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1、1、基本概念,微分方程凡含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫微分方程,微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最 高階導數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階,微分方程的解代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解,,通解如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解,特解確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，叫做微分方程的特解,初始條件用來確定任意常數(shù)的條件.,初值問題求微分方程滿足初始條件的解的問題，叫初值問題,,(1) 可分離變量的微分方程,解法,分離變量法,2、一階微分方程的解法,(2) 齊次方程,解法,作變量代換,,齊次方程,（其中h和k是待定
2、的常數(shù)）,否則為非齊次方程,(3) 可化為齊次的方程,解法,化為齊次方程,,(4) 一階線性微分方程,上方程稱為齊次的,上方程稱為非齊次的.,,齊次方程的通解為,（使用分離變量法）,解法,,非齊次微分方程的通解為,（常數(shù)變易法）,(5) 伯努利(Bernoulli)方程,方程為線性微分方程.,方程為非線性微分方程.,,解法 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程,,利用全微分表達式求解微分方程 常見的全微分表達式,,3、可降階的高階微分方程的解法,解法,特點,型,接連積分n次，得通解,型,解法,代入原方程, 得,,特點,型,解法,代入原方程, 得,、線性微分方程解的結構,（1）二階齊次方程解的結構:,
3、,（2）二階非齊次線性方程的解的結構:,,,、二階常系數(shù)齊次線性方程解法,n階常系數(shù)線性微分方程,二階常系數(shù)齊次線性方程,二階常系數(shù)非齊次線性方程,解法,由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.,,特征方程為,,特征方程為,推廣： 階常系數(shù)齊次線性方程解法,,、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法,二階常系數(shù)非齊次線性方程,解法待定系數(shù)法.,,,7、歐拉方程,歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變量代換 可化為常系數(shù)微分方程.,的方程(其中,形如,叫歐拉方程.,為常數(shù))，,,二、典型例題,例1,解,原方程可化為,代入原方程得,分離變量,兩邊積分,所求通解為
4、,例2,解,原式可化為,原式變?yōu)?對應齊方通解為,一階線性非齊方程,伯努利方程,代入非齊方程得,原方程的通解為,利用常數(shù)變易法,例3,解,代入方程，得,故方程的通解為,例4,解,特征方程,特征根,對應的齊次方程的通解為,設原方程的特解為,原方程的一個特解為,故原方程的通解為,解得,所以原方程滿足初始條件的特解為,例5,解,特征方程,特征根,對應的齊方的通解為,設原方程的特解為,解得,,故原方程的通解為,即,,例6,解,（）由題設可得：,解此方程組，得,（）原方程為,由解的結構定理得方程的通解為,解,例7,這是一個歐拉方程,代入原方程得,(1),和(1)對應的齊次方程為,(2),(2)的特征方程為,特征根為,(2)的通解為,設(1)的特解為,得(1)的通解為,故原方程的通解為,
微積分微分方程總結及練習題.ppt
