《2013屆高三數(shù)學二輪復習 必考問題專項突破20 統(tǒng)計及其與概率的交匯問題 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2013屆高三數(shù)學二輪復習 必考問題專項突破20 統(tǒng)計及其與概率的交匯問題 理（13頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、必考問題20統(tǒng)計及其與概率的交匯問題(2012廣東)某班50位學生期中考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100(1)求圖中x的值；(2)從成績不低于80分的學生中隨機選取2人，該2人中成績在90分以上(含90分)的人數(shù)記為，求的數(shù)學期望解(1)由題意得：10x1(0.00630.010.054)100.18，x0.018.(2)成績不低于80分的學生共有(0.0180.006)105012人，其中90分以上(含90分)的共有0.00610503人，的可能值為0,1,2，P(0)，P(1)，P(2
2、)，的分布列為012PE()012.本部分主要考查隨機抽樣、樣本估計總體、線性回歸分析，獨立性檢驗的簡單應用，一般是選擇題、填空題，試題難度中等或稍易若以解答題出現(xiàn)，往往與概率、離散型隨機變量的分布列交匯考查在復習統(tǒng)計問題時，要緊緊抓住這些圖表和方法，把圖表的含義弄清楚，這樣剩下的問題就是有關的計算和對統(tǒng)計思想的理解，在弄清楚統(tǒng)計問題的基礎上，要與概率、離散型隨機變量的分布列、期望、方差密切結合掌握.必備知識抽樣方法抽樣方法包含簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣三種方法，三種抽樣方法都是等概率抽樣，體現(xiàn)了抽樣的公平性，但又各有其特點和適用范圍用樣本估計總體(1)利用樣本頻率分布估計總體分布：頻率
3、分布表和頻率分布直方圖；總體密度曲線；莖葉圖(2)用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征：眾數(shù)、中位數(shù)；樣本平均數(shù)(x1x2xn)i；樣本方差s2(x1)2(x2)2(xn)2(xi)2；樣本標準差s .線性回歸方程方程bxa稱為線性回歸方程，其中bab；(，)稱為樣本中心點獨立性檢驗假設有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為x1，x2和y1，y2，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為22列聯(lián)表)為：22列聯(lián)表y1y2總計x1ababx2cdcd總計acbdabcd構造一個隨機變量K2，P(K2k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828必備方
4、法用樣本估計總體(1)在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應的頻率，各小長方形的面積的和為1.解決與頻率分布直方圖有關的問題時，應正確理解已知數(shù)據(jù)的含義，掌握圖表中各個量的意義(2)當總體的個體數(shù)較少時，可直接分析總體取值的頻率分布規(guī)律而得到總體分布；當總體容量很大時，通常從總體中抽取一個樣本，分析它的頻率分布，以此估計總體分布總體期望的估計，計算樣本平均值i；總體方差(標準差)的估計：方差(xi)2，標準差，方差(標準差)較小者較穩(wěn)定.此類試題主要考查分層抽樣、頻率分布直方圖、莖葉圖、線性回歸方程、平均數(shù)和方差的計算、以及識圖能力、借助概率統(tǒng)計知識分析、解決問題的能力，均可單獨命制一道
5、小題【例1】 某校舉行了由全部學生參加的校園安全知識考試，從中抽出60名學生，將其成績分成六段40,50)，50,60)，90,100)后，畫出如圖所示的頻率分布直方圖觀察圖形的信息，回答下列問題：估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)為_；平均分為_審題視點 聽課記錄審題視點 (1)由圖可知甲、乙的成績，再利用公式計算用樣本中及格的頻率估計總體的及格率，以樣本的平均數(shù)估計總體的平均數(shù)，即以各組的中點值乘以各組的頻率之和估計總體的平均數(shù)(1)C由題意可知，甲的成績?yōu)?,5,6,7,8，乙的成績?yōu)?,5,5,6,9.所以甲、乙的成績的平均數(shù)均為6，A錯；甲、乙的成績的中位數(shù)分別為6,5，B錯
6、；甲、乙的成績的方差分別為(46)2(56)2(66)2(76)2(86)22，(56)2(56)2(56)2(66)2(96)2，C對；甲、乙的成績的極差均為4，D錯(2)解析及格的各組的頻率是(0.0150.030.0250.005)100.75，即及格率約為75%；樣本的均值為450.1550.15650.15750.3850.25950.0571，以這個分數(shù)估計總體的分數(shù)即得總體的平均分數(shù)約為71.答案75%71 (1)如果已知頻率分布直方圖，那么就用樣本在各個小組的頻率估計總體在相應區(qū)間內的頻率，用樣本的均值估計總體的均值，根據(jù)頻率分布圖估計樣本均值的方法是取各個小組的中點值乘以各個
