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1、一、二階矩陣的定義 1由4個(gè)數(shù)a，b，c，d排成的正方形數(shù)表_ 稱為 二階矩陣,2元素全為0的二階矩陣_稱為零矩陣，簡(jiǎn)記為 _ 矩陣 稱為二階單位矩陣，記為 .,二、幾種特殊線性變換 1旋轉(zhuǎn)變換 直線坐標(biāo)系xOy內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐?轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換的坐標(biāo)變換公式是 對(duì)應(yīng)的二階矩陣為 ,2反射變換 平面上任意一點(diǎn)P對(duì)應(yīng)到它關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P的線 性變換叫做關(guān)于直線l的反射 3伸縮變換 在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的k1 倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的k2倍，其中k1，k2為非零常數(shù)， 這樣的幾何變換為伸縮變換,4投影變換 設(shè)l是平面內(nèi)一條給定的直線，對(duì)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)P 作直
2、線l的垂線，垂足為點(diǎn)P，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)P在直 線l上的投影，將平面上每一點(diǎn)P對(duì)應(yīng)到它在直線l上的 投影P，這個(gè)變換稱為關(guān)于直線l的投影變換,5切變變換 平行于x軸的切變變換對(duì)應(yīng)的二階矩陣為_(kāi)， 平行于y軸的切變變換對(duì)應(yīng)的二階矩陣為_(kāi) ,三、變換、矩陣的相等 1設(shè)，是同一直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)線性變換，如果 對(duì)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)P，都有 ，則稱這 兩個(gè)線性變換相等,（P）=（P）,2對(duì)于兩個(gè)二階矩陣A與B，如果它們的_都分 別相等，則稱矩陣A與矩陣B相等，記作AB.,對(duì)應(yīng)元素,四、矩陣與向量的乘法 設(shè)A 規(guī)定二階矩陣A與向量的乘 積為向量_，記為 或 ，即 這是矩陣 與向量 的乘法,Aa,五、線性變換
3、的基本性質(zhì) 性質(zhì)1.設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，是平面上的任意兩個(gè) 向量，是一個(gè)任意實(shí)數(shù)，則 (1)A() ； (2)A() . 性質(zhì)2.二階矩陣對(duì)應(yīng)的變換(線性變換)把平面上的直線 變成_ 定理：設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，是平面上的任意兩個(gè) 向量，1，2是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，則 A(12)1A2A.,A,AA,直線（或一點(diǎn)）,六、二階矩陣的乘法 1設(shè)A 則 AB,2對(duì)直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的任意向量，有A(B) .,3二階矩陣的乘法滿足結(jié)合律，即(AB)C .,4AkAl_，(Ak)lAkl.,(AB)a,(AB)C,Ak+l,1已知矩陣M 向量 ，試判 斷 (MN)與M(N)的關(guān)系，MN與NM的關(guān)系,解：(MN)
4、 M(N) 所以(MN)M(N) 又因?yàn)镸N,NM ，所以MNNM.,2求圓C：x2y24在矩陣A 對(duì)應(yīng)變換作用下的 曲線方程，并判斷曲線的類型,解：設(shè)P(x，y)是圓C：x2y24上的任一點(diǎn)，P1(x，y)是P(x，y)在矩陣A 對(duì)應(yīng)變換作用下新曲線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則 將 代入x2y24，得 y24，方程 1表示的曲線是焦點(diǎn)為(2 ，0)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓,3設(shè)a，bR，若M 所定義的線性變換把直線l： 2xy70變換成另一直線l：xy70，求a，b 的值,解：取直線l：2xy70上任一點(diǎn)(x0,72x0)，則它在對(duì)應(yīng)的變換作用下有 而點(diǎn)(ax0，x07b2bx0)在直線l： xy70上， 即a
