2012年高考數學 考點43 直線與圓錐曲線的位置關系

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1、考點43 直線與圓錐曲線的位置關系 一、選擇題 1.（2012·安徽高考理科·Ｔ9）過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點， 是原點，若，則的面積為（ ） 【解題指南】設，根據拋物線的定義知，同理可以得，解出，代入公式. 【解析】選.設及；則點到準線的距離為 得： 又,的面積為. 二、填空題 2.（2012·安徽高考文科·Ｔ14）過拋物線的焦點的直線交該拋物線于兩點，若，則=______. 【解題指南】設，根據拋物線的定義知，同理可以得，解出. 【解析】設及；則點到準線的距離為 得： 又. 【答案】.

2、 三、解答題 3.（2012·天津高考理科·Ｔ19）設橢圓的左、右頂點分別為A，B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，為坐標原點. （Ⅰ）若直線AP與BP的斜率之積為，求橢圓的離心率； （Ⅱ）若，證明直線的斜率滿足. 【解題指南】利用橢圓的幾何性質、點到直線、兩點間的距離公式，直線與橢圓的位置關系、不等式等知識綜合求解. 【解析】（Ⅰ）設點P坐標為，由題意得，由,得，由，可得，代入（1）并整理得于是. （Ⅱ）方法一：依題意，直線OP的方程為，設點P的坐標為，由條件得整理得 由|AP|=|OA|,得， 整理得， ，代入（2）整理得， . 方法二：依題意，直線OP的方程為，設點

3、P的坐標為，由條件得，，，即 由|AP|=|OA|,得，整理得， ，代入（3）得， 解得. 4.（2012·天津高考文科·Ｔ19）已知橢圓，點在橢圓上. （Ⅰ）求橢圓的離心率； （Ⅱ）設A為橢圓的左頂點，O為坐標原點，若點在橢圓上且滿足，求直線的斜率的值. 【解題指南】利用橢圓的幾何性質、點到直線、兩點間的距離公式，直線與橢圓的位置關系等知識綜合求解. 【解析】（Ⅰ）因為點在橢圓上，故，可得，于是. （Ⅱ）設直線OQ的斜率為k,則其方程為 ，設點Q的坐標為，由條件得整理得 由|AQ|=|OA|,得，整理得， ，代入（1）整理得， 由（1）知，故，即，所以直線OQ的斜率為

4、. 5.（2012·福建高考理科·Ｔ19）(本小題滿分13分) 如圖，橢圓E：的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率．過F1的直線交橢圓于A、B兩點，且△ABF2的周長為8． (Ⅰ) 求橢圓E的方程． (Ⅱ) 設動直線：與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線相交于點Q．試探究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由． 【解題指南】本小題主要考查橢圓的性質，圓的性質，直線和圓錐曲線的位置關系，平面向量等基礎知識，考查運算能力，推理論證能力，考查化歸與轉化思想，數形結合思想，函數與方程思想，特殊與一般思想. 【解析】（

5、Ⅰ）因為 即 所以， 又因為，即，所以 所以 故橢圓的方程為. （Ⅱ）由得 因為動直線與橢圓E有且只有一個公共點， 所以且， 即，化簡得（*） 此時，，，所以 由得 假設坐標平面內存在定點M滿足條件，由圖形對稱知，點M必在x軸上． 設，則對滿足（*）式的m，k恒成立， 因為，， 由得 整理，得 （**） 由于（**）對（*）式的m，k恒成立，所以 解得 故存在定點，使得以PQ為直徑的圓恒過點M． 解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）由得 因為動直線與橢圓E有且只有一個公共點 所以且 即，化簡得 此時，，，所以 由得，假設坐標平面內存在定點

6、M滿足條件，由圖形對稱知，點M必在x軸上．取，，此時，，以PQ為直徑的圓為，交x軸于點，，取，，此時，，以PQ為直徑的圓為，交x軸于點，． 所以若符合條件的M存在，則M的坐標必為 以下證明就是滿足條件的點： 因為的坐標是， 所以，， 從而得 故恒有，即存在定點，使得以PQ為直徑的圓恒過點M. 6.（2012·山東高考理科·Ｔ21）在平面直角坐標系中，是拋物線的焦點，是拋物線上位于第一象限內的任意一點，過三點的圓的圓心為，點到拋物線的準線的距離為. （Ⅰ）求拋物線的方程； （Ⅱ）是否存在點，使得直線與拋物線相切于點？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由； （Ⅲ）若點的橫坐

7、標為，直線與拋物線有兩個不同的交點，與圓有兩個不同的交點，求當時，的最小值. 【解題指南】（1）考查對拋物線定義的理解以及三角形的外接圓心在三邊的垂直平分線上.（2）考查直線與圓錐曲線相切時切線斜率與導數的關系，利用斜率與導數相等即可求得.（3）利用直線與拋物線的弦長公式可求出,利用圓心到直線的距離和弦長一半，半徑構成直角三角形可求的,利用導數求的最小值. 【解析】（Ⅰ）由是拋物線的焦點，點F坐標為：，拋物線的準線為，過三點的圓的圓心為，則圓心Q在線段OF的垂直平分線，所以，所以P=1，故拋物線方程為. (Ⅱ)若存在這樣的點M，設點M的坐標為，焦點F坐標為， 所以MO的中點，圓心Q在M

