《全國各地2015年中考數(shù)學試卷解析分類匯編（第2期）專題31 點直線與圓的位置關系》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《全國各地2015年中考數(shù)學試卷解析分類匯編（第2期）專題31 點直線與圓的位置關系（62頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、點直線與圓的位置關系一.選擇題1（2015棗莊,第11題3分）如圖，一個邊長為4cm的等邊三角形ABC的高與O的直徑相等O與BC相切于點C，與AC相交于點E，則CE的長為（）A4cmB3cmC2cmD1.5cm考點：切線的性質；等邊三角形的性質.分析：連接OC，并過點O作OFCE于F，求出等邊三角形的高即可得出圓的直徑，繼而得出OC的長度，在RtOFC中，可得出FC的長，利用垂徑定理即可得出CE的長解答：解：連接OC，并過點O作OFCE于F，ABC為等邊三角形，邊長為4cm，ABC的高為2cm，OC=cm，又ACB=60，OCF=30，在RtOFC中，可得FC=cm，即CE=2FC=3cm故選
2、B點評：本題主要考查了切線的性質，等邊三角形的性質和解直角三角形的有關知識，題目不是太難，屬于基礎性題目2（2015湖南湘西州，第15題，4分）O的半徑為5cm，點A到圓心O的距離OA=3cm，則點A與圓O的位置關系為（）A點A在圓上B點A在圓內C點A在圓外D無法確定考點：點與圓的位置關系.分析：根據點與圓的位置關系的判定方法進行判斷解答：解：O的半徑為5cm，點A到圓心O的距離為3cm，即點A到圓心O的距離小于圓的半徑，點A在O內故選B點評：本題考查了點與圓的位置關系：設O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有點P在圓外dr；點P在圓上d=r；點P在圓內dr3 （2015年浙江衢州10，
3、3分）如圖，已知等腰，以為直徑的圓交于點，過點的的切線交于點，若，則的半徑是【 】A. B. C. D. 【答案】D【考點】等腰三角形的性質；切線的性質；平行的判定和性質；矩形的判定和性質；勾股定理；方程思想的應用【分析】如答圖，連接，過點作于點，.，.是的切線，.，且四邊形是矩形.，由勾股定理，得.設的半徑是，則.由勾股定理，得，即，解得.的半徑是.故選D4.（2015山東萊蕪,第12題3分）如圖，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，以BC為直徑的O與AD相切，點E為AD的中點，下列結論正確的個數(shù)是（）（1）AB+CD=AD；（2）SBCE=SABE+SDCE；（3）ABCD=；（4）
4、ABE=DCE A 1 B 2 C 3 D 4考點： 圓的綜合題.分析： 設DC和半圓O相切的切點為F，連接OF，根據切線長定理以及相似三角形的判定和性質逐項分析即可解答： 解：設DC和半圓O相切的切點為F，在直角梯形ABCD中ABCD，ABBC，ABC=DCB=90，AB為直徑，AB，CD是圓的切線，AD與以AB為直徑的O相切，AB=AF，CD=DF，AD=AE+DE=AB+CD，故正確；如圖1，連接OE，AE=DE，BO=CO，OEABCD，OE=（AB+CD），OEBC，SBCE=BCOE=（AB+CD）=（AB+CD）BC=SABE+SDCE，故正確；如圖2，連接AO，OD，ABCD，
5、BAD+ADC=180，AB，CD，AD是O的切線，OAD+EDO=（BAD+ADC）=90，AOD=90，AOB+DOC=AOB+BAO=90，BAO=DOC，ABOCDO，ABCD=OBOC=BCBC=BC2，故正確，如圖1，OB=OC，OEBC，BE=CE，BEO=CEO，ABOECD，ABE=BEO，DCE=OEC，ABE=DCE，故正確，綜上可知正確的個數(shù)有4個，故選D點評： 本題考查了切線的判定和性質、相似三角形的判定與性質、直角三角形的判定與性質解決本題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理、性質定理，做到靈活運用5、（2015年四川省達州市中考，10,3分）如圖，AB為半圓O的在
6、直徑，AD、BC分別切O于A、B兩點，CD切O于點E，連接OD、OC，下列結論：DOC=90，AD+BC=CD，SAOD：SBOC=AD2：AO2，OD：OC=DE：EC，OD2=DECD，正確的有（）A2個B3個C4個D5個考點：切線的性質；切線長定理；相似三角形的判定與性質. 分析：連接OE，由AD，DC，BC都為圓的切線，根據切線的性質得到三個角為直角，且利用切線長定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代換可得出CD=AD+BC，選項正確；由AD=ED，OD為公共邊，利用HL可得出直角三角形ADO與直角三角形EDO全等，可得出AOD=EOD，同理得到EOC=BOC，而這
