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第七章第8課時(shí) 立體幾何中的向量方法 隨堂檢測(cè)（含解析）
1．如圖，四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA與平面ABD所成的角為60°，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.
(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點(diǎn)B，P的坐標(biāo)；
(2)求異面直線PA與BC所成的角的余弦值．
解：(1)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，
∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)．
由PD⊥平面ABCD，得∠PAD為PA與平面ABCD所成的角，
∴∠PAD＝60°.
在Rt△P
2、AD中，由AD＝2，得PD＝2，∴P(0,0,2)．
(2)∵＝(2,0，－2)，＝(－2，－3,0)，
∴cos〈，〉＝
＝－，
∴PA與BC所成的角的余弦值為.
2．已知三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N為AB上一點(diǎn)，AB＝4AN，M，S分別為PB，BC的中點(diǎn)．
(1)證明：CM⊥SN；
(2)求SN與平面CMN所成角的大?。?
解：設(shè)PA＝1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M，N，S.
(1)證明：＝，＝.
∵·＝－＋＋0＝0，∴CM⊥SN.
(2)＝，設(shè)a＝(x，y，z)為平面CMN的一個(gè)法向量，則a·＝0，a·＝0，
得令x＝2，得a＝(2,1，－2)．
∵|cos〈a，〉|＝＝，
∴直線SN與平面CMN所成角的正弦值為.
故SN與平面CMN所成角為45°.
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