8、O的垂直平分線上，所以MO的垂直平分線方程為，圓心Q在線段OF的垂直平分線解得點Q坐標為， 直線與拋物線相切于點 拋物線的導數為，過點的切線斜率為 ，整理得：， 解得：或（舍去） 所以，所以點M的坐標為：. (Ⅲ)由點的橫坐標為，由（Ⅱ）知圓心Q， 半徑， 圓心Q到直線的距離為： ，， 聯立，消去y可得：，設， 于是，令 ， 設，， 當時，， 即當時. 故當時，. 7.（2012·山東高考文科·Ｔ21）如圖，橢圓的離心率為，直線和所圍成的矩形ABCD的面積為8. (Ⅰ)求橢圓M的標準方程； (Ⅱ) 設直線與橢圓M有兩個不同的交點與矩形ABCD有兩個不同

9、的交點.求的最大值及取得最大值時m的值. 【解題指南】（1）考查對橢圓的幾何性質的理解，矩形ABCD面積為8，即，由離心率為可求得橢圓的標準方程；（2）可聯立直線與橢圓方程，用m表示出PQ的距離，與矩形ABCD有兩個不同的交點的距離也用含m的代數式，再討論求最大值. 【解析】(I)……① 矩形ABCD面積為8，即……② 由①②解得：， ∴橢圓M的標準方程是. (II)， 設，則， 由得. . 當過點時，，當過點時，. ①當時，有， ， 其中，由此知當，即時，取得最大值. ②由對稱性，可知若，則當時，取得最大值. ③當時，，， 由此知，當時，取得最大值. 綜上

10、可知，當和0時，取得最大值. 8.（2012·浙江高考理科·Ｔ21）（本題滿分15分）如圖，橢圓的離心率為，其左焦點到點Ｐ（２,１）的距離為，不過原點Ｏ的直線ｌ與Ｃ相交于Ａ，Ｂ兩點，且線段ＡＢ被直線ＯＰ平分. （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）求△APB面積取最大值時直線的方程. 【解題指南】本題主要考查橢圓的方程、直線與橢圓的位置關系，利用三角形面積這一公式表示其面積,可發(fā)現為4次函數,需用導數研究面積的最值情況. 【解析】（Ⅰ）左焦點到點Ｐ（２,１）的距離為，解得 又離心率為，可得，所以橢圓C的方程為. （Ⅱ）由題意可知，直線不垂直于軸，故可設直線，交點， 由消去并整理得

11、 ∴， ∴的中點為P（，） 而直線，可得=，解得，即直線 = 而點Ｐ（２,１）到直線的距離為 ∴△APB面積為 == 其中 令， 則 所以當且僅當時，取得最大值，S取得最大值 此時直線. 9.（2012·浙江高考文科·Ｔ22）（本題滿分14分）如圖，在直角坐標系xOy中，點P（1，）到拋物線C：y2=2px（P＞0）的準線的距離為。點M（t，1）是C上的定點，A，B是C上的兩動點，且線段AB被直線OM平分. （1）求p,t的值； （2）求△ABP面積的最大值. 【解題指南】考查拋物線的定義，直線與圓錐曲線間的位置關系，利用弦長公式及點到直線間的距離

12、表示出來三角形的面積，并借助導數求最值。 【解析】（1）點P（1，）到拋物線C：y2=2px（P＞0）的準線的距離為，可得準線方程為， 所以拋物線C：y2=x， 點M（t，1）是C上的點，所以. （2）設動點，線段的中點為 由得 所以 ∴直線的方程為 即 由消去，整理得 所以，， 從而 設點到直線的距離為，則 設的面積為S,則 由可得。 令，則 設，則 由，得 所以 . 故的面積的最大值為. 10.（2012·北京高考理科·Ｔ19）已知曲線C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R) （1） 若曲線C是焦點在x軸點上的橢圓，

13、求m的取值范圍； （2） 設m=4，曲線c與y軸的交點為A，B（點A位于點B的上方），直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點M、N,直線y=1與直線BM交于點G.求證：A，G，N三點共線. 【解題指南】（1）化為橢圓標準方程，再列式求范圍；（2）三點共線可轉化為，聯立直線與曲線C方程后，把韋達定理代入證明即可。 【解析】（1）曲線C：表示焦點在x軸上的橢圓， 則，解得。 （2）C：，與y軸交點A（0，2），B（0，-2），設， 由消y得，， y=kx+4與橢圓有兩個交點，，解得。 由韋達定理得， 直線， ， ，三點共線. 11.（2012·北京高考文科·Ｔ19）已知