7、四個角之和為平角，可得出DOC為直角，選項正確；由DOC與DEO都為直角，再由一對公共角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似，可得出三角形DEO與三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DECD，選項正確；由AODBOC，可得=，選項正確；由ODEOEC，可得，選項正確解答：解：連接OE，如圖所示：AD與圓O相切，DC與圓O相切，BC與圓O相切，DAO=DEO=OBC=90，DA=DE，CE=CB，ADBC，CD=DE+EC=AD+BC，選項正確；在RtADO和RtEDO中，RtADORtEDO（HL），AOD=EOD，同理RtCEORtCBO，EOC=BOC，又AOD+DOE+EOC+
8、COB=180，2（DOE+EOC）=180，即DOC=90，選項正確；DOC=DEO=90，又EDO=ODC，EDOODC，=，即OD2=DCDE，選項正確；AOD+COB=AOD+ADO=90，A=B=90，AODBOC，=，選項正確；同理ODEOEC，選項正確；故選D點評：此題考查了切線的性質，切線長定理，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，利用了轉化的數(shù)學思想，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵二.填空題1、(2015年浙江省義烏市中考,14,5分)在RtABC中，C=90，BC=3，AC=4，點P在以C為圓心，5為半徑的圓上，連結PA，PB。若PB=4，則PA的長為 考點：
9、點與圓的位置關系；勾股定理；垂徑定理.專題：分類討論分析：連結CP，PB的延長線交C于P，如圖，先計算出CB2+PB2=CP2，則根據勾股定理的逆定理得CBP=90，再根據垂徑定理得到PB=PB=4，接著證明四邊形ACBP為矩形，則PA=BC=3，然后在RtAPP中利用勾股定理計算出PA=，從而得到滿足條件的PA的長為3或解答：解：連結CP，PB的延長線交C于P，如圖，CP=5，CB=3，PB=4，CB2+PB2=CP2，CPB為直角三角形，CBP=90，CBPB，PB=PB=4，C=90，PBAC，而PB=AC=4，四邊形ACBP為矩形，PA=BC=3，在RtAPP中，PA=3，PP=8，P
10、A=，PA的長為3或故答案為3或點評：本題考查了點與圓的位置關系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系也考查了垂徑定理和勾股定理2.(2015山東泰安,第24題3分）如圖，AB是O的直徑，且經過弦CD的中點H，過CD延長線上一點E作O的切線，切點為F若ACF=65，則E=50考點：切線的性質.分析：連接DF，連接AF交CE于G，由AB是O的直徑，且經過弦CD的中點H，得到，由于EF是O的切線，推出GFE=GFD+DFE=ACF=65根據外角的性質和圓周角定理得到EFG=EGF=65，于是得到結果解答：解：連接DF，連接AF交C
11、E于G，AB是O的直徑，且經過弦CD的中點H，EF是O的切線，GFE=GFD+DFE=ACF=65，F(xiàn)GD=FCD+CFA，DFE=DCF，GFD=AFC，EFG=EGF=65，E=180EFGEGF=50， 故答案為：50點評：本題考查了切線的性質，圓周角定理，垂徑定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵3.（2015煙臺,第18題3分）如圖，直線與坐標軸交于AB兩點，點是軸上一動點，一點M為圓心，2個單位長度為半徑作M，當M與直線想切時，的值為_?？键c：直線與圓的位置關系、坐標的計算分析：先求出直線與兩坐標軸的交點坐標，然后利用直線與圓M相切，要注意考慮有兩種情況，再用相似三角形的性質來求BM的
12、長度，進而求出m的值解答：直線與y軸、x軸的交點坐標為A（0，1），B（2,0），由勾股定理可得AB=如圖（1）當圓M與直線AB相切于點C時，AOBMCB，即，解得BM=2所以m=BM-OB=2-2.如圖（2）AOBMDB， ，解得BM=2m= BM+ OB =2+2點評：本題為圓與相似的綜合題，應用了坐標的求法、相似形三角形的性質、勾股定理、直線與圓的關系等知識。特別是直線AB與M相切有兩種情形，具有較強的區(qū)分度。4（2015甘肅天水，第11題，4分）相切兩圓的半徑分別是5和3，則該兩圓的圓心距是2或8考點： 圓與圓的位置關系專題： 計算題分析： 根據兩圓內切或外切兩種情況，求出圓心距即可解
13、答： 解：若兩圓內切，圓心距為53=2；若兩圓外切，圓心距為5+3=8，故答案為：2或8點評： 此題考查了圓與圓的位置關系，利用了分類討論的思想，分類討論時做到不重不漏，考慮問題要全面5（2015湖南湘西州，第8題，4分）如圖，在O中，OAB=45，圓心O到弦AB的距離OE=2cm，則弦AB的長為4cm考點：垂徑定理；等腰直角三角形.分析：首先由垂徑定理可知：AE=BE，然后再在RtAOE中，由特殊銳角三角函數(shù)可求得AE=OE=2，從而可求得弦AB的長解答：解：OEAB，AE=EB在RtAOE中，OAB=45，tanOAB=，AE=OE=2AB=2AE=22=4故答案為：4cm點評：本題主要考
