2023屆高考一輪復(fù)習(xí) 解析幾何綜合練習(xí)（含解析）

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1、2023屆高考一輪復(fù)習(xí) 解析幾何綜合練習(xí)15 一、選擇題（共8小題） 1. 拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ?? A. 0,116 B. 0,1 C. 1,0 D. 116,0 2. 雙曲線 x24?y2=1 的焦點(diǎn)到漸近線的距離為 ?? A. 2 B. 2 C. 1 D. 3 3. 已知雙曲線 C：x22?y2b2=1（b>0）的兩條漸近線互相垂直，則 C 的離心率 e 等于 ?? A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 4. 已知橢圓 x26+y24=1 的兩焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，以橢圓短軸的兩頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，線段 F1F2 為虛軸的雙

2、曲線方程為 ?? A. x2?y2=2 B. y2?x2=2 C. x2?y2=2 D. y2?x2=2 5. 點(diǎn) P 是圓 x+12+y?22=2 上任一點(diǎn)，則點(diǎn) P 到直線 x?y?1=0 距離的最大值為 ?? A. 2 B. 22 C. 32 D. 2+22 6. 已知拋物線 y2=2x 的焦點(diǎn)為 F，準(zhǔn)線為 l，P 是 l 上一點(diǎn)，直線 PF 與拋物線交于 M，N 兩點(diǎn)，若 PF=3MF，則 MN 等于 ?? A. 163 B. 83 C. 2 D. 833 7. 已知過拋物線 y2=42x 焦點(diǎn) F 的直線與拋物線交于 A，B 兩點(diǎn)，且 AF

3、=3FB，拋物線的準(zhǔn)線 l 與 x 軸交于點(diǎn) C，AM⊥l 于點(diǎn) M，則四邊形 AMCF 的面積為 ?? A. 123 B. 12 C. 83 D. 63 8. 已知雙曲線 C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為 F1?c,0，F(xiàn)2c,0，點(diǎn) N 的坐標(biāo)為 ?c,3b22a．若雙曲線 C 左支上的任意一點(diǎn) M 均滿足 ∣MF2∣+∣MN∣>4b，則雙曲線 C 的離心率的取值范圍為 ?? A. 133,5 B. 5,13 C. 1,133∪5,+∞ D. 1,5∪13,+∞ 二、選擇題（共4小題） 9. 已知圓 O1 的方程為 x2+

4、y2=1，圓 O2 的方程為 x+a2+y2=4，如果這兩個(gè)圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù) a 的值可以為 ?? A. 1 B. ?1 C. 3 D. 5 10. 已知雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，在雙曲線上存在點(diǎn) P 滿足 2PF1+PF2≤F1F2，則此雙曲線的離心率 e 可以是 ?? A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 11. 已知點(diǎn) A 是直線 l:x+y?10=0 上一定點(diǎn)，點(diǎn) P，Q 是圓 C:x?42+y?22=4 上的動(dòng)點(diǎn)，若 ∠PAQ 的最大值為 60°，則點(diǎn) A 的坐標(biāo)可以是 ?? A. 4

5、,6 B. 2,8 C. 6,4 D. 8,2 12. 已知橢圓 C1:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，離心率為 e1，橢圓 C1 的上頂點(diǎn)為 M，且 MF1?MF2=0．雙曲線 C2 和橢圓 C1 有相同焦點(diǎn)，且雙曲線 C2 的離心率為 e2，P 為橢圓 C1 與雙曲線 C2 的一個(gè)公共點(diǎn)，若 ∠F1PF2=π3，則正確的是 ?? A. e2e1=2 B. e1?e2=32 C. e12+e22=52 D. e22?e12=1 三、填空題（共4小題） 13. 已知橢圓 x2a2+y2b2=1a>b>0 的短軸長為 2 ，上

6、頂點(diǎn)為 A ，左頂點(diǎn)為 B ，左、右焦點(diǎn)分別是 F1 ， F2 ，且 △F1AB 的面積為 2?32 ，點(diǎn) P 為橢圓上的任意一點(diǎn)，則 1PF1+1PF2 的取值范圍是 ?． 14. 已知直線 l1:k?3x+4?ky+1=0 與 l2:2k?3x?2y+3=0 平行，則 k 的值是 ?. 15. 已知圓 C:x2+y2=4 與圓 D:x2+y2?4x+2y+4=0 交于 A，B 兩點(diǎn)，則兩圓連心線 CD 的方程為 ?，兩圓公共弦 AB 的長為

