高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第63講 根據(jù)頻率分布直方圖求中位數(shù)眾數(shù)和平均數(shù)-人教版高三全冊

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1、 第 63 講 根據(jù)頻率分布直方圖求中位數(shù)眾數(shù)和平均數(shù) 【知識要點(diǎn)】 一、用樣本估計(jì)總體的兩個(gè)手段（用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布；用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字 特征），需要從總體中抽取一個(gè)質(zhì)量較高的樣本，才能不會產(chǎn)生較大的估計(jì)偏差，且樣本容量越大，估計(jì)的 結(jié)果也就越精確，分析數(shù)據(jù)的一種基本方法是用圖將它們畫出來，或者用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式， 作圖可以達(dá)到兩個(gè)目的，一是從數(shù)據(jù)中提取信息，二是利用圖形傳遞信息. 二、頻率分布是指一個(gè)樣本數(shù)據(jù)在各個(gè)小 X 圍內(nèi)所占比例的大小.一般是用頻率分布直方圖反映樣本頻率分 布. 三、樣本的數(shù)字特征 眾數(shù)：

2、就是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)，比其他的都多，如果幾個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都是最多，則它們 都是眾數(shù)；每個(gè)數(shù)據(jù)都只有一次，那么數(shù)據(jù)沒有眾數(shù).所以眾數(shù)可以不止一個(gè)或者沒有. 中位數(shù)：就是這些數(shù)據(jù)排列好了以后中間的那個(gè)數(shù)字，那么如果有偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)，那么就是中間兩個(gè)數(shù) 字的平均數(shù)，如果有奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)，則中間那個(gè)就是數(shù)據(jù)的中位數(shù).所以數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定在數(shù)據(jù)中. 平均數(shù)：這個(gè)就是把所有數(shù)據(jù)相加，除以個(gè)數(shù)，就是數(shù)據(jù)的平均數(shù). 平均數(shù)： x =  x +x + +x 1 2 n n 方差：  s  2  =  ( x -x ) 1  2  +

3、( x -x ) 2 n  2  + +(x -x ) n  2  =( x -Ex ) 1  2  p +×××+(x-Ex) 1 n  2  p  n 標(biāo)準(zhǔn)差： s =  ( x -x ) 1  2  +( x -x ) 2 n  2  + +(x -x ) n  2 四、莖葉圖 莖葉圖又稱“枝葉圖” ，它的思路是將數(shù)組中的數(shù)按位數(shù)進(jìn)行比較，將數(shù)的大小基本不變或變化 不大的位作為一個(gè)主干（莖） ，將變化大的位的數(shù)作為分枝（葉） ，列在主干的后面，這樣就可以清 楚

4、地看到每個(gè)主干后面的幾個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)具體是多少 . 當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時(shí)，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個(gè)有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個(gè)位 數(shù)，即第二個(gè)有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊部分像植物莖上長出的葉子，因此通常把 這樣的圖叫做莖葉圖 . 【方法講評】 題型一 解題步驟 word 求眾數(shù) 一般先計(jì)算出頻率分布直方圖中的每個(gè)小矩形的面積，找到面積最大的那個(gè)矩形，取 該矩形的橫邊中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為眾數(shù). 【例 1】對某小區(qū) 100 戶居民的月均用水量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖如圖，則估計(jì)此樣本 的眾數(shù)、中位數(shù)分別為（

5、） A. 2.25 ， 2.5  B． 2.25 ， 2.02  C． 2 ， 2.5  D． 2.5 ， 2.25 【點(diǎn)評】（1）求頻率分布圖中的眾數(shù)，一般先計(jì)算出頻率分布直方圖中的每個(gè)小矩形的面積，找到面 積最大的那個(gè)矩形，取該矩形的橫邊中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為眾數(shù) .（2）求眾數(shù)也可以直接找最高矩形的橫邊的中 點(diǎn). 【反饋檢測 1】某學(xué)校 900 名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?13 秒與 18 秒之間，抽取其中 50 個(gè)樣本，將測試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組 [13，14]，第二組 [14，15），…，第五組 [17，18]，如

6、圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖． （1）若成績小于 14 秒認(rèn)為優(yōu)秀，求該樣本在這次百米測試中成績優(yōu)秀的人數(shù)； （2）請估計(jì)學(xué)校 900 名學(xué)生中，成績屬于第四組的人數(shù)； （3）請根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)． m , n word 題型二 解題步驟  求中位數(shù) 先計(jì)算出每個(gè)小矩形的面積，通過解方程找到左邊面積為 0.5 的點(diǎn) P，點(diǎn) P 對應(yīng)的數(shù)就 是中位數(shù). 【例 2】高二某班 50 名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)慷冀橛?13 秒到 18 秒之間，將測試結(jié)果按如 下方式分成五組，第一

7、組[13，14），第二組[14，15）…第五組[17，18]，如圖是按上述分組方法得到的頻 率分布直方圖． （1）若成績大于等于 14 秒且小于 16 秒規(guī)定為良好，求該班在這次百米測試中成績?yōu)榱己玫娜藬?shù)． （2）請根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)（精確到 0.01）． (3)設(shè) 表示該班兩個(gè)學(xué)生的百米測試成績，已知  m, n ?[13,14  )  [17,18]，求事件m -n >2  的概率. ( ) 事件 m -n >6  由 6 個(gè)基本事件組成. 所以 P m -n >6 =  6 3