14、查的是銳角三角函數(shù)和垂徑定理的應用，掌握垂徑定理和特殊銳角三角函數(shù)值是解題的關鍵6（2015江蘇鎮(zhèn)江，第10題，2分）如圖，AB是O的直徑，OA=1，AC是O的弦，過點C的切線交AB的延長線于點D，若BD=1，則ACD=112.5考點：切線的性質.分析：如圖，連結OC根據切線的性質得到OCDC，根據線段的和差故選得到OD=，根據勾股定理得到CD=1，根據等腰直角三角形的性質得到DOC=45，根據等腰三角形的性質和三角形外角的性質得到OCA=DOC=22.5，再根據角的和差故選得到ACD的度數(shù)解答：解：如圖，連結OCDC是O的切線，OCDC，BD=1，OA=OB=OC=1，OD=，CD=1，OC
15、=CD，DOC=45，OA=OC，OAC=OCA，OCA=DOC=22.5，ACD=OCA+OCD=22.5+90=112.5故答案為：112.5點評：本題考查了切線的性質，勾股定理以及等腰三角形的性質本題關鍵是得到OCD是等腰直角三角形7（2015鄂州, 第15題3分）已知點P是半徑為1的O外一點，PA切O于點A，且PA=1，AB是O的弦，AB=，連接PB，則PB=1或考點： 切線的性質專題： 分類討論分析： 本題應分兩種情況進行討論：（1）如圖1，可以根據已知條件證明POAPOB，然后即可求出PB；（2）如圖2，此時可以根據已知條件證明PABO是平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質和勾股定
16、理即可求出PB解答： 解：連接OA，（1）如圖1，連接OA，PA=AO=1，OA=OB，PA是的切線，AOP=45OA=OB，BOP=AOP=45，在POA與POB中，POAPOB，PB=PA=1；（2）如圖2，連接OA，與PB交于C，PA是O的切線，OAPA，而PA=AO=，1OP=；AB=，而OA=OB=1，AOBO，四邊形PABO是平行四邊形，PB，AO互相平分；設AO交PB與點C，即OC=，BC=，PB=故答案為：1或點評： 本題考查了切線的性質、勾股定理，全等三角形的性質與判定，平行四邊形的性質與判定等知識，綜合性比較強，注意分類討論，不要漏解8. （2015江蘇鹽城，第16題3分）
17、如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以頂點D為圓心作半徑為r的圓，若要求另外三個頂點A、B、C中至少有一個點在圓內，且至少有一個點在圓外，則r的取值范圍是3r5考點：點與圓的位置關系分析：要確定點與圓的位置關系，主要根據點與圓心的距離與半徑的大小關系來進行判斷當dr時，點在圓外；當d=r時，點在圓上；當dr時，點在圓內解答：解：在直角ABD中，CD=AB=4，AD=3，則BD=5由圖可知3r5故答案為：3r5點評：此題主要考查了點與圓的位置關系，解決本題要注意點與圓的位置關系，要熟悉勾股定理，及點與圓的位置關系三.解答題1（2015湖北, 第25題10分）如圖，AB是O的直徑，點C為O
18、上一點，AE和過點C的切線互相垂直，垂足為E，AE交O于點D，直線EC交AB的延長線于點P，連接AC，BC，PB：PC=1：2（1）求證：AC平分BAD；（2）探究線段PB，AB之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）若AD=3，求ABC的面積考點： 圓的綜合題分析： （1）首先連接OC，由PE是O的切線，AE和過點C的切線互相垂直，可證得OCAE，又由OA=OC，易證得DAC=OAC，即可得AC平分BAD；（2）由AB是O的直徑，PE是切線，可證得PCB=PAC，即可證得PCBPAC，然后由相似三角形的對應邊成比例與PB：PC=1：2，即可求得答案；（3）首先過點O作OHAD于點H，則AH=AD=
19、，四邊形OCEH是矩形，即可得AE=+OC，由OCAE，可得PCOPEA，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得OC的長，再由PBCPCA，證得AC=2BC，然后在RtABC中，AC2+BC2=AB2，可得（2BC）2+BC2=52，即可求得BC的長，繼而求得答案解答： （1）證明：連接OC，PE是O的切線，OCPE，AEPE，OCAE，DAC=OCA，OA=OC，OCA=OAC，DAC=OAC，AC平分BAD；（2）線段PB，AB之間的數(shù)量關系為：AB=3PB理由：AB是O的直徑，ACB=90，BAC+ABC=90，OB=OC，OCB=ABC，PCB+OCB=90，PCB=PAC，P是公共角，
