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1、,哈爾濱工程大學理學院 矩陣論教學團隊,Department of Mathematics, College of Sciences,書后要求的習題,主動自覺做,抽查和不定時收取,使用教材, 矩陣論教程國防工業(yè)出版社 2012,其他輔導類參考書（自選）,課 程 要 求,作業(yè)要求,矩陣論網(wǎng)站,授課預計 (8學時),第一章 線性空間與線性映射,線 性 空 間,線 性 子 空 間,線性映射與線性變換,線性變換的不變子空間,線性空間的同構,教 學 內 容 和 基 本 要 求,2, 掌握子空間與維數(shù)定理，理解子空間的相關性質；,3, 理解線性映射及線性變換的概念，掌握線性映射及變 換 的矩陣表示。掌握線
2、性映射的值域、核等概念 .,重點: 線性空間的概念；子空間的維數(shù)定理；線性映射 及線性變換;不變子空間 難點: 基變換與坐標變換;不變子空間,4, 理解線性變換的不變子空間得相關概念和性質,1，理解線性空間的概念，掌握基變換與坐標變換的公式；,線性空間是解析幾何和線性代數(shù)中向量概念的抽象化。 本章將給出線性映射和線性變換的概念與性質，同時也建立了矩陣和線性映射及線性變換之間的一種關系,線性空間既是代數(shù)學的基本概念，也是矩陣論的基本概念之一，本章首先介紹這一概念。學習過這一部分內容的同學可以將本章作為對所學知識的回顧和延伸。,對于一個有限維的n維線性空間V，設T是一個線性變換，總有TVV，如何才
3、能選到V的一個基，使T關于這個基的矩陣具有盡可能簡單的形式. 由于一個線性變換關于不同基的矩陣是相似的. 因而問題也可以這樣提出：在一切彼此相似的n階矩陣中，如何選出一個形式盡可能簡單的矩陣？,線性變換的不變子空間,1.4,本節(jié)介紹一個關于線性變換的重要概念不變子空間. 同時利用不變子空間的概念，來說明線性變換的矩陣的化簡與線性變換的內在聯(lián)系.,定義1,設 是數(shù)域F上線性空間V的線性變換，,則稱W是的不變子空間，簡稱為 子空間.,W是V的的子空間，若 有,Hot,定理1,兩個子空間的交與和仍是子空間,子空間,設 則W是,證： 顯然成立.,任取 設,則,定理2,的充要條件是,故 為 的不變子空間
4、.,所以， 也為 的不變子空間.,又任取 有,例1.,證：,對存在 使,于是有:,為 的不變子空間.,若 則 與 都是 子空間.,其次，由 對,有 所以,只需證明 即有:,例2.,故 為 的不變子空間.,例3.任何子空間都是數(shù)乘變換的不變子空間.,例4. 線性變換 的特征子空間 是 的,有,不變子空間.,例5.由 的特征向量生成的子空間是 的不變子空間,的特征向量.,為 的不變子空間.,證：設 是的分別屬于特征值,任取,事實上，因為W是V的不變子空間.,均可被,線性表出.,即，,從而，,設,在這組基下的矩陣為,若 ，則,為V的一組基，且在這組基下 的矩陣為準對角陣,設 是 維線性空間V的線性變換， 都是,的不變子空間，而 是 的一組基，且,（1）,定理4,的子空間 為 的不變子空間，且V具有直和分解：,由此即得：,下的矩陣為準對角矩陣(1), 則由生成,V的線性變換在某組基下的矩陣為準對角形,V可分解為一些的不變子空間的直和.,反之，若 在基,設3維線性空間V的線性變換在基,下的矩陣為,證明： 是的不變子空間.,令,由,練習1,解答,有,即,故W為的不變子空間.,Good,Bye,
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