以，數(shù)列bn是以為公差，且單調(diào)遞減的等差數(shù)列.則 b1b2b3b7=當(dāng)n8時(shí)，bnb8=所以，n=7時(shí)，Tn取得最大值，且Tn的最大值為T7= 點(diǎn)評(píng)本小題主要從三個(gè)層面對(duì)考生進(jìn)行了考查. 第一，知識(shí)層面：考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、對(duì)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)；第二，能力層面：考查思維、運(yùn)算、分析問題和解決問題的能力；第三，數(shù)學(xué)思想：考查方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.15.（2012湖南高考卷T1912分）已知

6、數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，記A（n）=a1+a2+an，B（n）=a2+a3+an+1，C（n）=a3+a4+an+2，n=1,2， 來&源:中教網(wǎng)%（1） 若a1=1，a2=5，且對(duì)任意nN，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等差數(shù)列，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式.（2） 證明：數(shù)列 an 是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列.【解析】解（）對(duì)任意,三個(gè)數(shù)是等差數(shù)列，所以即亦即故數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.于是（）（）必要性：若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則對(duì)任意，有由知，均大于，于是即，所以三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.（）充分

7、性：若對(duì)于任意，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列，則，于是得即由有即，從而.因?yàn)椋?，故?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，綜上所述，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意nN，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及充要條件的證明.第一問由等差數(shù)列定義可得；第二問要從充分性、必要性兩方面來證明，利用等比數(shù)列的定義及性質(zhì)易得證.16.（2012重慶高考卷T2112分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，其中. （I）求證：是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列； （II）若，求證：，并給出等號(hào)成立的充要條件.解析 （）證明：（II）證明：當(dāng)n=1或n=2時(shí)，易知成立，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

8、上面不等式可化為設(shè)當(dāng)時(shí)，由已證結(jié)論得：綜上所述，當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)n=1,2或時(shí)等號(hào)成立.點(diǎn)評(píng)考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系、等比數(shù)列的證明，求和公式及不等式的證明，考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，以及對(duì)分類討論思想、函數(shù)思想等常用數(shù)學(xué)思想方法的熟練程度，充分體現(xiàn)了數(shù)列的函數(shù)性，難度很大，平時(shí)復(fù)習(xí)中不宜過多涉及.17.（2012安徽高考卷T2113分）數(shù)列滿足：.（I）證明：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是；（II）求的取值范圍，使數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.【解題指導(dǎo)】本題考查數(shù)列概念及其性質(zhì)，不等式及其性質(zhì)，充要條件的意義，數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題的能力，推理論證和運(yùn)算求解的能

9、力.【解析】（I）必要條件當(dāng)時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列； 充分條件數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列.得：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是.（II）由（I）得：.當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，與同號(hào)，由，.當(dāng)時(shí)，存在，使與異號(hào).與數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列矛盾，得：當(dāng)時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.【規(guī)律總結(jié)】安徽高考理科對(duì)數(shù)列的考查一般以等差等比數(shù)列求通項(xiàng)、求前項(xiàng)和為主要形式，淡化遞推公式的運(yùn)用，有時(shí)也結(jié)合函數(shù)性質(zhì)、不等式強(qiáng)化綜合性，增加難度，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解題.十分注重推理能力的考察，但推理能力不再是數(shù)列遞推，而是常用邏輯中的充分必要條件，安徽高考已經(jīng)不止一次這樣考察了，2010年對(duì)數(shù)列的考查是這樣的，今年也是，這一點(diǎn)要引

10、起我們的重視.18（2011年江蘇）設(shè)部分為正整數(shù)組成的集合，數(shù)列，前n項(xiàng)和為，已知對(duì)任意整數(shù)kM，當(dāng)整數(shù)都成立 （1）設(shè)的值； （2）設(shè)的通項(xiàng)公式本小題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系、等差數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考生分析探究及邏輯推理的能力，滿分16分。解：（1）由題設(shè)知，當(dāng)， 即， 從而 所以的值為8。 （2）由題設(shè)知，當(dāng) ， 兩式相減得所以當(dāng)成等差數(shù)列，且也成等差數(shù)列從而當(dāng)時(shí)，（*）且，即成等差數(shù)列，從而，故由（*）式知當(dāng)時(shí)，設(shè)當(dāng)，從而由（*）式知故從而，于是因此，對(duì)任意都成立，又由可知，解得因此，數(shù)列為等差數(shù)列，由所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為19（2011年安徽）在數(shù)1和100之間插入個(gè)實(shí)

11、數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個(gè)數(shù)的乘積記作，再令.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.本題考查等比和等差數(shù)列，指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算，兩角差的正切公式等基本知識(shí)，考查靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，綜合運(yùn)算能力和創(chuàng)新思維能力.解：（I）設(shè)構(gòu)成等比數(shù)列，其中則 并利用（II）由題意和（I）中計(jì)算結(jié)果，知另一方面，利用得所以20（2011年北京）若數(shù)列滿足，數(shù)列為數(shù)列，記=（）寫出一個(gè)滿足，且0的數(shù)列；（）若，n=2000，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2011；（）對(duì)任意給定的整數(shù)n（n2），是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列，使得=0？如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列；如果不存在，說明理