7、 ?． 16. 在 △ABC 中，∣AB∣=∣BC∣，cosB=?718，若以 A，B 為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn) C，則該橢圓的離心率 e= ?． 四、解答題（共6小題） 17. 已知圓 C：x?12+y?22=25，直線 l：2m+1x+m+1y?7m?4=0． （1）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù) m，直線 l 恒過定點(diǎn)且與圓 C 交于兩個(gè)不同點(diǎn)； （2）求直線 l 被圓 C 截得的弦長最小時(shí)的方程． 18. 如圖，已知 A，B 是圓 x2+y2=4 與 x 軸的交點(diǎn)，P 為直線 l:x=4 上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB 與圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為 M

8、，N． （1）若 P 點(diǎn)坐標(biāo)為 4,6，求直線 MN 的方程； （2）求證：直線 MN 過定點(diǎn)． 19. 已知橢圓 L:x2a2+y2b2=1a>b>0 的離心率為 32，短軸長為 2． （1）求橢圓 L 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過點(diǎn) Q0,2 的直線 l 與橢圓 L 交于 A，B 兩點(diǎn)，若以 AB 為直徑的圓恰好過坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線 l 的方程及 ∣AB∣ 的大小． 20. 已知拋物線 C:x2=2pyp>0，其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 2，直線 l 與拋物線 C 交于 A，B 兩點(diǎn)，過 A，B 分別作拋物線 C 的切線 l1，l2，l1 與 l2 交于點(diǎn) M． （1

9、）求 p 的值； （2）若 l1⊥l2，求 △MAB 面積的最小值． 21. 已知橢圓 E:y2a2+x2b2=1a>b>0 的離心率為 22，且過點(diǎn) C1,0． （1）求橢圓 E 的方程． （2）若過點(diǎn) ?13,0 的任意直線與橢圓 E 相交于 A，B 兩點(diǎn)，線段 AB 的中點(diǎn)為 M，求證：對(duì)任意直線，∣AB∣=2∣CM∣． 22. 順次連接橢圓 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的四個(gè)頂點(diǎn)，怡好構(gòu)成了一個(gè)邊長為 3 且面積為 22 的菱形． （1）求橢圓 C 的方程； （2）設(shè) M?3,0，過橢圓 C 的右焦點(diǎn) F 的直線 l 交橢圓 C 于 A，B 兩點(diǎn)

10、，若對(duì)滿足條件的任意直線 l，不等式 MA?MB≤λλ∈R 恒成立，求 λ 的最小值． 答案 1. C 【解析】拋物線 y2=2pxp>0 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 p2,0， 則在拋物線 y2=4x 中，2p=4，解得 p=2， 則焦點(diǎn)坐標(biāo)為 1,0． 2. C 【解析】在雙曲線 x24?y2=1 中，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ±5,0，漸近線方程為 y=±12x， 所以雙曲線 x24?y2=1 的焦點(diǎn)到漸近線的距離 d=±51+4=1． 3. B 【解析】由題意得 ?ba?ba=?1, 可得 a=b， 則 e2=c2a2=a2+b2a2=2， 所以 e=2． 4. B 【

11、解析】由橢圓方程可得雙曲線的兩焦點(diǎn)為 0,2，0,?2，虛軸長為 ∣F1F2∣=22， 所以雙曲線的虛半軸長為 2，長半軸長為 22?22=2， 所以雙曲線方程為 y22?x22=1， 即 y2?x2=2． 5. C 【解析】圓 x+12+y?22=2 的圓心為 ?1,2，半徑 r=2， 因?yàn)閳A心 ?1,2 到直線 x?y?1=0 距離 d=∣?1?2?1∣2=22，點(diǎn) P 是圓 x+12+y?22=2 上任一點(diǎn)， 所以點(diǎn) P 到直線 x?y?1=0 的距離的最大值為：d+r=22+2=32． 6. B 【解析】拋物線 C：y2=2x 的焦點(diǎn)為 F12,0，準(zhǔn)線為 l:x