7、小組的頻率之和進行的(2)根據(jù)莖葉圖，我們可方便地求出數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)，大體上估計出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大小與穩(wěn)定性【突破訓練1】 (2012陜西)從甲乙兩個城市分別隨機抽取16臺自動售貨機，對其銷售額進行統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖葉圖表示(如圖所示)設甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為甲，乙，中位數(shù)分別為m甲，m乙，則()A.甲乙，m甲m乙 B.甲乙，m甲m乙C.甲乙，m甲m乙 D.甲乙，m甲m乙答案： (1)C從960人中用系統(tǒng)抽樣方法抽取32人，則每30人抽取一人，因為第一組抽到的號碼為9，則第二組抽到的號碼為39，第n組抽到的號碼為an930(n1)30n21，由45130n21750，得n，所以n16
8、,17，25，共有2516110人，選C.(2)B由莖葉圖可知甲數(shù)據(jù)集中在10至20之間，乙數(shù)據(jù)集中在20至40之間，明顯甲乙，甲的中位數(shù)為20，乙的中位數(shù)為29，即m甲m乙，所以選B. 的交匯問題準確提取直方圖、莖葉圖中的信息是解此類題的關鍵，借助這些數(shù)據(jù)結合獨立事件、互斥事件可設計概率、分布列問題，高考在此結合點處命題有加強的趨勢【例2】 (2012韶關模擬)某班同學進行社會實踐，對25,55歲的人群隨機抽取n人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查，若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：組數(shù)分組低碳族的人數(shù)占本組的頻率
9、第一組25,30)1200.6第二組30,35)195p第三組35,40)1000.5第四組40,45)a0.4第五組45,50)300.3第六組50,55)150.3(1)補全頻率分布直方圖，并求n、a、p的值；(2)從40,50)歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取18人參加戶外低碳體驗活動，其中選取3人作為領隊，記選取的3名領隊中年齡在40,45)歲的人數(shù)為X，求X的分布列和期望E(X)審題視點 聽課記錄審題視點 (1)頻率小長方形的面積；(2)用超幾何分布解決解(1)第二組的頻率為1(0.040.040.030.020.01)50.3，所以高為0.06.頻率直方圖如下：第一組的人數(shù)
10、為200，頻率為0.0450.2，所以n1 000.由題可知，第二組的頻率為0.3，所以第二組的人數(shù)為1 0000.3300，所以p0.65.第四組的頻率為0.0350.15，所以第四組的人數(shù)為1 0000.15150，所以a1500.460.(2)因為40,45)歲年齡段的“低碳族”與45,50)歲年齡段的“低碳族”的比值為603021，所以采用分層抽樣法抽取18人，40,45)歲中有12人，45,50)歲中有6人隨機變量X服從超幾何分布P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).X0123P所以隨機變量X的分布列為所以數(shù)學期望E(X)01232. 解決該類問題的基礎是頻數(shù)分布表、莖葉圖
11、等知識，在解題時，一定要仔細認真，防止在這個數(shù)據(jù)表中出現(xiàn)錯誤，導致后續(xù)各問解答也隨之出現(xiàn)錯誤【突破訓練2】 (2011北京)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數(shù)乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以X表示.甲組乙組990X891110(1)如果X8，求乙組同學植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；(2)如果X9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵數(shù)Y的分布列和數(shù)學期望(注：方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中為x1，x2，xn的平均數(shù))解(1)當X8時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數(shù)是：8,8,9,10，所以平均數(shù)為：；方差為：s2.(2)當X9時，由莖葉圖
12、可知，甲組同學的植樹棵數(shù)是：9,9,11,11；乙組同學的植樹棵數(shù)是：9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，共有4416種可能的結果，這兩名同學植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17,18,19,20,21.事件“Y17”等價于“甲組選出的同學植樹9棵，乙組選出的同學植樹8棵”，所以該事件有2種可能的結果，因此P(Y17).同理可得P(Y18)；P(Y19)；P(Y20)；P(Y21).所以隨機變量Y的分布列為：Y1718192021PE(Y)17P(Y17)18P(Y18)19P(Y19)20P(Y20)21P(Y21)171819202119.以實際問題為背景，給定數(shù)據(jù)表，借助這些數(shù)
