2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn) 專題二 高考中解答題的審題方法探究1 三角問(wèn)題 理

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1、專題二　高考中解答題的審題方法探究 一、解答題的地位及考查的范圍 數(shù)學(xué)解答題是高考數(shù)學(xué)試卷中的一類重要題型，這些題涵蓋了中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，具有知識(shí)容量大、解題方法多、能力要求高、突顯數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用以及要求考生具有一定的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力等特點(diǎn)，解答題綜合考查學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力和分析問(wèn)題、題解決問(wèn)題的能力，分值占70～80分，主要分六塊：三角函數(shù)(或與平面向量交匯)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(或與不等式交匯)、概率與統(tǒng)計(jì)、解析幾何(或與平面向量交匯)、立體幾何、數(shù)列(或與不等式交匯)．從歷年高考題看綜合題這些題型的命制都呈現(xiàn)出顯著的特點(diǎn)和解題規(guī)律，從閱卷中發(fā)現(xiàn)考生“會(huì)而得不全

2、分”的現(xiàn)象大有人在，針對(duì)以上情況，在高考數(shù)學(xué)備考中認(rèn)真分析這些解題特點(diǎn)并及時(shí)總結(jié)出來(lái)，這樣有針對(duì)性的進(jìn)行復(fù)習(xí)訓(xùn)練，能達(dá)到事半功倍的效果． 二、解答題的解答技巧 解答題是高考數(shù)學(xué)試卷的重頭戲，占整個(gè)試卷分?jǐn)?shù)的半壁江山，考生在解答解答題時(shí)，應(yīng)注意正確運(yùn)用解題技巧． (1)對(duì)會(huì)做的題目：要解決“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”這個(gè)老大難的問(wèn)題，要特別注意表達(dá)準(zhǔn)確，考慮周密，書寫規(guī)范，關(guān)鍵步驟清晰，防止分段扣分．解題步驟一定要按教科書要求，避免因“對(duì)而不全”失分． (2)對(duì)不會(huì)做的題目：對(duì)絕大多數(shù)考生來(lái)說(shuō)，更為重要的是如何從拿不下來(lái)的題目中分段得分．我們說(shuō)，有什么樣的解題策略，就有什么樣的得分策略．對(duì)此可

3、以采取以下策略： ①缺步解答：如遇到一個(gè)不會(huì)做的問(wèn)題，將它們分解為一系列的步驟，或者是一個(gè)個(gè)小問(wèn)題，先解決問(wèn)題的一部分，能解決多少就解決多少，能演算幾步就寫幾步．特別是那些解題層次明顯的題目，每一步演算到得分點(diǎn)時(shí)都可以得分，最后結(jié)論雖然未得出，但分?jǐn)?shù)卻可以得到一半以上． ②跳步解答：第一步的結(jié)果往往在解第二步時(shí)運(yùn)用．若題目有兩問(wèn)，第(1)問(wèn)想不出來(lái)，可把第(1)問(wèn)作“已知”，先做第(2)問(wèn)，跳一步再解答． ③輔助解答：一道題目的完整解答，既有主要的實(shí)質(zhì)性的步驟，也有次要的輔助性的步驟．實(shí)質(zhì)性的步驟未找到之前，找輔助性的步驟是明智之舉．如：準(zhǔn)確作圖，把題目中的條件翻譯成數(shù)學(xué)表達(dá)式，根據(jù)題目

4、的意思列出要用的公式等．羅列這些小步驟都是有分的，這些全是解題思路的重要體現(xiàn)，切不可以不寫，對(duì)計(jì)算能力要求高的，實(shí)行解到哪里算哪里的策略．書寫也是輔助解答，“書寫要工整，卷面能得分”是說(shuō)第一印象好會(huì)在閱卷老師的心理上產(chǎn)生光環(huán)效應(yīng)． ④逆向解答：對(duì)一個(gè)問(wèn)題正面思考發(fā)生思維受阻時(shí)，用逆向思維的方法去探求新的解題途徑，往往能得到突破性的進(jìn)展．順向推有困難就逆推，直接證有困難就反證． 三、怎樣解答高考數(shù)學(xué)題 1．解題思維的理論依據(jù) 針對(duì)備考學(xué)習(xí)過(guò)程中，考生普遍存在的共性問(wèn)題：一聽(tīng)就懂、一看就會(huì)、一做就錯(cuò)、一放就忘，做了大量的數(shù)學(xué)習(xí)題，成績(jī)?nèi)匀浑y以提高的現(xiàn)象，我們很有必要對(duì)自己的學(xué)習(xí)方式、方法進(jìn)