12、=?12， 設(shè) Mx1,y1，Nx2,y2，M，N 到準(zhǔn)線的距離分別為 dM，dN， 如圖，過 M 向 l 作垂線，垂足為 Q，則 dM=MQ． 由拋物線的定義可知 MF=dM=x1+12，NF=dN=x2+12， 于是 MN=MF+NF=x1+x2+1． 因?yàn)?PF=3MF，則 PM=2QM， 易知直線 MN 的斜率為 ±3， 因?yàn)?F12,0，所以直線 PF 的方程為 y=±3x?12， 將 y=±3x?12 代入方程 y2=2x，得 3x?122=2x， 化簡得 12x2?20x+3=0，所以 x1+x2=53， 于是 MN=x1+x2+1=53+1=83． 7

13、. A 【解析】過 B 作 BN⊥l 于 N，過 B 作 BK⊥AM 于 K， 設(shè) ∣BF∣=m，∣AF∣=3m，則 ∣AB∣=4m，∣AK∣=2m， 所以 ∠BAM=60°， 所以 ∣CF∣=p=32m=22， 所以 m=423， 所以 ∣AM∣=3m=42，∣MC∣=∣AF∣sin60°=3m×32=26， 所以 S四邊形AMCF=12∣CF∣+∣AM∣?∣MC∣=12×22+42×26=123． 8. C 【解析】由已知可得 ∣MF2∣?∣MF1∣=2a， 若 ∣MF2∣+∣MN∣>4b， 即 ∣MF1∣+∣MN∣+2a>4b， 由題意知，左支上的點(diǎn) M

14、均滿足 ∣MF2∣+∣MN∣>4b， 如圖所示，當(dāng)點(diǎn) M 位于 H 點(diǎn)時(shí)，∣MF1∣+∣MN∣ 最小， 故 3b22a+2a>4b，即 3b2+4a2>8ab， 所以 3b2?8ab+4a2>0， 所以 2a?b2a?3b>0， 所以 2a>3b 或 2a9b2 或 4a25a2， 所以 15， 所以雙曲線 C 的離心率的取值范圍為 1,133∪5,+∞． 9. A， B， C 【解析】由題意得兩圓心之間的距離 d=a=2+1=3 或 d=a=2?1=1， 所以 a

15、=1,?1,3,?3．故選ABC． 10. C， D 【解析】由 OP 為 △F1PF2 的中線，可得 PF1+PF2=2PO， 由 2PF1+PF2≤F1F2，可得 4PO≤F1F2， 由 PO≥a，F(xiàn)1F2=2c，可得 4a≤2c，可得 e=ca≥2． 11. A， D 【解析】點(diǎn) A 是直線 l:x+y?10=0 上一定點(diǎn)，點(diǎn) P，Q 是圓 C:x?42+y?22=4 上的動(dòng)點(diǎn)， 如圖，圓 C 的半徑為 2， 所以直線上的 A 到圓心的距離為 4， 結(jié)合圖形，可知 A 的坐標(biāo)為 4,6 或 8,2，滿足題意． 12. B， D 【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線的

16、標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2a12?y2b12=1a1>0,b1>0，半焦距為 c． 因?yàn)闄E圓 C1 的上頂點(diǎn)為 M， 且 MF1?MF2=0． 所以 ∠F1MF2=π2， 所以 b=c，所以 a2=2c2． 所以 e1=ca=22． 不妨設(shè)點(diǎn) P 在第一象限，設(shè) ∣PF1∣=m，∣PF2∣=n． 所以 m+n=2a，m?n=2a1． 所以 mn=m+n2?m?n24=a2?a12． 在 △PF1F2 中，由余弦定理可得， 4c2=m2+n2?2mncosπ3=m+n2?3mn=4a2?3a2?a12． 所以 4c2=a2+3a12． 兩邊同除以 c2，得 4=1e12+3e

17、22，解得 e2=32． 所以 e2e1=32×2=3，e1?e2=22?32=32， e12+e22=12+32=2，e22?e12=32?12=1． 故選BD． 13. 1,4 【解析】由已知得 2b=2 ， 所以 b=1 ， S△F1AB=12a?cb=2?32 ， 所以 a?c=2?3 ， 又 a2?c2=a+ca?c=b2=1 ，可得 a+c=2+3 ， 解得 a=2 ， c=3 ， 所以 PF1+PF2=2a=4 ， 設(shè) PF1=x ，則 PF2=4?x ，且 2?3≤x≤2+3 ， 所以 1PF1+1PF2=1x+1