12、由。 解：（）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個(gè)滿足條件的E的數(shù)列A5）（）必要性：因?yàn)镋數(shù)列A5是遞增數(shù)列，所以.所以A5是首項(xiàng)為12，公差為1的等差數(shù)列.所以a2000=12+（20001）1=2011.充分性，由于a2000a10001，a2000a10001a2a11所以a2000a19999，即a2000a1+1999.又因?yàn)閍1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故是遞增數(shù)列.綜上，結(jié)論得證。（）令因?yàn)樗砸驗(yàn)樗詾榕紨?shù),所以要使為偶數(shù),即4整除.當(dāng)時(shí)，有當(dāng)?shù)捻?xiàng)滿足，當(dāng)不能被4整除，此時(shí)不存在E數(shù)列An，

13、使得21（2011年福建） 已知等比數(shù)列an的公比q=3，前3項(xiàng)和S3=。（I）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（II）若函數(shù)在處取得最大值，且最大值為a3，求函數(shù)f（x）的解析式。本小題主要考查等比數(shù)列、三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，滿分13分。 解：（I）由解得所以（II）由（I）可知因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為3，所以A=3。因?yàn)楫?dāng)時(shí)取得最大值，所以又所以函數(shù)的解析式為22（2011年廣東） 設(shè)b0,數(shù)列滿足a1=b，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，解： （1）由令，當(dāng)當(dāng)時(shí)，當(dāng) （2）當(dāng)時(shí)，（欲證），當(dāng)綜上所述23（2011年湖北）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足

14、：，N*，（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若存在N*，使得，成等差數(shù)列，是判斷：對(duì)于任意的N*，且，是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力，以及特殊與一般的思想。（滿分13分） 解：（I）由已知可得，兩式相減可得 即 又所以r=0時(shí)， 數(shù)列為：a，0，0，； 當(dāng)時(shí)，由已知（）， 于是由可得， 成等比數(shù)列， ， 綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （II）對(duì)于任意的，且成等差數(shù)列，證明如下： 當(dāng)r=0時(shí)，由（I）知， 對(duì)于任意的，且成等差數(shù)列， 當(dāng)，時(shí)， 若存在，使得成等差數(shù)列， 則， 由（I）知，的公比，于是 對(duì)于任意的，且 成等差數(shù)列， 綜上，對(duì)于任意的

15、，且成等差數(shù)列。24（2011年遼寧） 已知等差數(shù)列an滿足a2=0，a6+a8=-10（I）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（II）求數(shù)列的前n項(xiàng)和解： （I）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知條件可得解得故數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （II）設(shè)數(shù)列，即，所以，當(dāng)時(shí)， 所以 綜上，數(shù)列 25（2011年全國(guó)大綱） 設(shè)數(shù)列滿足且（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè)解： （I）由題設(shè) 即是公差為1的等差數(shù)列。 又 所以 （II）由（I）得 ， 26（2011年全國(guó)新課標(biāo)） 已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（II）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和解：（）設(shè)數(shù)列an的公比為q，由得所以由條件可知c0，故由得，所以故數(shù)列an的通項(xiàng)

16、式為an=（）故所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為27（2011年山東） 等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前n項(xiàng)和解：（I）當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，不合題意。因此所以公式q=3，故 （II）因?yàn)樗?所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，綜上所述，28（2011年上海） 已知數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，（），將集合中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列。（1）求；（2）求證：在數(shù)列中但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為；（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解： ； 任

17、意，設(shè)，則，即 假設(shè)（矛盾）， 在數(shù)列中但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為。 ， 當(dāng)時(shí)，依次有， 。29（2011年四川） 設(shè)為非零實(shí)數(shù)，（1）寫出并判斷是否為等比數(shù)列。若是，給出證明；若不是，說明理由；（II）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和解析：（1）因?yàn)闉槌?shù)，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。（2）（2）（1）30（2011年天津） 已知數(shù)列與滿足：， ，且（）求的值；（）設(shè)，證明：是等比數(shù)列；（III）設(shè)證明：本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.滿分14分. （I）解：由 可得又（II）證明：對(duì)任意，得將代入，可得即又因此

18、是等比數(shù)列.（III）證明：由（II）可得，于是，對(duì)任意，有將以上各式相加，得即，此式當(dāng)k=1時(shí)也成立.由式得從而所以，對(duì)任意，對(duì)于n=1，不等式顯然成立.所以，對(duì)任意31（2011年浙江）已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)為a（）,設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及（2）記，當(dāng)時(shí)，試比較與的大小本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、求和公式、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查分類討論思想。滿分14分。 （I）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由得因?yàn)椋运裕↖I）解：因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以?dāng)，即所以，當(dāng)當(dāng)32（2011年重慶） 設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足 （I）若成等比數(shù)列，求和； （II）求證：對(duì) （I）解：由題意，由S2是等比中項(xiàng)知由解得 （II）證法一：由題設(shè)條件有故從而對(duì)有 因，由得要證，由只要證即證此式明顯成立.因此最后證若不然又因矛盾.因此證法二：由題設(shè)知，故方程（可能相同）.因此判別式又由因此，解得因此由，得因此