《數(shù)學(xué)分析》第三章 函數(shù)極限

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1、第三章 函數(shù)極限 （計(jì)劃課時(shí)：1 4 時(shí)）P42—68 §1 函數(shù)極限概念 （ 4時(shí) ） 一、時(shí)函數(shù)的極限： 1. 以時(shí)和為例引入. 2. 介紹符號(hào): ,,的意義,的直觀意義. 3. 函數(shù)極限的“”定義(,,). 4. 幾何意義: 介紹鄰域,, 其中為充分大的正數(shù)．然后用這些鄰域語(yǔ)言介紹幾何意義． 5. 函數(shù)在與,極限的關(guān)系: Th1 例1 驗(yàn)證 證明格式：（不妨設(shè) □）（不妨設(shè)□或□，□） 要使化簡(jiǎn)≤附加條件逐次放大不等式＜， 只須□（）或□（），□（）. 于是,□，當(dāng)（或，）時(shí)，有 .

2、 根據(jù)函數(shù)極限的“”定義知 □ = □（或 □ = □， □ = □）. 例2 驗(yàn)證：1）； 2）. 例3 驗(yàn)證 證 …… 6. 的正值性, 任意性與確定性, 以小為貴. 7. 的存在性與非唯一性,對(duì)只要求存在,在乎其大的一面. 二．時(shí)函數(shù)的極限： 1. 由 考慮時(shí)的極限引入. 2. 函數(shù)極限的“”定義. 3. 幾何意義. 4. 用定義驗(yàn)證函數(shù)極限的基本思路. 例4 驗(yàn)證 例5 驗(yàn)證 例6 驗(yàn)證 證 由 = 為使 需有 為使 需有 于是, 倘限制 , 就有 證明格式：（不

3、妨設(shè) □）（不妨設(shè)□或□，□,則□□） 要使化簡(jiǎn)≤附加條件逐次放大不等式＜， 只須□（）或□（），□（）. 于是,□，當(dāng)（或，）時(shí)，有: . 根據(jù)函數(shù)極限的“”定義知 □ = □（或 □ = □， □ = □）. 例7 驗(yàn)證 例8 驗(yàn)證 ( 類(lèi)似有 5. 的正值性, 任意性與確定性, 以小為貴. 6. 的存在性與非唯一性,對(duì)只要求存在,在乎其小的一面. 7. 存在并不意味著在有定義,即就是有定義也并不意味著(如例6). 例9 證明 . 三.單側(cè)極限: 1. 定義： 單側(cè)極限

4、的定義及記法. 2. 幾何意義: 介紹半鄰域 然后介紹等的幾何意義. 例9 驗(yàn)證 證 考慮使 的 3. 單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系: Th2 例10 證明: 極限 不存在. 例11 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)單調(diào). 若存在, 則有= Ex [1]P47 1—7. §2 函數(shù)極限的性質(zhì)（ 2時(shí) ） 我們引進(jìn)了六種極限: , .以下以極限為例討論性質(zhì). 均給出證明或簡(jiǎn)證. 一.函數(shù)極限的性質(zhì): 以下性質(zhì)均以定理形式給出. 1. 唯一性: 2. 局部有界

5、性: 3. 局部保號(hào)性: 4. 單調(diào)性( 不等式性質(zhì) ): Th 4 若和都存在, 且存在點(diǎn)的空心鄰域, 使 都有 證 設(shè)= ( 現(xiàn)證對(duì) 有) 註: 若在Th 4的條件中, 改“”為“”,未必就有以 舉例說(shuō)明. 5. 迫斂性( 雙逼原理 ): 例1 求. 6. 四則運(yùn)算性質(zhì): ( 只證“+”和“”) Ex [1]P51 5——7. 二． 利用極限性質(zhì)求極限： 已證明過(guò)以下幾個(gè)極限： （ 注意前四個(gè)極限中極限就是函數(shù)值 ） 這些極限可作為公式用.通過(guò)有關(guān)性質(zhì), 把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,