5、行反思，解決好“學(xué)什么，如何學(xué)，學(xué)的怎么樣”的問(wèn)題．要解決這里的“如何學(xué)”就需要改進(jìn)學(xué)習(xí)方式，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去自覺(jué)地分析問(wèn)題，弄清題意，善于轉(zhuǎn)化，能夠?qū)⒚鎸?duì)的新問(wèn)題拉入自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)里，在最短的時(shí)間內(nèi)擬定解決問(wèn)題的最佳方案，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)效率的最優(yōu)化． 美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞在名著《怎樣解題》里，把數(shù)學(xué)解題的一般思維過(guò)程劃分為：弄清問(wèn)題→擬訂計(jì)劃→實(shí)現(xiàn)計(jì)劃→回顧．這是數(shù)學(xué)解題的有力武器，對(duì)怎樣解答高考數(shù)學(xué)題有直接的指導(dǎo)意義． 2．求解解答題的一般步驟 第一步：(弄清題目的條件是什么，解題目標(biāo)是什么？) 這是解題的開始，一定要全面審視題目的所有條件和答題要求，以求正確、全面理解題意，在

6、整體上把握試題的特點(diǎn)、結(jié)構(gòu)，多方位、多角度地看問(wèn)題，不能機(jī)械地套用模式，而應(yīng)從各個(gè)不同的側(cè)面、角度來(lái)識(shí)別題目的條件和結(jié)論以及圖形的幾何特征與數(shù)學(xué)式的數(shù)量特征之間的關(guān)系，從而利于解題方法的選擇和解題步驟的設(shè)計(jì)． 第二步：(探究問(wèn)題已知與未知、條件與目標(biāo)之間的聯(lián)系，構(gòu)思解題過(guò)程．) 根據(jù)審題從各個(gè)不同的側(cè)面、不同的角度得到的信息，全面地確定解題的思路和方法． 第三步：(形成書面的解題程序，書寫規(guī)范的解題過(guò)程．) 解題過(guò)程其實(shí)是考查學(xué)生的邏輯推理以及運(yùn)算轉(zhuǎn)化等能力．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是按步給分，也就是說(shuō)考生寫到哪步，分?jǐn)?shù)就給到哪步，所以卷面上講究規(guī)范書寫． 第四步：(反思解題思維過(guò)程的入手點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)

7、、易錯(cuò)點(diǎn)，用到的數(shù)學(xué)思想方法，以及考查的知識(shí)、技能、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等．) (1)回頭檢驗(yàn)——即直接檢查已經(jīng)寫好的解答過(guò)程，一般來(lái)講解答題到最后得到結(jié)果時(shí)有一種感覺(jué)，若覺(jué)得運(yùn)算挺順利則好，若覺(jué)得解答別扭則十有八九錯(cuò)了，這就要認(rèn)真查看演算過(guò)程． (2)特殊檢驗(yàn)——即取特殊情形驗(yàn)證，如最值問(wèn)題總是在特殊狀態(tài)下取得的，于是可以計(jì)算特殊情形的數(shù)據(jù)，看與答案是否吻合． 主要題型：(1)三角函數(shù)式的求值與化簡(jiǎn)問(wèn)題；(2)單純?nèi)呛瘮?shù)知識(shí)的綜合；(3)三角函數(shù)與平面向量交匯；(4)三角函數(shù)與解斜三角形的交匯；(5)單純解斜三角形；(6)解斜三角形與平面向量的交匯． 【例1】? (2012·山東)已知

8、向量m＝(sin x,1)，n＝(Acos x，cos 2x)(A＞0)，函數(shù)f(x)＝m·n的最大值為6. (1)求A； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)在上的值域． [審題路線圖] 條件f(x)＝m·n ?兩個(gè)向量數(shù)量積(坐標(biāo)化)(a·b＝x1x2＋y1y2) ?化成形如y＝A sin(ωx＋φ)的形式． (二倍角公式、兩角和的正弦公式) ?A＞0，f(x)的最大值為6，可求A. ?向左平移個(gè)單位， ?縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍． ?由x的范圍確定的范圍再確

