（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 4.7 解三角形應(yīng)用舉例課件.ppt

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1、4.7解三角形應(yīng)用舉例,知識梳理,雙擊自測,1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型 測量距離問題、高度問題、角度問題、計(jì)算面積問題、航海問題、物理問題等.,知識梳理,雙擊自測,2.實(shí)際問題中的常用角 (1)仰角和俯角:與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線上方的角叫做仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方的角叫做俯角(如圖). (2)方向角:相對于某正方向的水平角,如南偏東30、北偏西45、西偏北60等. (3)方位角:指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,如B點(diǎn)的方位角為(如圖). (4)坡度:坡面與水平面所成的二面角的度數(shù).,,,,知識梳理,雙擊自測,3.解

2、三角形應(yīng)用題的一般步驟 (1)閱讀理解題意,弄清問題的實(shí)際背景,明確已知與未知,理清量與量之間的關(guān)系. (2)根據(jù)題意畫出示意圖,將實(shí)際問題抽象成解三角形問題的模型. (3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解. (4)將三角形問題還原為實(shí)際問題,注意實(shí)際問題中的有關(guān)單位問題、近似計(jì)算的要求等.,知識梳理,雙擊自測,1.如圖,設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C,測出AC的距離為50 m,ACB=45,CAB=105后,就可以計(jì)算出A,B兩點(diǎn)的距離為 (),答案,解析,知識梳理,雙擊自測,2.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站南偏西40,燈塔B在觀察

3、站南偏東60,則燈塔A在燈塔B的() A.北偏東10B.北偏西10 C.南偏東80D.南偏西80,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,3.一架飛機(jī)在海拔800 m的高度飛行,在空中測出前下方海島兩側(cè)海岸俯角分別為30和45,則這個海島的寬度為.,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,4.(教材改編)海面上有A,B,C三個燈塔,AB=10 n mile,從A望C和B成60視角,從B望C和A成75視角,則BC等于(),答案,解析,知識梳理,雙擊自測,5.(2018江蘇南京模擬)已知某臺風(fēng)中心位于海港城市A東偏北的150千米處,以每小時v千米的速度向正西方向快速移動,2.5小時后到達(dá)距海港城市A西偏北的20

4、0千米處,若4cos =3cos ,則風(fēng)速v的值為千米/時.,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,自測點(diǎn)評 1.仰角與俯角是相對水平視線而言的,而方位角是相對于正北方向而言的. 2.利用方位角(或方向角)和目標(biāo)與觀測點(diǎn)的距離即可唯一確定一點(diǎn)的位置. 3.“方位角”與“方向角”的區(qū)別:方位角大小的范圍是0,2),方向角大小的范圍是 .,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,測量距離問題(考點(diǎn)難度),【例1】 (1)某人為測出所住小區(qū)的面積,進(jìn)行了一些測量工作,最后將所住小區(qū)近似地畫成如圖所示的四邊形,測得的數(shù)據(jù)如圖所示,則AC= km;該圖所示的小區(qū)的面積是 km2.,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,(2

5、)(2018廣東沖刺模擬)大雁塔作為現(xiàn)存最早、規(guī)模最大的唐代四方樓閣式磚塔,是凝聚了中國古代勞動人民智慧結(jié)晶的標(biāo)志性建筑.如圖所示,已知ABE=,ADE=,垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4米,大雁塔高度H=64米.某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備用數(shù)學(xué)知識探究大雁塔的高度與,的關(guān)系.該小組測得,的若干數(shù)據(jù)并分析測得的數(shù)據(jù)后,發(fā)現(xiàn)適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到大雁塔的距離d,使與的差較大時,可以提高測量精確度,求-最大時,標(biāo)桿到大雁塔的距離d為米.,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,方法總結(jié)1.測量從一個可到達(dá)的點(diǎn)到一個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題,一般可轉(zhuǎn)化為已知兩個角和一條邊解三角形的問題,從而運(yùn)用正弦定理解決. 2.測量

6、兩個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題,一般是把求距離問題轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長的問題.然后把求未知的另外邊長問題轉(zhuǎn)化為只有一點(diǎn)不能到達(dá)的兩點(diǎn)距離測量問題,然后運(yùn)用正弦定理解決. 3.選定或確定要創(chuàng)建的三角形,首先確定所求量所在的三角形,若其他量已知則直接求解;若有未知量,則把未知量放在另一確定三角形中求解.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,對點(diǎn)訓(xùn)練 (2018福建高三模擬)如圖,已知兩條公路AB,AC的交匯點(diǎn)A處有一學(xué)校,現(xiàn)擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P,在兩公路旁M,N,(1)試用表示AM,并寫出的范圍; (2)當(dāng)為多大時,工廠產(chǎn)生的噪聲對學(xué)校的影響最小(即工廠與學(xué)校的距離最遠(yuǎn)).,考點(diǎn)一,