6、 即計(jì)算得所求極限. 例1 ( 利用極限和 ) 例2 例3 註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時(shí)的極限. 例4 [ 利用公式 ] 例5 例6 例7 例8 例9 例10 已知 求 和 Ex [1]P51 1——4. 補(bǔ)充題: 已知 求和 () §3 函數(shù)極限存在的條件（ 2時(shí) ） 本節(jié)介紹函數(shù)極限存在的兩個(gè)充要條件. 仍以極限為例. 一、 Heine歸并原則 —— 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系： Th 1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)有定義

7、.則極限存在對(duì)任何且都存在且相等. ( 證 ) Heine歸并原則反映了離散性與連續(xù)性變量之間的關(guān)系,是證明極限不存在的有力工具. 對(duì)單側(cè)極限,還可加強(qiáng)為單調(diào)趨于. 參閱[1]P70. 例1 證明函數(shù)極限的雙逼原理. 例2 證明 例3 證明不存在. Th 2 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某空心右鄰域有定義.則對(duì)任何以為極限的遞減數(shù)列,有. Th 3 設(shè)函數(shù)為定義在上的單調(diào)有界函數(shù).則存在. 二、Cauchy準(zhǔn)則: Th3 (Cauchy準(zhǔn)則)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)有定義.則存在, 證 ( 利用Heine歸并原則 ) Cauchy準(zhǔn)則的否定: 不存在的充要條件. 例4

8、 用Cauchy準(zhǔn)則證明極限不存在. 證 取 例5 設(shè)在 [上函數(shù)↘. 則極限存在在[上有界. ( 簡(jiǎn)證, 留為作業(yè) ). Ex [1]P55 1——4. §4 兩個(gè)重要極限（ 2時(shí) ） 一． （證） （同理有 ） 例1 例2 . 例3 例4 例5 證明極限 不存在. 二. 證 對(duì) 有 例6 特別當(dāng) 等. 例7 例8 例9 Ex [1]P58 1——4.

9、 §5 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量 階的比較（2時(shí) ） 一、無(wú)窮小量: 1. 定義. 記法. 2.無(wú)窮小的性質(zhì): 性質(zhì)1 (無(wú)窮小的和差積) 性質(zhì)2 (無(wú)窮小與有界量的積) 例1 3. 無(wú)窮小與極限的關(guān)系: Th 1 ( 證 ) 二、無(wú)窮小的階: 設(shè)時(shí) 1． 高階（或低階）無(wú)窮?。? 2． 同階無(wú)窮小： 3． 等價(jià): Th 2 ( 等價(jià)關(guān)系的傳遞性 ). 等價(jià)無(wú)窮小在極限計(jì)算中的應(yīng)用: Th 3 ( 等價(jià)無(wú)窮小替換法則 ) . 幾組常用等價(jià)無(wú)窮小: 設(shè) 以作為基本無(wú)窮小, 有等價(jià)關(guān)系: 當(dāng)時(shí)

10、,～, ～, ～, ～, ～, ～, ～, ～, ～. 再加上時(shí) (或 時(shí))的(或的)有理分式(分子次數(shù)小于分母次數(shù))的等價(jià)無(wú)窮小.其中有些等價(jià)關(guān)系的證明以后陸續(xù)進(jìn)行. 例3 求. 例4 三. 無(wú)窮大量: 1. 定義: 例5 驗(yàn)證. 例6 驗(yàn)證. 2. 性質(zhì): 性質(zhì)1 同號(hào)無(wú)窮大的和是無(wú)窮大. 性質(zhì)2 無(wú)窮大與無(wú)窮大的積是無(wú)窮大. 性質(zhì)3 與無(wú)界量的關(guān)系. 無(wú)窮大的階、等價(jià)關(guān)系以及應(yīng)用, 可仿無(wú)窮小討論, 有平行的結(jié)果. 3. 無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系: 無(wú)窮大的倒數(shù)是無(wú)窮小, 非零無(wú)窮小的倒數(shù)是無(wú)窮大. 四、曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)： 1. 定義： 2. 結(jié)論： ⑴若,則直線(xiàn)為曲線(xiàn)的垂直漸近線(xiàn). ⑵若,則直線(xiàn)為曲線(xiàn)的水平漸近線(xiàn). ⑶若,則直線(xiàn)為曲線(xiàn)的斜漸近線(xiàn). 注：可換為,;可換為,. 例7 求曲線(xiàn)的漸近線(xiàn). Ex [1]P66 1—6. 29