2013年高中數(shù)學(xué) 暑期特獻(xiàn) 重要知識點 定積分

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1、2013年高中數(shù)學(xué) 暑期特獻(xiàn) 重要知識點 定積分 不定積分的概念 　 原函數(shù)的概念 ?? 已知函數(shù)f(x)是一個定義在某區(qū)間的函數(shù)，如果存在函數(shù)F(x)，使得在該區(qū)間內(nèi)的任一點都有 ???????????????????????????????? dF'(x)=f(x)dx， ?? 則在該區(qū)間內(nèi)就稱函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)。 ?? 例：sinx是cosx的原函數(shù)。 ?? 關(guān)于原函數(shù)的問題 ?? 函數(shù)f(x)滿足什么條件是，才保證其原函數(shù)一定存在呢？這個問題我們以后來解決。若其存在原函數(shù)，那末原函數(shù)一共有多少個呢？ ?? 我們可以明顯的看出來：若函數(shù)F(x)為

2、函數(shù)f(x)的原函數(shù)， ????????????????????????????? 即：F"(x)=f(x)， ?? 則函數(shù)族F (x)+C(C為任一個常數(shù)）中的任一個函數(shù)一定是f(x)的原函數(shù)， ?? 故：若函數(shù)f(x)有原函數(shù)，那末其原函數(shù)為無窮多個. 不定積分的概念 ?? 函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做函數(shù)f(x)的不定積分， ????????????????????????????? 記作。 ?? 由上面的定義我們可以知道：如果函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，那末f(x)的不定積分就是函數(shù)族 ????????????????????????????? F(x)+C

3、. ????????????????????????????? 即:=F(x)+C ?? 例題：求：.? ?? 解答：由于，故= 不定積分的性質(zhì) ? 1、函數(shù)的和的不定積分等于各個函數(shù)的不定積分的和； ??? 即： ? 2、求不定積分時，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來， ??? 即： 求不定積分的方法 　 換元法 ? 換元法（一）：設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u)，u=g(x)可導(dǎo)，那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函數(shù). ?????????????? 即有換元公式: ?? 例題：求 ?? 解答：這個積分在基本積分表中是查不到的，故我們

4、要利用換元法。 ???????? 設(shè)u=2x，那末cos2x=cosu，du=2dx，因此： ???????? ?? 換元法（二）：設(shè)x=g(t)是單調(diào)的，可導(dǎo)的函數(shù)，并且g'(t)≠0，又設(shè)f[g(t)]g'(t)具有原函數(shù)φ(t)， ??????????????? 則φ[g(x)]是f(x)的原函數(shù).(其中g(shù)(x)是x=g(t)的反函數(shù)） ??????????????? 即有換元公式: ?? 例題：求 ?? 解答：這個積分的困難在于有根式，但是我們可以利用三角公式來換元. ???????? 設(shè)x=asint(-π/2

5、?????? ?? ? 關(guān)于換元法的問題 ? 不定積分的換元法是在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上得來的，我們應(yīng)根據(jù)具體實例來選擇所用的方法，求不定積分不象求導(dǎo)那樣有規(guī)則可依，因此要想熟練的求出某函數(shù)的不定積分，只有作大量的練習(xí)。 分部積分法 ?? 這種方法是利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則得來的。 ?? 設(shè)函數(shù)u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).我們知道，兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式為： ????????????????????? (uv)'=u'v+uv'，移項，得 ?????????????????????? uv'=(uv)'-u'v，對其兩邊求不定積分得： ?????????????

6、????????? ， ?? 這就是分部積分公式 ?? 例題：求 ?? 解答：這個積分用換元法不易得出結(jié)果，我們來利用分部積分法。 ??????????? 設(shè)u=x，dv=cosxdx，那末du=dx，v=sinx，代入分部積分公式得： ???????????? ? 關(guān)于分部積分法的問題 ? 在使用分部積分法時，應(yīng)恰當(dāng)?shù)倪x取u和dv，否則就會南轅北轍。選取u和dv一般要考慮兩點： ??????????(1)v要容易求得； ?????????? (2)容易積出。 幾種特殊類型函數(shù)的積分舉例 　 有理函數(shù)的積分舉例 ?? 有理函數(shù)是指兩個多項式的商所表示的函數(shù)，當(dāng)分子的

7、最高項的次數(shù)大于分母最高項的次數(shù)時稱之為假分式， ?? 反之為真分式。 ? 在求有理函數(shù)的不定積分時，若有理函數(shù)為假分式應(yīng)先利用多項式的除法，把一個假分式化成一個多項式和一個真分式之和的形式，然后再求之。 ?? 例題：求 ??解答： ??????? ? 關(guān)于有理函數(shù)積分的問題 ? 有理函數(shù)積分的具體方法請大家參照有關(guān)書籍，請諒。 三角函數(shù)的有理式的積分舉例 ?? 三角函數(shù)的有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算所構(gòu)成的函數(shù)。 ?? 例題：求 ?? 解答： ? 關(guān)于三角函數(shù)的有理式的積分的問題 ? 任何三角函數(shù)都可用正弦與余弦函數(shù)表出，故變量代換u=tan(x/2)對三角函數(shù)的有理式的積分應(yīng)用，在此我 ? 們不再舉例。 簡單無理函數(shù)的積分舉例 ?? 例題：求 ?? 解答：設(shè)，于是x=u2+1，dx=2udu，從而所求積分為：?????? ????????