【中考知識點梳理】第12講-二次函數(shù)的圖象與性質

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1、1第 12 講 二次函數(shù)的圖象與性質一、一、知識清單梳理知識清單梳理知識點一:二次函數(shù)的概念及解析式 關鍵點撥與對應舉例1.一次函數(shù)的定義形如 yax2bxc(a,b,c 是常數(shù),a0)的函數(shù),叫做二次函數(shù).例:如果函數(shù) y=(a1)x2是二次函數(shù),那么 a 的取值范圍是 a0.2.解析式(1)三種解析式:一般式:y=ax2+bx+c;頂點式:y=a(x-h)2+k(a0),其中二次函數(shù)的頂點坐標是(h,k);交點式:y=a(x-x1)(x-x2),其中 x1,x2為拋物線與 x 軸交點的橫坐標.(2)待定系數(shù)法:巧設二次函數(shù)的解析式;根據(jù)已知條件,得到關于待定系數(shù)的方程(組);解方程(組),

2、求出待定系數(shù)的值,從而求出函數(shù)的解析式.若已知條件是圖象上的三個點或三對對應函數(shù)值,可設一般式;若已知頂點坐標或對稱軸方程與最值,可設頂點式;若已知拋物線與 x 軸的兩個交點坐標,可設交點式.知識點二:二次函數(shù)的圖象與性質圖象xyy=ax2+bx+c(a上 0)Oxyy=ax2+bx+c(a上 0)O開口向上向下對稱軸 x 2ba頂點坐標24,24bacbaa增減性當 x2ba時,y 隨 x 的增大而增大;當 x2ba時,y 隨 x 的增大而減小.當 x2ba時,y 隨 x 的增大而減小;當 x2ba時,y 隨 x 的增大而增大.3.二次函數(shù)的圖象和性質最值x=2ba,y最小244acba.x

3、=2ba,y最大244acba.(1)比較二次函數(shù)函數(shù)值大小的方法:直接代入求值法;性質法:當自變量在對稱軸同側時,根據(jù)函數(shù)的性質判斷;當自變量在對稱軸異側時,可先利用函數(shù)的對稱性轉化到同側,再利用性質比較;圖象法:畫出草圖,描點后比較函數(shù)值大小.失分點警示(2)在自變量限定范圍求二次函數(shù)的最值時,首先考慮對稱軸是否在取值范圍內,而不能盲目根據(jù)公式求解.例:當 0 x5 時,拋物線 y=x2+2x+7 的最小值為7 .a決定拋物線的開口方向及開口大小當 a0 時,拋物線開口向上;當 a0 時,拋物線開口向下.a、b決定對稱軸(x=-b/2a)的位置當 a,b 同號,-b/2a0,對稱軸在 y

4、軸左邊;當 b0 時,-b/2a=0,對稱軸為 y 軸;當 a,b 異號,-b/2a0,對稱軸在 y 軸右邊3.系數(shù)a、b、cc決定拋物線與 y 軸當 c0 時,拋物線與 y 軸的交點在正半軸上;某些特殊形式代數(shù)式的符號:ab+c 即為 x=1時,y的值;4a2b+c 即為x=2 時,y 的值.2的交點的位置當 c0 時,拋物線經過原點;當 c0 時,拋物線與 y 軸的交點在負半軸上.b24ac決定拋物線與 x 軸的交點個數(shù)b24ac0 時,拋物線與 x 軸有 2 個交點;b24ac0 時,拋物線與 x 軸有 1 個交點;b24ac0 時,拋物線與 x 軸沒有交點 2a+b 的符號,需判斷對稱

5、軸-b/2a 與 1 的大小.若對稱軸在直線 x=1 的左邊,則-b/2a1,再根據(jù)a 的符號即可得出結果.2a-b 的符號,需判斷對稱軸與-1 的大小.知識點三:二次函數(shù)的平移4.平移與解析式的關系上 上|k|上 上 上上 上|h|上 上 上上 上(k上 0)上 上 上(k上 0)上 上(h上 0)上 上 上(h上 0)y=a(x上 h)2上 k 上 上 上y=a(x上 h)2上 上 上y=ax2上 上 上注意:二次函數(shù)的平移實質是頂點坐標的平移,因此只要找出原函數(shù)頂點的平移方式即可確定平移后的函數(shù)解析式失分點警示:拋物線平移規(guī)律是“上加下減,左加右減”,左右平移易弄反.例:將拋物線 y=x

6、2沿 x 軸向右平移 2 個單位后所得拋物線的解析式是 y=(x2)2知識點四:二次函數(shù)與一元二次方程以及不等式5.二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù) y=ax2bxc(a0)的圖象與 x 軸交點的橫坐標是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根.當 b24ac0,兩個不相等的實數(shù)根;當 b24ac0,兩個相等的實數(shù)根;當 b24ac0,無實根6.二次函數(shù)與不等式拋物線 y=ax2bxc0 在 x 軸上方的部分點的縱坐標都為正,所對應的 x 的所有值就是不等式 ax2bxc0 的解集;在 x 軸下方的部分點的縱坐標均為負,所對應的 x 的值就是不等式 ax2bxc0 的解集.例:已經二次函數(shù) y=x2-3x+m(m 為常數(shù))的圖象與 x軸的一個交點為(1,0),則關于 x 的一元二次方程 x2-3x+m=0 的兩個實數(shù)根為2,1.