18、4?x=4?x2+4x ， ?x2+4x=?x?22+4∈1,4 ， 所以 1PF1+1PF2∈1,4 ． 14. 3 或 5 【解析】由兩直線平行得，當(dāng) k?3=0 時(shí)，兩直線的方程分別為 y=?1 與 y=32，顯然兩直線平行； 當(dāng) k?3≠0 時(shí)，由 k?32k?3≠4?k?2≠13，可得 k=5，綜上所述，k 的值是 3 或 5． 15. x+2y=0，455 【解析】由題意知，圓 C 的圓心坐標(biāo)為 0,0，圓 D 的圓心坐標(biāo)為 2,?1， 可得兩圓連心線 CD 的方程為 x+2y=0， 聯(lián)立兩圓方程 x2+y2=4,x2+y2?4x+2y+4=0, 易知兩圓

19、公共弦 AB 所在直線的方程為 2x?y?4=0， 圓 C 的圓心到直線 AB 的距離 d=?422+12=45， 根據(jù)勾股定理，可知弦長為 24?165=455． 16. 38 【解析】設(shè) ∣AB∣=∣BC∣=1，結(jié)合余弦定理求 ∣AC∣，即 cosB=∣AB∣2+∣BC∣2?∣AC∣22∣AB∣×∣BC∣=?718， 解得 ∣AC∣=53， 然后結(jié)合橢圓的定義知，∣CA∣+∣CB∣=2a=83， 又焦距 2c=1，故離心率 e=ca=38． 17. （1） 直線 l：2m+1x+m+1y?7m?4=0 可化為 m2x+y?7+x+y?4=0， 由 2x+y?7=

20、0,x+y?4=0, 解得 x=3,y=1, 所以直線 l 恒過點(diǎn) P3,1，而點(diǎn) P3,1 在圓 C 內(nèi)， 所以對(duì)任意實(shí)數(shù) m，直線 l 恒過點(diǎn) P3,1 且與圓 C 交于兩個(gè)不同點(diǎn)． ??????（2） 由（1）得，直線 l 恒過圓 C 內(nèi)的定點(diǎn) P3,1， 設(shè)過點(diǎn) P 的弦長為 a，過圓心 C 向直線 l 作垂線，垂足為弦的中點(diǎn) H， 則 a22+∣CH∣2=25，弦長 a 最短， 則 CH 最大，而 ∣CH∣≤∣CP∣， 當(dāng)且僅當(dāng) H 與 P 重合時(shí)取等號(hào)， 此時(shí)弦所在的直線與 CP 垂直，即弦所在直線的斜率為 ?1KCP=?3?11?2=2， 又直線過點(diǎn) P3,1

21、， 所以，當(dāng)直線 l 被圓 C 截得的弦長最小時(shí)，弦所在的直線方程為 2x?y?5=0． 18. （1） 直線 PA 的方程為 y=x+2， 由 y=x+2,x2+y2=4, 解得 M0,2； 直線 PB 的方程為 y=3x?6， 由 y=3x?6,x2+y2=4, 解得 N85,?65． 所以直線 MN 的方程為 2x+y?2=0． ??????（2） 設(shè) P4,t，則直線 PA 的方程為 y=t6x+2， 直線 PB 的方程為 y=t2x?2 ， 由 x2+y2=4,y=t6x+2, 得 M72?2t236+t2,24t36+t2， 同理得 N2t2?84+t2,?8t

22、4+t2， 直線 MN 的斜率 k=24t36+t2??8t4+t272?2t236+t2?2t2?84+t2=8t12?t2， 直線 MN 的方程為 y=8t12?t2x?2t2?84+t2?8t4+t2， 化簡得 y=8t12?t2x?8t12?t2，所以直線 MN 過定點(diǎn) 1,0． 19. （1） 由 e2=c2a2=a2?b2a2=1?b2a2=34，得 a2=4b2， 又短軸長為 2，可得 b=1，a2=4， 所以橢圓 L 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x24+y2=1． ??????（2） 易知直線 l 的斜率存在且不為零， 設(shè)直線 l 的斜率為 kk≠0， 則直線 l 的方程為