13、據(jù)結合獨立事件或對立事件設計概率及分布列問題【例3】 (2012遼寧)電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查下面是根據(jù)調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”(1)根據(jù)已知條件完成下面的22列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關？非體育迷體育迷合計男女1055合計(2)將上述調查所得到的頻率視為概率現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的分布列，期望E
14、(X)和方差D(X)附：K2，P(K2k)0.050.01k3.8416.635審題視點 聽課記錄審題視點 (1)按照獨立性檢驗的步驟進行；(2)建立概率分布表，利用期望的定義式求解數(shù)學期望解(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而22列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計男301545女451055合計7525100將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得K23.030.因為3.0303.841，所以沒有理由認為“體育迷”與性別有關(2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為.由題意XB，從而X的分布列為X0
15、123PE(X)np3，D(X)np(1p)3. 根據(jù)圖表給出的信息解決相關問題時，一定要仔細閱讀表中信息，千萬別“看花了眼”，同時，要正確理解相關概念和計算準確【突破訓練3】 (2012寶雞三模)甲乙兩個學校高三年級分別有1 100人和1 000人，為了了解這兩個學校全體高三年級學生在該地區(qū)二?？荚囍械臄?shù)學成績情況，采用分層抽樣方法從兩個學校一共抽取了105名學生的數(shù)學成績，并作出了如下的頻數(shù)分布統(tǒng)計表，規(guī)定考試成績在120,150內為優(yōu)秀甲校：分組70,80)80,90)90,100)100,110)頻數(shù)231015分組110,120)120,130)130,140)140,150)頻數(shù)1
16、5x31乙校：分組70,80)80,90)90,100)100,110)頻數(shù)1298分組110,120)120,130)130,140)140,150)頻數(shù)1010y3(1)試求x，y的值；(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面22列聯(lián)表，若按是否優(yōu)秀來判斷，是否有97.5%的把握認為兩個學校的數(shù)學成績有差異.甲校乙校總計優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(3)根據(jù)抽樣結果分別估計甲校和乙校的優(yōu)秀率，若把頻率視為概率，現(xiàn)從乙校學生中任取3人，求優(yōu)秀學生人數(shù)的分布列和數(shù)學期望附：K2；P(K2k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828解(1)由分層抽樣知，甲校
17、抽取了55人成績，乙校抽取了50人的成績所以，x6，y7.(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫右面22列聯(lián)表如下：甲校乙?？傆媰?yōu)秀102030非優(yōu)秀453075總計5550105因為K26.1095.024.故有97.5%的把握認為這兩個學校的數(shù)學成績有差異(3)由題意，可知：甲校的優(yōu)秀率為，乙校的優(yōu)秀率為，由題意可知， 隨機變量0,1,2,3，且P(0)C03，P(1)C12，P(2)C21，P(3)C30，從而求得的分布列為：0123P故的數(shù)學期望E()3.關注高考概率與統(tǒng)計新視角視角一關注“實質性”知識【示例1】 (2011福建)某產品按行業(yè)生產標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，8，其中X5