20、PCBPAC，PC2=PBPA，PB：PC=1：2，PC=2PB，PA=4PB，AB=3PB；（3）解：過點O作OHAD于點H，則AH=AD=，四邊形OCEH是矩形，OC=HE，AE=+OC，OCAE，PCOPEA，AB=3PB，AB=2OB，OB=PB，=，OC=，AB=5，PBCPCA，AC=2BC，在RtABC中，AC2+BC2=AB2，（2BC）2+BC2=52，BC=，AC=2，SABC=ACBC=5點評： 此題屬于圓的綜合題，考查了圓周角定理、切線的性質、勾股定理以及相似三角形的判定與性質注意準確作出輔助線是解此題的關鍵2（2015衡陽, 第26題8分）如圖，AB是O的直徑，點C、
21、D為半圓O的三等分點，過點C作CEAD，交AD的延長線于點E（1）求證：CE是O的切線；（2）判斷四邊形AOCD是否為菱形？并說明理由考點： 切線的判定；菱形的判定分析： （1）連接AC，由題意得=，DAC=CAB，即可證明AEOC，從而得出OCE=90，即可證得結論；（2）四邊形AOCD為菱形由=，則DCA=CAB可證明四邊形AOCD是平行四邊形，再由OA=OC，即可證明平行四邊形AOCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；解答： 解：（1）連接AC，點CD是半圓O的三等分點，=，DAC=CAB，OA=OC，CAB=OCA，DAC=OCA，AEOC（內錯角相等，兩直線平行）OCE=E，
22、CEAD，OCE=90，OCCE，CE是O的切線；（2）四邊形AOCD為菱形理由是：=，DCA=CAB，CDOA，又AEOC，四邊形AOCD是平行四邊形，OA=OC，平行四邊形AOCD是菱形點評： 本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質、平行線的判定和性質、菱形的判定和性質，是中學階段的重點內容3（2015鄂州, 第22題9分）如圖，在ABC中，AB=AC，AE是BAC的平分線，ABC的平分線 BM交AE于點M，點O在AB上，以點O為圓心，OB的長為半徑的圓經過點M，交BC于點G，交 AB于點F（1）求證：AE為O的切線（2）當BC=8，AC=12時，求O的半徑（3）在（2）的條件下，求線段B
23、G的長考點： 圓的綜合題分析： （1）連接OM利用角平分線的性質和平行線的性質得到AEOM后即可證得AE是O的切線；（2）設O的半徑為R，根據OMBE，得到OMABEA，利用平行線的性質得到=，即可解得R=3，從而求得O的半徑為3；（3）過點O作OHBG于點H，則BG=2BH，根據OME=MEH=EHO=90，得到四邊形OMEH是矩形，從而得到HE=OM=3和BH=1，證得結論BG=2BH=2解答： （1）證明：連接OMAC=AB，AE平分BAC，AEBC，CE=BE=BC=4，OB=OM，OBM=OMB，BM平分ABC，OBM=CBM，OMB=CBM，OMBC又AEBC，AEOM，AE是O的
24、切線；（2）設O的半徑為R，OMBE，OMABEA，=即=，解得R=3，O的半徑為3；（3）過點O作OHBG于點H，則BG=2BH，OME=MEH=EHO=90，四邊形OMEH是矩形，HE=OM=3，BH=1，BG=2BH=2點評： 本題考查了圓的綜合知識，題目中還運用到了切線的判定與性質、相似三角形的判定與性質，綜合性較強，難度較大4. （2015江蘇南通，第24題8分）如圖，PA，PB分別與O相切于A，B兩點，ACB=60（1）求P的度數(shù)；（2）若O的半徑長為4cm，求圖中陰影部分的面積考點：切線的性質；扇形面積的計算.分析：（1）由PA與PB都為圓O的切線，利用切線的性質得到OA垂直于A
25、P，OB垂直于BP，可得出兩個角為直角，再由同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，由已知C的度數(shù)求出AOB的度數(shù)，在四邊形PABO中，根據四邊形的內角和定理即可求出P的度數(shù)（2）由S陰影=2（SPAOS扇形）則可求得結果解答：解：連接OA、OB，PA、PB是O的切線，OAAP，OBBP，OAP=OBP=90，又AOB=2C=120，P=360（90+90+120）=60P=60（2）連接OP，PA、PB是O的切線，APB=30，在RTAPO中，tan30=，AP=4cm，S陰影=2SAOPS扇形=2（4）=（16）（cm2）點評：此題考查了切線的性質，解直角三角函數(shù)，扇形面積公式等知識此題難度
26、不大，注意數(shù)形結合思想的應用5. （2015江蘇泰州，第24題10分）如圖，ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O與BC相交于點D，與CA的延長線相交于點E，過點D作DFAC于點F（1）試說明DF是O的切線；（2）若AC=3AE，求tanC考點：切線的判定.分析：（1）連接OD，根據等邊對等角得出B=ODB，B=C，得出ODB=C，證得ODAC，證得ODDF，從而證得DF是O的切線；（2）連接BE，AB是直徑，AEB=90，根據勾股定理得出BE=2AE，CE=4AE，然后在RTBEC中，即可求得tanC的值解答：（1）證明：連接OD，OB=OD，B=ODB，AB=AC，B=C，ODB=C，OD