23、 y=kx+2， 則聯(lián)立 y=kx+2,x2+4y2?4=0, 消元得 4k2+1x2+16kx+12=0， Δ=16×16k2?484k2+1=164k2?3>0，即 k2>34， 設(shè) Ax1,y1，Bx2,y2， 所以 x1+x2=?16k4k2+1，x1?x2=124k2+1， 由題意可知 OA⊥OB，即 OA?OB=0， 所以 x1?x2+y1?y2=1+k2x1?x2+2kx1+x2+4=0， 所以 121+k21+4k2?32k21+4k2+4=0，解得 k2=4>34， 所以 ∣AB∣=1+k2x1?x2=1+k2?x1+x22?4x1x2=1+k2?4

24、4k2?31+4k2=46517. 綜上，直線 l 的方程為 2x?y+2=0 或 2x+y?2=0，∣AB∣=46517． 20. （1） 由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為 0,p2，準(zhǔn)線方程為 y=?p2， 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 2，即 p=2． ??????（2） 拋物線的方程為 x2=4y，即 y=14x2，所以 y?=12x． 設(shè) Ax1,y1，Bx2,y2， l1:y?x124=x12x?x1，l2:y?x224=x22x?x2． 由于 l1⊥l2，所以 x12?x22=?1，即 x1x2=?4． 由題意知直線 l 的斜率存在， 設(shè)直線 l 的方程為 y=kx+m，與拋

25、物線方程聯(lián)立， 得 y=kx+m,x2=4y, 所以 x2?4kx?4m=0， Δ=16k2+16m>0，x1+x2=4k，x1x2=?4m=?4， 所以 m=1，即 l:y=kx+1． 聯(lián)立方程 y=x12x?x124,y=x22x?x224, 得 x=2k,y=?1, 即 M2k,?1， M 點(diǎn)到直線 l 的距離 d=k?2k+1+11+k2=2k2+11+k2， AB=1+k2x1+x22?4x1x2=41+k2， 所以 S△MAB=12×41+k2×2k2+11+k2=41+k232≥4， 當(dāng) k=0 時(shí)，△MAB 的面積取得最小值 4． 21. （1） 由題意

26、知 b=1，ca=22， 又因?yàn)?a2=b2+c2，解得 a=2， 所以橢圓 E 的方程為 y22+x2=1． ??????（2） 當(dāng)過點(diǎn) ?13,0 的直線斜率為零時(shí)，顯然滿足題意； 當(dāng)斜率不為零時(shí)，設(shè)過點(diǎn) ?13,0 的直線方程為 x=ty?13， 設(shè) Ax1,y1，Bx2,y2， 由 x=ty?13,y22+x2=1, 得 9+18t2y2?12ty?16=0，且 Δ>0． 則 y1+y2=12t9+18t2,y1y2=?169+18t2. 又因?yàn)?CA=x1?1,y1，CB=x2?1,y2， CA?CB=x1?1x2?1+y1y2=ty1?43ty2?43+y

27、1y2=1+t2y1y2?43ty1+y2+169=1+t2×?169+18t2?4t3?12t9+18t2+169=0, 所以 CA⊥CB． 因?yàn)榫€段 AB 的中點(diǎn)為 M， 所以 ∣AB∣=2∣CM∣． 22. （1） 由已知得 12×2a×2b=22,a2+b2=3, 又 a>b>0， 所以 a=2，b=1， 所以橢圓 C 的方程為 x22+y2=1． ??????（2） 設(shè) Ax1,y1，Bx2,y2， MA?MB=x1+3,y1?x2+3,y2=x1+3x2+3+y1y2， 當(dāng)直線 l 垂直于 x 軸時(shí)，x1=x2=1，y1=?y2，且 y12=12， 此時(shí)

28、 MA=4,y1，MB=4,y2， 所以 MA?MB=312； 當(dāng)直線 l 不垂直于 x 軸時(shí)，設(shè)直線 l:y=kx?1， 由 y=kx?1,x2+2y2=2, 得 1+2k2x2?4k2x+2k2?2=0， Δ=?4k22?42k2?21+2k2>0， 所以 x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2?21+2k2， 所以 MA?MB=x1x2+3x1+x2+9+k2x1?1x2?1=1+k2x1x2+3?k2x1+x2+k2+9=31k2+72k2+1=1231?172k2+1<312, 要使不等式 MA?MB≤λλ∈R 恒成立， 只需 λ≥MA?MBmax=312． 即 λ 的最小值為 312． 第11頁（共11 頁）