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1、北 師 大 版 數(shù) 學 課 件精 品 資 料 整 理 9 三角函數(shù)的簡單應用通過學習三角函數(shù)的簡單應用學會數(shù)學建模的過程通過學習三角函數(shù)的簡單應用學會數(shù)學建模的過程.三角函數(shù)能夠模擬許多周期現(xiàn)象，因此在解決實際問題三角函數(shù)能夠模擬許多周期現(xiàn)象，因此在解決實際問題中有著廣泛的應用中有著廣泛的應用.例例1.1.水車是一種利用水流的動力進行灌溉的工具，圖是一個水車是一種利用水流的動力進行灌溉的工具，圖是一個水車工作的示意圖，它的直徑為水車工作的示意圖，它的直徑為3m,3m,其中心（即圓心）其中心（即圓心）O O距水距水面面1.2m,1.2m,如果水車逆時針勻速旋轉，旋轉一圈的時間是如果水車逆時針勻速
2、旋轉，旋轉一圈的時間是 min.min.在水車輪邊緣上取一點在水車輪邊緣上取一點P P，點，點P P距水面的高度為距水面的高度為h(m).h(m).(1)(1)求求h h與時間與時間t t的函數(shù)解析式，并作出這個函數(shù)的簡圖的函數(shù)解析式，并作出這個函數(shù)的簡圖.(2)(2)討論如果雨季河水上漲或旱季河流水量減少時，所討論如果雨季河水上漲或旱季河流水量減少時，所求得的函數(shù)解析式中的參數(shù)將會發(fā)生哪些變化求得的函數(shù)解析式中的參數(shù)將會發(fā)生哪些變化.若水車轉速若水車轉速加快或減慢，函數(shù)解析式中的參數(shù)又會受到怎樣的影響？加快或減慢，函數(shù)解析式中的參數(shù)又會受到怎樣的影響？水車問題4343t11.831.851.
3、871.891.81.22.71.2-0.31.21.5sin(0.295)1.240ht例例2.2.海水受日月的引力海水受日月的引力,在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般的早潮叫潮潮汐，一般的早潮叫潮,晚潮叫汐晚潮叫汐,在通常情況下在通常情況下,船在漲船在漲潮時候駛進航道潮時候駛進航道,靠近船塢靠近船塢;卸貨后落潮時返回海洋卸貨后落潮時返回海洋,下面下面給出了某港在某季節(jié)每天幾個時刻的水深給出了某港在某季節(jié)每天幾個時刻的水深.時刻時刻水深水深/m時刻時刻水深水深/m時刻時刻水深水深/m0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021
4、:002.56:005.015:007.524:005.0(1)(1)選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關系，并給出在整點時的水深的近似值的函數(shù)關系，并給出在整點時的水深的近似值;(2)(2)一條貨船的吃水深度一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離船底與水面的距離)為為4m4m，安全條，安全條例規(guī)定至少要有例規(guī)定至少要有1.5m1.5m的安全間隙的安全間隙(船底與海底的距離船底與海底的距離)，該，該船何時能進入港口？船何時能進入港口？(3)(3)若船的吃水深度為若船的吃水深度為4m4m，安全間隙為，安全間隙為1.5m,1.5m,該船
5、在該船在2 2：0000開開始卸貨，吃水深度以每小時始卸貨，吃水深度以每小時0.3m0.3m的速度減少，那么該船在的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？分析分析(1)考察數(shù)據(jù)，可選用正弦函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解；考察數(shù)據(jù)，可選用正弦函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解；(2)在涉及三角不等式時，可利用圖像求解在涉及三角不等式時，可利用圖像求解.解解(1)可設所求函數(shù)為可設所求函數(shù)為f(x)=Asinx+k，由已知數(shù)由已知數(shù)據(jù)求得據(jù)求得A=2.5，k=5，T=12，故故f(x)=2.5sin(x)+5.62=T6，xyO24126183
6、9152152.57.5在整點時的水深近似為在整點時的水深近似為:1:001:00；5:005:00；13:0013:00；17:0017:00為為 6.3m6.3m；2:002:00；4:004:00；1414：0000；16:0016:00為為 7.2m7.2m；7:007:00；11:0011:00；19:0019:00；23:0023:00為為 3.7m3.7m；8:008:00；10:0010:00；20:0020:00；22:0022:00為為 2.8m2.8m；(2)(2)由由2.5sin(x)+55.52.5sin(x)+55.5，得，得6sin0.26x畫出畫出y=sin(x
7、)y=sin(x)的圖像，的圖像，(如圖所示如圖所示)由圖像可得由圖像可得65101520 xyO1-1y=sin(x)6y=0.2 0.4 x5.6，或或 12.4x17.6.故該船在故該船在0：24至至5：36和和12：24至至17：36期間可以進港期間可以進港.(3)若若2x24,x時刻吃水深度為時刻吃水深度為h(x)=40.3(x2)，由由f(x)h(x)+1.5，得得sinx0.440.12x.65101520 xyO1-1y=sin(x)6y=0.12x+0.44 畫出畫出y=sin 和和y=0.440.12x的圖像的圖像(如圖如圖)，6x由圖像可知當由圖像可知當x=6.7x=6.
8、7時，即時，即6 6：4242時，該船必須停止卸貨，時，該船必須停止卸貨，將船駛向較深的水域將船駛向較深的水域.一半徑為一半徑為3m3m的水輪如圖所示，水輪圓心的水輪如圖所示，水輪圓心O O距離水面距離水面2m2m，已知水輪每分鐘轉動已知水輪每分鐘轉動4 4圈，如果當水輪上一點圈，如果當水輪上一點P P從水中浮從水中浮現(xiàn)時現(xiàn)時(圖中點圖中點P P0 0)開始計算時間開始計算時間.(1)(1)將點將點P P距離水面的高度距離水面的高度z(m)z(m)表示為時間表示為時間t(s)t(s)的函數(shù)的函數(shù);(2)(2)點點P P第一次達到最高點大約要多長時間？第一次達到最高點大約要多長時間？OPP023
9、xy解解:(1)不妨設水輪沿逆時針方向旋不妨設水輪沿逆時針方向旋轉轉,如圖所示如圖所示,建立平面直角坐標系建立平面直角坐標系.設角設角 (0)是以是以Ox為為始邊，始邊，OP0為終邊的角為終邊的角.2由由OP在在ts內所轉過的角為內所轉過的角為 ，可知以可知以Ox為始邊，為始邊，OP為終邊的角為為終邊的角為4 22()t=t60152t+15，則則2z3sin(t+)2.15當當t=0t=0時，時，z=0z=0，可得，可得2sin.3 因為因為 ，所以，所以 -0.73-0.73，02故所求函數(shù)關系式為故所求函數(shù)關系式為2z=3sin(t0.73)+2.152t+15故故P P點縱坐標為點縱坐標為3sin()3sin()，(2)令令 得得2z3sin(t0.73)2515，2sin(t0.73)1.152t0.73152，取取解得解得t5.5.答答:點點P第一次達到最高點大約需要第一次達到最高點大約需要5.5s.通過學習三角函數(shù)的簡單應用通過學習三角函數(shù)的簡單應用,體會數(shù)學建模的過程體會數(shù)學建模的過程.把學問過于用作裝飾是虛假；完全依學問上的規(guī)則而斷事是書生的怪癖。培根
北師大版數(shù)學必修四課件：第1章167;9 三角函數(shù)的簡單應用