27、AC，DFAC，ODDF，DF是O的切線；（2）解：連接BE，AB是直徑，AEB=90，AB=AC，AC=3AE，AB=3AE，CE=4AE，BE=2AE，在RTBEC中，tanC=點評：本題考查了等腰三角形的性質，平行線的判定和性質，切線的判定，勾股定理的應用以及直角三角函數(shù)等，是一道綜合題，難度中等6. （2015江蘇鹽城，第23題10分）如圖，在ABC中，CAB=90，CBA=50，以AB為直徑作O交BC于點D，點E在邊AC上，且滿足ED=EA（1）求DOA的度數(shù)；（2）求證：直線ED與O相切考點：切線的判定分析：（1）根據圓周角定理即可得到結論；（2）連接OE，通過EAOEDO，即可得
28、到EDO=90，于是得到結論解答：（1）解；DBA=50，DOA=2DBA=100，（2）證明：連接OE在EAO與EDO中，EAOEDO，EDO=EAO，BAC=90，EDO=90，DE與O相切點評：本題考查了切線的判定，全等三角形的判定和性質，連接OE構造全等三角形是解題的關鍵 7（2015棗莊,第24題10分）如圖，在ABC中，ABC=90，以AB的中點O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點D，E是BC的中點，連接DE，OE（1）判斷DE與O的位置關系，并說明理由；（2）求證：BC2=CD2OE；（3）若cosBAD=，BE=6，求OE的長考點：切線的判定；相似三角形的判定與性質.分析：（1）
29、連接OD，BD，由AB為圓O的直徑，得到ADB為直角，可得出三角形BCD為直角三角形，E為斜邊BC的中點，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到CE=DE，利用等邊對等角得到一對角相等，再由OA=OD，利用等邊對等角得到一對角相等，由直角三角形ABC中兩銳角互余，利用等角的余角相等得到ADO與CDE互余，可得出ODE為直角，即DE垂直于半徑OD，可得出DE為圓O的切線；（2）證明OE是ABC的中位線，則AC=2OE，然后證明ABCBDC，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可證得；（3）在直角ABC中，利用勾股定理求得AC的長，根據三角形中位線定理OE的長即可求得解答：（1）證明：連接OD，BD，
30、AB為圓O的直徑，ADB=90，在RtBDC中，E為斜邊BC的中點，CE=DE=BE=BC，C=CDE，OA=OD，A=ADO，ABC=90，即C+A=90，ADO+CDE=90，即ODE=90，DEOD，又OD為圓的半徑，DE為O的切線；（2）證明：E是BC的中點，O點是AB的中點，OE是ABC的中位線，AC=2OE，C=C，ABC=BDC，ABCBDC，=，即BC2=ACCDBC2=2CDOE；（3）解：cosBAD=，sinBAC=，又BE=6，E是BC的中點，即BC=12，AC=15又AC=2OE，OE=AC=點評：本題考查了切線的判定，垂徑定理以及相似三角形的判定與性質等知識點要證某
31、線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可8.（2015湖北省隨州市，第22題8分）如圖，射線PA切O于點A，連接PO（1）在PO的上方作射線PC，使OPC=OPA（用尺規(guī)在原圖中作，保留痕跡，不寫作法），并證明：PC是O的切線；（2）在（1）的條件下，若PC切O于點B，AB=AP=4，求的長考點：切線的判定與性質；弧長的計算；作圖基本作圖.分析：（1）按照作一個角等于已知角的作圖方法作圖即可，連接OA，作OBPC，根據角平分線的性質證明OA=OB即可證明PC是O的切線；（2）首先證明PAB是等邊三角形，則APB=60，進而POA=60，在RtAOP中求出OA，
32、用弧長公式計算即可解答：解：（1）作圖如右圖，連接OA，過O作OBPC，PA切O于點A，OAPA，又OPC=OPA，OBPC，OA=OB，即d=r，PC是O的切線；（2）PA、PC是O的切線，PA=PB，又AB=AP=4，PAB是等邊三角形，APB=60，AOB=120，POA=60，在RtAOP中，tan60=OA=點評：本題考查了尺規(guī)作圖、切線的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、銳角三角函數(shù)以及弧長的計算，求出圓心角和半徑長是解決問題的關鍵9.（2015湖北省咸寧市，第21題9分）如圖，在ABC中，C=90，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓恰好與BC相切于點D，分別交AC、AB于點