8、= . 10 5 【點(diǎn)評】求頻率分布直方圖中的中位數(shù)，一般先計(jì)算出每個(gè)小矩形的面積，通過解方程找到左邊面積 為 0.5 的點(diǎn) P ，點(diǎn) P 對應(yīng)的數(shù)就是中位數(shù). 【反饋檢測 2】某公路段在某一時(shí)刻內(nèi)監(jiān)測到的車速頻率分布直方圖如圖所示． （Ⅰ）求縱坐標(biāo)中參數(shù)  h  的值及第三個(gè)小長方形的面積； （Ⅱ）求車速的眾數(shù) v ，中位數(shù) v 的估計(jì)值； 1 2 （Ⅲ）求平均車速  v  的估計(jì)值． word 題型三  求平均數(shù) 解題步驟  一般利用平均數(shù)的公式  x  x p

9、 1 1  x p 2 2  x p n n  計(jì)算.其中 x 代表第 n 個(gè)矩形的橫邊 n 的中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)， p 代表第 n 個(gè)矩形的面積. n 【例 3】某校從參加考試的學(xué)生中抽出 60 名學(xué)生，將其成績（均為整數(shù)）分成六組[40，50），[50，60）．．[90， 100]后畫出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題： （Ⅰ）求成績落在[70，80）上的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖； (Ⅱ) 估計(jì)這次考試的及格率（60 分及以上為及格）和平均分； (Ⅲ) 從成績是 70 分以上（包括 70 分）的學(xué)生中選兩人，求他們在

10、同一分?jǐn)?shù)段的概率. 【解析】（Ⅰ）成績落在 頻率分布直方圖如下圖．  頻率 組距  [70，80）上的頻率是 0．3， word (Ⅲ) 成績是 70 分以上（包括 70 分）的學(xué)生人數(shù)為（0．03+0．025+0．005）×10×60=36 所以所求的概率為  18 ′17 +15 ′14 +3 ′2 29 = 36 ′35 70 【點(diǎn)評】求頻率分布直方圖中的平均數(shù)，一般利用平均數(shù)的公式  x  x p 1 1  x p 2 2  x p n n  計(jì)算.其中  x 

11、 n 代表第  n  個(gè)矩形的橫邊的中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)，  p  n  代表第  n  個(gè)矩形的面積. 【反饋檢測 3】某校 100 名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是： [50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]． （1）求圖中 a 的值； （2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這 100 名學(xué)生語文成績的平均分； （3）若這 100 名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（ x ）與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（ y ）之比如下 表所示，求數(shù)學(xué)成績在[50，90）之

12、外的人數(shù)． 分?jǐn)?shù)段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） x：y 1：1 2：1 3：4 4：5 高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第 63 講: 根據(jù)頻率分布直方圖求中位數(shù)眾數(shù)和平均數(shù)參考答案 【反饋檢測 1 答案】（1）3；（2）288；（3）15.5 ，15.74 . ( 【反饋檢測 2 答案】（1）  h =0.01  ，第三個(gè)小長方形的面積為  65  ；（2）  v =65, v =62.5 1 2  ；（3）  v =62  . 【反饋檢測

13、2 詳細(xì)解析】（Ⅰ）∵所有小長形面積之和為 1，∴10  h  +10×3  h  +10×4  h  +10×2  h  =1， 解得 h =0.01， ∴第三個(gè)小長方形的面積為：10×4 h =10×0.04=0.4． （Ⅱ）車速的眾數(shù)  v 1  =  1 2  (60 +70) =65，車速的中位數(shù)是兩邊直方圖的面積相等， 于是得：10×0.01+10×0.03+（ v ﹣60）×0.04=0.5，解得 v =62.5． 2 2 （Ⅲ）平均車速 v =0.01×10×45+

14、0.03×10×55+0.04×10×65+0.02×10×75=62． 【反饋檢測 3 答案】（1） a =0.005 ；（2）73；（3）10. 【反饋檢測 3 詳細(xì)解析】（1）依題意得，  10(2a+0.02 +0.03 +0.04 )=1  ，解得 a =0.005 （2）這 100 名學(xué)生語文成績的平均分為：  55 ′0.05 +65 ′0.4 +75 ′0.3 +85 ′0.2 +95 ′0.05 =73 分 （3）數(shù)學(xué)成績在[50，60）的人數(shù)為：100×0.05=5 數(shù)學(xué)成績在[60，70）的人數(shù)為：100 ′0.4 ′  1 4 =20 ，數(shù)學(xué)成績在[70，80）的人數(shù)為：100 ′0.3 ′ =40 2 3  . 數(shù)學(xué)成績在[80，90）的人數(shù)為： 100 ′0.2 ′ 5 4  =25 所以數(shù)學(xué)成績在[50，90）之外的人數(shù)為：100 -5 -20 -40 -25 =10