7、考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,所以AM=4sin(75+)(0<<105). (2)在APM中,AM=4sin(75+), 所以AP2=AM2+MP2-2AMMPcosAMP,=20-16sin(2+180) =20+16sin 2(0<<105). 當(dāng)且僅當(dāng)2=90,即=45時,AP2取得最大值36,即AP取得最大值6. 所以當(dāng)=45時,工廠產(chǎn)生的噪聲對學(xué)校的影響最小.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,測量高度問題(考點(diǎn)難度),【例2】 (1)(2018浙江義烏期末)在一幢10 m高的房屋頂測得對面一塔頂?shù)难鼋菫?0,塔基的俯角為30,假定房屋與塔建在同一水平地面上,則塔的高度為 m.,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二

8、,考點(diǎn)三,(2)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上,行駛600 m后到達(dá)B處,測得此山頂在西偏北75的方向上,仰角為30,則此山的高度CD= m.,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,方法總結(jié)求解高度問題首先應(yīng)分清: (1)在測量高度時,要理解仰角、俯角的概念; (2)準(zhǔn)確理解題意,分清已知條件與所求,畫出示意圖; (3)運(yùn)用正弦定理、余弦定理,有序地解相關(guān)的三角形,逐步求解問題,注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,對點(diǎn)訓(xùn)練 如圖,測量河對岸的旗桿高AB時,選與旗桿底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點(diǎn)C與D.測得BCD=75,BD

9、C=60,CD=a,并在點(diǎn)C測得旗桿頂A的仰角為60,則旗桿高AB為.,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,測量角度問題(考點(diǎn)難度) 【例3】 (1)一緝私艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45方向,距離12 n mile的海上有一走私船正以10 n mile/h 的速度沿南偏東75方向逃竄,若緝私艇的速度為14 n mile/h,緝私艇沿北偏東45+的方向追去,若要在最短的時間內(nèi)追上走私船,則追上所需的時間為h,角的正弦值為.,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,(2)如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東20,燈塔B在觀察站C的南偏東40,則燈塔A與B的距離為

10、(),答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,方法總結(jié)1.對于和航行有關(guān)的問題,要抓住時間和路程兩個關(guān)鍵量,解三角形時將各種關(guān)系集中在一個三角形中利用條件求解. 2.根據(jù)示意圖,把所求量放在有關(guān)三角形中,有時直接解此三角形解不出來,需要先在其他三角形中求解相關(guān)量.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,對點(diǎn)訓(xùn)練某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時,輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛,經(jīng)過t小時與輪船相遇. (1)若希望相遇時小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小

11、應(yīng)為多少? (2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時,試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短時間與輪船相遇,并說明理由.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,解:(1)設(shè)相遇時小艇航行的距離為S海里,,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇. 則v2t2=400+900t2-22030tcos(90-30),,此時,在OAB中,有OA=OB=AB=20. 故可設(shè)計(jì)航行方案如下: 航行方向?yàn)楸逼珫|30,航行速度為30海里/時.,思想方法函數(shù)思想在解三角形中的應(yīng)用 三角形在實(shí)際中的應(yīng)用問題有很多是求距離最短、用時最少、速度最大等最值問題,這需要建立有關(guān)量的函數(shù)

12、關(guān)系式,通過求函數(shù)最值的方法來解決.函數(shù)思想在解三角形實(shí)際問題中的應(yīng)用,經(jīng)常與正弦定理、余弦定理相結(jié)合,此類問題綜合性較強(qiáng),能力要求較高,要有一定的分析問題、解決問題的能力.,【典例】 如圖,某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB,某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動,此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P,需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角的大小.若AB=15 m,AC=25 m,BCM=30,則tan 的最大值是.(仰角為直線AP與平面ABC所成角),解析:如圖,過點(diǎn)P作POBC于點(diǎn)O, 連接AO, 則PAO=.,答題指導(dǎo)通過正弦定理和余弦定理建立邊角關(guān)系,通過函數(shù)思想可以求出邊或角的最值. 高分策略1.解三角形實(shí)際應(yīng)用問題的一般步驟是:審題建模(準(zhǔn)確地畫出圖形)求解檢驗(yàn)作答. 2.解三角形應(yīng)用題的兩種情形: (1)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形,這時需作出這些三角形.先解夠條件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有時需設(shè)出未知量,從幾個三角形中列出方程(組),解方程(組)得出所要求的解.,