33、E、F（1）若B=30，求證：以A、O、D、E為頂點的四邊形是菱形（2）若AC=6，AB=10，連結AD，求O的半徑和AD的長考點：切線的性質；菱形的判定與性質；相似三角形的判定與性質.分析：（1）連接OD、OE、ED先證明AOE是等邊三角形，得到AE=AO=0D，則四邊形AODE是平行四邊形，然后由OA=OD證明四邊形AODE是菱形；（2）連接OD、DF先由OBDABC，求出O的半徑，然后證明ADCAFD，得出AD2=ACAF，進而求出AD解答：（1）證明：如圖1，連接OD、OE、EDBC與O相切于一點D，ODBC，ODB=90=C，ODAC，B=30，A=60，OA=OE，AOE是等邊三角
34、形，AE=AO=0D，四邊形AODE是平行四邊形，OA=OD，四邊形AODE是菱形（2）解：設O的半徑為rODAC，OBDABC，即8r=6（8r）解得r=，O的半徑為如圖2，連接OD、DFODAC，DAC=ADO，OA=OD，ADO=DAO，DAC=DAO，AF是O的直徑，ADF=90=C，ADCAFD，AD2=ACAF，AC=6，AF=，AD2=6=45，AD=3點評：本題考查了切線的性質、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質、菱形的判定和性質以及相似三角形的判定和性質，是一個綜合題，難度中等熟練掌握相關圖形的性質及判定是解本題的關鍵10.（2015湖北省潛江市、天門市、仙桃市、江漢油田第2
35、2 題8分）如圖，AC是O的直徑，OB是O的半徑，PA切O于點A，PB與AC的延長線交于點M，COB=APB（1）求證：PB是O的切線；（2）當OB=3，PA=6時，求MB，MC的長考點：切線的判定與性質.分析：（1）根據切線的性質，可得MAP=90，根據直角三角形的性質，可得P+M=90，根據余角的性質，可得M+MOB=90，根據直角三角形的判定，可得MOB=90，根據切線的判定，可得答案；（2）根據相似三角形的判定與性質，可得=，根據解方程組，可得答案解答：（1）證明：PA切O于點A，MAP=90，P+M=90COB=APB，M+MOB=90，MOB=90，即OBPB，PB經過直徑的外端點
36、，PB是O的切線；（2）COB=APB，OBM=PAM，OBMAPM，=，= ，= 聯(lián)立得，解得，當OB=3，PA=6時，MB=4，MC=2點評：本題考查了切線的判定與性質，（1）利用了切線的判定與性質，直角三角形的判定與性質，余角的性質；（2）利用了相似三角形的判定與性質，解方程組11（2015恩施州第23題10分）如圖，AB是O的直徑，AB=6，過點O作OHAB交圓于點H，點C是弧AH上異于A、B的動點，過點C作CDOA，CEOH，垂足分別為D、E，過點C的直線交OA的延長線于點G，且GCD=CED（1）求證：GC是O的切線；（2）求DE的長；（3）過點C作CFDE于點F，若CED=30，
37、求CF的長考點：圓的綜合題.分析：（1）先證明四邊形ODCE是矩形，得出DCE=90，DE=OC，MC=MD，得出CED+MDC=90，MDC=MCD，證出GCD+MCD=90，即可得出結論；（2）由（1）得：DE=OC=AB，即可得出結果；（3）運用三角函數(shù)求出CE，再由含30角的直角三角形的性質即可得出結果解答：（1）證明：連接OC，交DE于M，如圖所示：OHAB，CDOA，CEOH，DOE=OEC=ODC=90，四邊形ODCE是矩形，DCE=90，DE=OC，MC=MD，CED+MDC=90，MDC=MCD，GCD=CED，GCD+MCD=90，即GCOC，GC是O的切線；（2）解：由（
38、1）得：DE=OC=AB=3；（3）解：DCE=90，CED=30，CE=DEcosCED=3=，CF=CE=點評：本題是圓的綜合題目，考查了切線的判定、矩形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、三角函數(shù)、含30角的直角三角形的性質等知識；本題有一定難度，綜合性強，特別是（1）中，需要證明四邊形是矩形，運用角的關系才能得出結論12.（2015黃石第19題，7分）如圖，O的直徑AB=4，ABC=30，BC交O于D，D是BC的中點（1）求BC的長；（2）過點D作DEAC，垂足為E，求證：直線DE是O的切線考點：切線的判定；含30度角的直角三角形；圓周角定理.分析：（1）根據圓周角定理求得ADB=9
39、0，然后解直角三角形即可求得BD，進而求得BC即可；（2）要證明直線DE是O的切線只要證明EDO=90即可解答：證明：（1）解：連接AD，AB是O的直徑，ADB=90，又ABC=30，AB=4，BD=2，D是BC的中點，BC=2BD=4；（2）證明：連接ODD是BC的中點，O是AB的中點，DO是ABC的中位線，ODAC，則EDO=CED又DEAC，CED=90，EDO=CED=90DE是O的切線點評：此題主要考查了切線的判定以及含30角的直角三角形的性質解題時要注意連接過切點的半徑是圓中的常見輔助線13（2015甘肅慶陽，第28題，12分）如圖，在ABC中，AB=AC，以AC為直徑作O交BC于