9、定sin的范圍，得結(jié)論． [規(guī)范解答](1)f(x)＝m·n ＝Asin xcos x＋cos 2x(2分) ＝A(sin 2x＋cos 2x) ＝A sin. 因?yàn)锳＞0，由題意知A＝6.(6分) (2)由(1)知f(x)＝6sin. 將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移個(gè)單位后得到 y＝6sin＝6sin的圖象； (8分) 再將得到圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)＝6sin的圖象． 因此g(x)＝6sin.(10分) 因?yàn)閤∈， 所以4x＋∈， 故g(x)在上的值域?yàn)閇－3,6]．(12分) 搶分秘訣 1．本題屬于三角函數(shù)與平面向量綜合的題目，

10、用向量表述條件，轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值問(wèn)題．正確解答出函數(shù)f(x)的解析式是本題得分的關(guān)鍵，若有錯(cuò)誤，本題不再得分，所以正確寫出f(x)的解析式是此類題的搶分點(diǎn)． 2．圖象變換是本題的第二個(gè)搶分點(diǎn)． 3．特別要注意分析判定4x＋與sin(4x＋)的取值范圍． [押題1] 已知a＝2(cos ωx，cos ωx)，b＝(cos ωx，sin ωx)(其中0＜ω＜1)，函數(shù)f(x)＝a·b，若直線x＝是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸． (1)試求ω的值； (2)若函數(shù)y＝g(x)的圖象是由y＝f(x)的圖象的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，然后再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，求y＝g(x)的單調(diào)遞

11、增區(qū)間． 解　(1)f(x)＝a·b ＝2(cos ωx，cos ωx)·(cos ωx，sin ωx) ＝2cos2ωx＋2cos ωxsin ωx ＝1＋cos 2ωx＋sin 2ωx ＝1＋2sin. ∵直線x＝為對(duì)稱軸，∴sin＝±1， ∴＋＝kπ＋(k∈Z)． ∴ω＝k＋(k∈Z)． ∵0＜ω＜1，∴－＜k＜，∴k＝0，∴ω＝. (2)由(1)得，得f(x)＝1＋2sin， ∴g(x)＝1＋2sin ＝1＋2sin＝1＋2cos x. 由2kπ－π≤x≤2kπ(k∈Z)， 得4kπ－2π≤x≤4kπ(k∈Z)， ∴g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ－2π，

12、4kπ](k∈Z)． 【例2】? (2012·浙江)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知cos A＝，sin B＝cos C. (1)求tan C的值； (2)若a＝，求△ABC的面積． [審題路線圖] (1)由條件cos A＝(0＜A＜π)． ?由sin A＝，可求sin A. ?由cos C＝sin B＝sin(A＋C)， ?展開可得sin C與cos C的關(guān)系式，可求tan C. (2)由tan C的值可求sin C及cos C的值． ?再由sin B＝cos C可求sin B的值． ?由a＝及＝，可求C. ?由S△ABC＝acsin B可求解

13、． [規(guī)范解答](1)因?yàn)?＜A＜π，cos A＝，得 sin A＝＝. 又cos C＝sin B＝sin(A＋C) ＝sin Acos C＋cos Asin C ＝cos C＋sin C. 所以tan C＝.(6分) (2)由tan C＝，得sin C＝，cos C＝. 于是sin B＝cos C＝. 由a＝及正弦定理＝，得c＝. 設(shè)△ABC的面積為S，則S＝acsin B＝.(12分) 搶分秘訣 1．本題主要考查了三角恒等變換、正弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查了運(yùn)算求解能力． 2．熟練利用三角恒等變換求得所需的量是本題的第1搶分點(diǎn)． 3．熟用三角形面積公式與正弦定理

14、是第2搶分點(diǎn)． [押題2] 在△ABC中， 角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cos Bcos C. (1)求cos A； (2)若a＝3，△ABC的面積為2，求b，c. 解　(1)由3cos(B－C)－1＝6cos Bcos C， 得3(cos Bcos C－sin Bsin C)＝－1， 即cos(B＋C)＝－， 從而cos A＝－cos(B＋C)＝. (2)由于0＜A＜π，cos A＝，所以sin A＝. 又S△ABC＝2，即bcsin A＝2，解得bc＝6. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得b2＋c2＝13， 解方程組得或