5、x0 x07b2bx07.由x0的任意性得,4.運(yùn)用旋轉(zhuǎn)矩陣，求直線2xy10繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45后所得的直線方程,解：旋轉(zhuǎn)矩陣 直線2xy10上任意一點(diǎn)(x0，y0)旋轉(zhuǎn)變換后為(x0，y0)，,直線2xy10繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45后所得的直線 方程是 即,1二階方陣的運(yùn)算關(guān)鍵是記熟運(yùn)算法則 2注意運(yùn)算時(shí)運(yùn)算律的應(yīng)用，它滿足結(jié)合律即(MN)P M(NP)(MP)N.,已知M ，求二階矩陣X，使MXN.,求二階矩陣可先設(shè)出二階矩陣X，根據(jù)矩陣乘法法則，應(yīng)用待定系數(shù)法求解.,解：設(shè)X ，按題意有 根據(jù)矩陣乘法法則有,解之得,1若 ，試求x的值,解：,伸縮、反射、切變變換這三種幾何變換稱為初等變換
6、，對(duì)應(yīng)的變換矩陣為初等變換矩陣，由矩陣的乘法可以看出，矩陣的乘法對(duì)應(yīng)于變換的復(fù)合，一一對(duì)應(yīng)的平面變換都可以看作這三種初等變換的一次或多次的復(fù)合,在直角坐標(biāo)系中，已知ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0)、B(1,1)、C(0,2)，求ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形的面積這里M,因?yàn)榫仃嘙表示反射變換，矩陣N表示旋轉(zhuǎn)變換，所以變換后所得圖形與原圖形全等.,解：在矩陣N 的作用下，一個(gè)圖形變換為其繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到的圖形，在矩陣M 的作用下，一個(gè)圖形變換為與之關(guān)于直線yx對(duì)稱的圖形因此ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形與ABC全等，從而其面積等于ABC的面積，即為1.,2直角坐標(biāo)系xOy
7、中，點(diǎn)(2，2)在矩陣M 對(duì)應(yīng) 變換作用下得到點(diǎn)(2,4)，曲線C：x2y21在矩陣M 對(duì)應(yīng)變換作用下得到曲線C，求曲線C的方程,解：根據(jù)題意 ，即2a4，解得a2，設(shè)曲線C變換前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x，y)，(x，y)，則 代入曲線C的方程x2y21， 整理得 y2x21， 即曲線C的方程為x2 y21.,在解決通過(guò)矩陣進(jìn)行平面曲線的變換時(shí)，變換矩陣可以通過(guò)待定系數(shù)法解決，在變換時(shí)一定要把變換前后的變量區(qū)別清楚，防止混淆,已知曲線C：xy1. (1)將曲線C繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45后，求得到的曲線C的方程； (2)求曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程,首先要確定能夠?qū)嵤┳儞Q的矩陣，求出變換后的曲
8、線C的方程，再研究曲線C的幾何性.,解：(1)由題設(shè)條件，,變換：,即有 解得,代入曲線C的方程為y2x22， 所以將曲線C繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45后，得到的曲線C的方程是y2x22. (2)由(1)知，只需求曲線y2x22的焦點(diǎn)及漸近線，由于a2b22，故c2，又焦點(diǎn)在y軸上，從而其焦點(diǎn)為(0,2)，(0，2)，漸近線方程為yx.,3已知在一個(gè)二階矩陣M的變換作用下，點(diǎn)A(1,2)變成了 點(diǎn)A(4,5)，點(diǎn)B(3，1)變成了點(diǎn)B(5,1) (1)求矩陣M； (2)若在矩陣M的變換作用下，點(diǎn)C(x,0)變成了點(diǎn)C(4， y)，求x，y.,解：(1)設(shè)該二階矩陣為 由題意得 所以解得 故M,(2
9、)因?yàn)?解得x2，y2.,矩陣變換與二階矩陣的乘法運(yùn)算是高考新增內(nèi)容，多考查求平面圖形在矩陣的對(duì)應(yīng)變換作用下得到的新圖形，從而研究新圖形的性質(zhì)，難度不大，屬中檔題，如2008江蘇高考21題.,(2008江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓4x2y21在矩陣A 對(duì)應(yīng)的變換下得到曲線F，求F的方程,解設(shè)P(x0，y0)是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P(x0，y0)在矩陣 A對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)P(x0，y0)，則有 即,又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，故 從而(x0)2(y0)21. 所以，曲線F的方程為x2y21.,利用矩陣變換這一工具，建立變換前后任一點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，從而代入變換前的平面圖形對(duì)應(yīng)的方程，求出變換后的圖形對(duì)應(yīng)的方程，其實(shí)質(zhì)是解析幾何中相關(guān)動(dòng)點(diǎn)(即代入法)求曲線方程的思想，本題若改為“將橢圓4x2y21繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30后得到曲線F，試求F的方程”,
線性變換、二階矩陣及其乘法.ppt