40、點D，過點D作O的切線，交AB于點E，交CA的延長線于點F（1）求證：FEAB；（2）當EF=6，=時，求DE的長考點：切線的性質；相似三角形的判定與性質.分析：（1）連接AD、OD，根據直徑所對的圓周角是直角求出ADC=90，根據等腰三角形的性質證明D是BC的中點，得到OD是ABC的中位線，根據切線的性質證明結論；（2）根據平行線分線段成比例定理，列出比例式計算得到答案解答：（1）證明：連接AD、OD，AC為O的直徑，ADC=90，又AB=AC，CD=DB，又CO=AO，ODAB，F(xiàn)D是O的切線，ODEF，F(xiàn)EAB；（2）=，=，ODAB，=，又EF=6，DE=9點評：本題考查的是切線的性質
41、和平行線分線段成比例定理，掌握圓的切線垂直于過切點的半徑和等腰三角形的三線合一是解題的關鍵14（2015甘肅天水，第21題，10分）如圖，在平面直角坐標系內，O為原點，點A的坐標為（3，0），經過A、O兩點作半徑為的C，交y軸的負半軸于點B（1）求B點的坐標；（2）過B點作C的切線交x軸于點D，求直線BD的解析式考點： 一次函數(shù)綜合題專題： 代數(shù)綜合題；壓軸題分析： （1）由于AOB=90，故AB是直徑，且AB=5在RtAOB中，由勾股定理可得BO=4，則B點的坐標為（0，4）；（2）由于BD是C的切線，CB是C的半徑，故BDAB，即ABD=90，有DAB+ADB=90，又因為BDO+OBD=
42、90，所以DAB=DBO，由于AOB=BOD=90，故ABOBDO，=，OD=，D的坐標為（，0），把B，D兩點坐標代入一次函數(shù)的解析式便可求出k，b的值，從而求出其解析式解答： 解：（1）AOB=90，AB是直徑，且AB=5，在RtAOB中，由勾股定理可得BO=4，B點的坐標為（0，4）；（2）BD是C的切線，CB是C的半徑，BDAB，即ABD=90，DAB+ADB=90又BDO+OBD=90，DAB=DBO，AOB=BOD=90，ABOBDO，=，OD=，D的坐標為（，0）設直線BD的解析式為y=kx+b（k0，k、b為常數(shù)），則有，直線BD的解析式為y=x4點評： 此題較復雜，把一次函數(shù)
43、與圓的相關知識相結合，利用勾股定理及相似三角形的性質解答，是中學階段的重點內容15（2015甘肅天水，第25題，12分）如圖，AB是O的直徑，BC切O于點B，OC平行于弦AD，過點D作DEAB于點E，連結AC，與DE交于點P求證：（1）ACPD=APBC；（2）PE=PD考點： 切線的性質；相似三角形的判定與性質專題： 證明題分析： （1）首先根據AB是O的直徑，BC是切線，可得ABBC，再根據DEAB，判斷出DEBC，AEPABC，所以=；然后判斷出=，即可判斷出ED=2EP，據此判斷出PE=PD即可（2）首先根據AEPABC，判斷出；然后根據PE=PD，可得，據此判斷出ACPD=APBC即
44、可解答： 解：（1）AB是O的直徑，BC是切線，ABBC，DEAB，DEBC，AEPABC，=，又ADOC，DAE=COB，AEDOBC，=，由，可得ED=2EP，PE=PD（2）AB是O的直徑，BC是切線，ABBC，DEAB，DEBC，AEPABC，PE=PD，ACPD=APBC點評： （1）此題主要考查了切線的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：圓的切線垂直于經過切點的半徑經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心（2）此題還考查了相似三角形的判定和性質的應用，要熟練掌握16（8分）（2015寧夏）（第23題）如圖，AC是O的直徑，BC是O的弦，點
45、P是O外一點，連接PB、AB，PBA=C（1）求證：PB是O的切線；（2）連接OP，若OPBC，且OP=8，O的半徑為2，求BC的長考點：切線的判定分析：連接OB，由圓周角定理得出ABC=90，得出C+BAC=90，再由OA=OB，得出BAC=OBA，證出PBA+OBA=90，即可得出結論；（2）證明ABCPBO，得出對應邊成比例，即可求出BC的長解答：（1）證明：連接OB，如圖所示：AC是O的直徑，ABC=90，C+BAC=90，OA=OB，BAC=OBA，PBA=C，PBA+OBA=90，即PBOB，PB是O的切線；（2）解：O的半徑為2，OB=2，AC=4，OPBC，C=BOP，又ABC
46、=PBO=90，ABCPBO，即，BC=8點評：本題考查了切線的判定、圓周角定理、平行線的性質、相似三角形的判定與性質；熟練掌握圓周角定理、切線的判定是解決問題的關鍵17（10分）（2015桂林）（第25題）如圖，四邊形ABCD是O的內接正方形，AB=4，PC、PD是O的兩條切線，C、D為切點（1）如圖1，求O的半徑；（2）如圖1，若點E是BC的中點，連接PE，求PE的長度；（3）如圖2，若點M是BC邊上任意一點（不含B、C），以點M為直角頂點，在BC的上方作AMN=90，交直線CP于點N，求證：AM=MN考點：圓的綜合題分析：（1）利用切線的性質以及正方形的判定與性質得出O的半徑即可；（2）