14、橢圓C：+=1（a＞b＞0）的一個頂點為A （2,0），離心率為， 直線y=k(x-1)與橢圓C交與不同的兩點M,N （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）當△AMN的面積為時，求k的值 . 【解題指南】第（Ⅰ）問，利用橢圓的a,b,c及e的關系即可求出橢圓方程；第（Ⅱ）問，△AMN的面積等于x軸上下兩個小三角形面積之和. 【解析】（Ⅰ），橢圓C：. （Ⅱ）設，則由，消y得, 直線 y=k(x-1)過橢圓內點（1，0），恒成立， 由根與系數的關系得， 即，解得. 12.（2012·湖南高考文科·Ｔ21）（本小題滿分13分） 在直角坐標系xOy中，已知中心在原點，離心率為的橢圓E

15、的一個焦點為圓C：x2+y2-4x+2=0的圓心. （Ⅰ）求橢圓E的方程； （Ⅱ）設P是橢圓E上一點，過P作兩條斜率之積為的直線l1，l2.當直線l1，l2都與圓C相切時，求P的坐標. 【解題指南】本題考查曲線與方程、直線與曲線的位置關系，考查運算能力，考查數形結合思想、函數與方程思想等數學思想方法.（Ⅰ）圓心（2,0）知c=2，=可求a，b的值；（Ⅱ）設出P的坐標，由兩條直線l1，l2斜率之積為，P是橢圓E上一點，可分別列出方程，解方程組求出P點的坐標。 【解析】（Ⅰ）由，得.故圓Ｃ的圓心為點 從而可設橢圓Ｅ的方程為其焦距為，由題設知 故橢圓Ｅ的方程為： （Ⅱ）設點的坐

16、標為，的斜分率分別為則的方程分別為且由與圓相切得 　　， 即　　　　　 同理可得　　. 從而是方程的兩個實根，于是 　　　　　　　　　　　　　　① 且 由得解得或 由得由得它們均滿足①式，故點Ｐ的坐標為 ，或，或，或. 13.（2012·江蘇高考·Ｔ19）（本小題滿分16分） 如圖，A B P O x y （第19題） 在平面直角坐標系xOy中，橢圓的左、右焦點分別為，．已知和都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率． （1）求橢圓的方程； （2）設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線與直線平行，與交于點P． （i）若，求直線的斜率； （ii

17、）求證：是定值． 【解題指南】（1）根據橢圓的性質和已知和都在橢圓上列式求解. （2）根據已知條件，用待定系數法求解. 【解析】（1）由題設知，，由點在橢圓上， 得，∴。 由點在橢圓上， 得 ∴橢圓的方程為. （2）由（1）得，，又∵∥， ∴設、的方程分別為，。 ∴。 ∴.① 同理，.② （i）由①②得，。解得=2。 ∵注意到，∴。 ∴直線的斜率為。 （ii）證明：∵∥，∴，即。 ∴. 由點在橢圓上知，，∴. 同理。. ∴ 由①②得，，， ∴. ∴是定值. A B O x y 14.（2012·福建高

18、考文科·Ｔ21）(本小題滿分12分)如圖，等邊三角形OAB的邊長為，且其三個頂點均在拋物線E：上． （Ⅰ）求拋物線E的方程； （Ⅱ） 設動直線與拋物線E相切于點P，與直線相交于點Q．證明以PQ為直徑的圓恒過軸上某定點． 【解題指南】本題主要考查拋物線的定義與性質、圓的性質、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想、特殊與一般思想． 【解析】方法一：（Ⅰ）依題意，，． 設，則，． 因為點在上，所以，解得． 故拋物線E的方程為． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 設，則，且的方程為，即． 由，得，所以． 設，令對滿足的，恒成立．

19、 由，，得 即．（*） 由于（*）式對滿足的恒成立，所以， 解得 故以為直徑的圓橫過ｙ軸上的頂點． 解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，． 設，則，且的方程為，即． 由，得，所以． 取，此時，，以為直徑的圓，交y軸于點或； 取，此時，，以為直徑的圓為，交y軸于或． 故若滿足條件的存在，只能是． 以下是證明點就是所要求的點 因為，， ． 故以為直徑的圓恒過y軸上的定點． 15.（2012·安徽高考文科·Ｔ20）（本小題滿分13分） 如圖，分別是橢圓：+=1（）的左、右焦點，是橢圓的頂點，是直線與橢圓的另一個交點，=60°. （Ⅰ）求橢圓的離心率

20、； （Ⅱ）已知△的面積為40，求a, b 的值. 【解題指南】（1）由；（2）根據橢圓的定義設；則，由余弦定理求出設，結合三角形的面積公式即可求出. 【解析】（I） （Ⅱ）設；則 在中， 面積. 16.（2012·安徽高考理科·Ｔ20）（本小題滿分13分） 如圖，點分別是橢圓 的左，右焦點，過點作軸的垂線交橢圓的上半部分于點， 過點作直線的垂線交直線于點； （I）如果點的坐標為；求此時橢圓的方程； （II）證明：直線與橢圓只有一個交點。 【解題指南】（1）點代入得，由，可以得到關于的關系，解方程組可以求出，從而得到方程；（2）可以證明直線與橢圓相切. 【解析】（I）點代入得， ① 又 ② ③ 由①②③得：，即橢圓的方程為； （II）【證明】設，則，且，，過點與橢圓相切的直線斜率，因此直線與橢圓相切，只有一個交點.