18、為標準A，X3為標準B.已知甲廠執(zhí)行標準A生產該產品，產品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產該產品，產品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠的產品都符合相應的執(zhí)行標準(1)已知甲廠產品的等級系數(shù)X1的概率分布列如表所示：X15678P0.4ab0.1且X1的數(shù)學期望E(X1)6，求a，b的值；(2)為分析乙廠產品的等級系數(shù)X2，從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：353385563463475348538343447567用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學期望；(3)在(1)、(2)的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則
19、哪個工廠的產品更具可購買性？說明理由注：產品的“性價比”；“性價比”大的產品更具可購買性滿分解答(1)因為E(X1)6，所以50.46a7b80.16，即6a7b3.2.又由X1的概率分布列，得0.4ab0.11，即ab0.5.由解得(4分)(2)由已知得樣本的頻率分布表如表：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如表：X2345678f0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)3P(X23)4P(X24)5P(X25)6P(X26)7P(X27)8P(X28)30.340.250.260.1
20、70.180.14.8.即乙廠產品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于4.8.(8分)(3)乙廠的產品更具可購買性理由如下：因為甲廠產品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于6，價格為6元/件，所以其性價比為1.因為乙廠產品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于4.8，價格為4元/件，所以其性價比為1.2.據(jù)此，可知乙廠的產品更具可購買性(12分)老師叮嚀：本題是一道概率與統(tǒng)計的綜合性問題，考查數(shù)據(jù)的處理能力、函數(shù)與方程思想、必然與或然思想等.本題對高考數(shù)學的復習有很好的導向作用，命題設計的特色是注重考查考生對概率與統(tǒng)計知識的形成過程的理解和應用.其中，在求每一個隨機變量的概率時，要確切地解釋每一個隨機變量的含義，也就是要弄清楚每一
21、個隨機變量指的是什么.對于判斷“哪個工廠的產品更具可購買性”，不僅需要考生理解產品“性價比”的數(shù)學意義，還要理解“性價比”的大小決定產品的購買價值.這樣的考題，更能體現(xiàn)數(shù)學的現(xiàn)實性和應用性.視角二關注“開放性”知識【示例2】 (2011陜西)如圖所示，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，據(jù)統(tǒng)計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各時間段內的頻率如下表：時間(分鐘)10202030304040505060L1的頻率0.10.20.30.20.2L2的頻率00.10.40.40.1現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站(1)為了盡最大可能在各自允許的時間內趕到火車站，甲和
22、乙應如何選擇各自的路徑？(2)用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內能趕到火車站的人數(shù)，針對(1)的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學期望滿分解答(1)Ai表示事件“甲選擇路徑Li時，40分鐘內趕到火車站”，Bi表示事件“乙選擇路徑Li時，50分鐘內趕到火車站”，i1,2.用頻率估計相應的概率可得P(A1)0.10.20.30.6，P(A2)0.10.40.5，因為P(A1)P(A2)，所以甲應選擇L1.P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9，因為P(B2)P(B1)，所以乙應選擇L2.(6分)(2)A，B分別表示針對(1)的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內趕到火
23、車站，由(1)，知P(A)0.6，P(B)0.9，又由題意知，A，B獨立，所以P(X0)P( )P()P()0.40.10.04，P(X1)P(BA)P()P(B)P(A)P()0.40.90.60.10.42，P(X2)P(AB)P(A)P(B)0.60.90.54.所以X的分布列如下表：X012P0.040.420.54所以E(X)00.0410.4220.541.5.(12分)老師叮嚀：本題考查概率與統(tǒng)計知識的綜合應用，在求解離散型隨機變量分布列和計算離散型隨機變量的期望值的問題中，考查考生分析問題、處理數(shù)據(jù)、解答問題的數(shù)學應用能力.設問的開放性、答題的多樣性以及根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)提供的頻率估計相應的概率，作出科學決策等是本題的亮點，較好地體現(xiàn)了新課標理念.
2013屆高三數(shù)學二輪復習 必考問題專項突破20 統(tǒng)計及其與概率的交匯問題 理