47、利用垂徑定理得出OEBC，OCE=45，進而利用勾股定理得出即可；（3）在AB上截取BF=BM，利用（1）中所求，得出ECP=135，再利用全等三角形的判定與性質得出即可解答：解：（1）如圖1，連接OD，OC，PC、PD是O的兩條切線，C、D為切點，ODP=OCP=90，四邊形ABCD是O的內接正方形，DOC=90，OD=OC，四邊形DOCP是正方形，AB=4，ODC=OCD=45，DO=CO=DCsin45=4=2；（2）如圖1，連接EO，OP，點E是BC的中點，OEBC，OCE=45，則E0P=90，EO=EC=2，OP=CO=4，PE=2；（3）證明：如圖2，在AB上截取BF=BM，AB
48、=BC，BF=BM，AF=MC，BFM=BMF=45，AMN=90，AMF+NMC=45，F(xiàn)AM+AMF=45，F(xiàn)AM=NMC，由（1）得：PD=PC，DPC=90，DCP=45，MCN=135，AFM=180BFM=135，在AFM和CMN中，AFMCMN（ASA），AM=MN點評：此題主要考查了圓的綜合以及全等三角形的判定與性質以及正方形的判定與性質等知識，正確作出輔助線得出MCN=135是解題關鍵18（14分）（2015畢節(jié)市）（第26題）如圖，以ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經過A，B兩點，且與BC邊交于點E，D為BE的下半圓弧的中點，連接AD交BC于F，AC=FC（1）求證：AC
49、是O的切線；（2）已知圓的半徑R=5，EF=3，求DF的長考點： 切線的判定專題： 證明題分析： （1）連結OA、OD，如圖，根據垂徑定理的推理，由D為BE的下半圓弧的中點得到ODBE，則D+DFO=90，再由AC=FC得到CAF=CFA，根據對頂角相等得CFA=DFO，所以CAF=DFO，加上OAD=ODF，則OAD+CAF=90，于是根據切線的判定定理即可得到AC是O的切線；（2）由于圓的半徑R=5，EF=3，則OF=2，然后在RtODF中利用勾股定理計算DF的長解答： （1）證明：連結OA、OD，如圖，D為BE的下半圓弧的中點，ODBE，D+DFO=90，AC=FC，CAF=CFA，CF
50、A=DFO，CAF=DFO，而OA=OD，OAD=ODF，OAD+CAF=90，即OAC=90，OAAC，AC是O的切線；（2）解：圓的半徑R=5，EF=3，OF=2，在RtODF中，OD=5，OF=2，DF=點評： 本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可也考查了勾股定理19（12分）（2015銅仁市）（第24題）如圖，已知三角形ABC的邊AB是0的切線，切點為BAC經過圓心0并與圓相交于點D、C，過C作直線CE丄AB，交AB的延長線于點E（1）求證：CB平分ACE；（2）若BE=
51、3，CE=4，求O的半徑考點：切線的性質.分析：（1）證明：如圖1，連接OB，由AB是0的切線，得到OBAB，由于CE丄AB，的OBCE，于是得到1=3，根據等腰三角形的性質得到1=2，通過等量代換得到結果（2）如圖2，連接BD通過DBCCBE，得到比例式，列方程可得結果解答：（1）證明：如圖1，連接OB，AB是0的切線，OBAB，CE丄AB，OBCE，1=3，OB=OC，1=2，2=3，CB平分ACE；（2）如圖2，連接BD，CE丄AB，E=90，BC=5，CD是O的直徑，DBC=90，E=DBC，DBCCBE，BC2=CDCE，CD=，OC=，O的半徑=點評：本題考查了切線的性質，勾股定理
52、，相似三角形的判定和性質，圓周角定理，平行線的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵20.（2015寧夏第23題8分）如圖，AC是O的直徑，BC是O的弦，點P是O外一點，連接PB、AB，PBA=C（1）求證：PB是O的切線；（2）連接OP，若OPBC，且OP=8，O的半徑為2，求BC的長考點：切線的判定分析：連接OB，由圓周角定理得出ABC=90，得出C+BAC=90，再由OA=OB，得出BAC=OBA，證出PBA+OBA=90，即可得出結論；（2）證明ABCPBO，得出對應邊成比例，即可求出BC的長解答：（1）證明：連接OB，如圖所示：AC是O的直徑，ABC=90，C+BAC=90，OA=
53、OB，BAC=OBA，PBA=C，PBA+OBA=90，即PBOB，PB是O的切線；（2）解：O的半徑為2，OB=2，AC=4，OPBC，C=BOP，又ABC=PBO=90，ABCPBO，即，BC=2點評：本題考查了切線的判定、圓周角定理、平行線的性質、相似三角形的判定與性質；熟練掌握圓周角定理、切線的判定是解決問題的關鍵21.（2015青海西寧第26題10分）如圖，已知BC為O的直徑，BA平分FBC交O于點A，D是射線BF上的一點，且滿足=，過點O作OMAC于點E，交O于點M，連接BM，AM（1）求證：AD是O的切線；（2）若sinABM=，AM=6，求O的半徑考點：切線的判定；相似三角形的判定與性
全國各地2015年中考數(shù)學試卷解析分類匯編（第2期）專題31 點直線與圓的位置關系
