統(tǒng)計學(xué)習(xí)題答案 第5章參數(shù)估計

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1、第5章 參數(shù)估計 ●1. 從一個標(biāo)準(zhǔn)差為5的總體中抽出一個容量為40的樣本，樣本均值為25。 （1） 樣本均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)差等于多少？ （2） 在95%的置信水平下，允許誤差是多少？ 解：已知總體標(biāo)準(zhǔn)差σ=5，樣本容量n=40，為大樣本，樣本均值=25， （1）樣本均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)差===0.7906 （2）已知置信水平1－=95%，得 =1.96， 于是，允許誤差是E ==1.96×0.7906=1.5496。 ●2.某快餐店想要估計每位顧客午餐的平均花費金額，在為期3周的時間里選取49名顧客組成了一個簡單隨機樣本。 （3） 假定總體標(biāo)準(zhǔn)差為15元，求樣本均值的抽樣標(biāo)

2、準(zhǔn)誤差； （4） 在95%的置信水平下，求允許誤差； （5） 如果樣本均值為120元，求總體均值95%的置信區(qū)間。 解：（1）已假定總體標(biāo)準(zhǔn)差為=15元， 則樣本均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差為 ===2.1429 （2）已知置信水平1－=95%，得 =1.96， 于是，允許誤差是E ==1.96×2.1429=4.2000。 （3）已知樣本均值為=120元，置信水平1－=95%，得 =1.96， 這時總體均值的置信區(qū)間為 =120±4.2= 可知，如果樣本均值為120元，總體均值95%的置信區(qū)間為（115.8，124.2）元。 ●3.某大學(xué)為了解學(xué)生

3、每天上網(wǎng)的時間，在全校7500名學(xué)生中采取不重復(fù)抽樣方法隨機抽取36人，調(diào)查他們每天上網(wǎng)的時間，得到下面的數(shù)據(jù)（單位：小時）： 3.3 3.1 6.2 5.8 2.3 4.1 5.4 4.5 3.2 4.4 2.0 5.4 2.6 6.4 1.8 3.5 5.7 2.3 2.1 1.9 1.2 5.1 4.3 4.2 3.6 0.8 1.5 4.7 1.4 1.2 2.9 3.5 2.4 0.5 3.6 2.5 求該校大學(xué)生平均上網(wǎng)時間的置信區(qū)間，置信水平分別為90%、95%和99%。 解：⑴計算樣本均值

4、：將上表數(shù)據(jù)復(fù)制到Excel表中，并整理成一列，點擊最后數(shù)據(jù)下面空格，選擇自動求平均值，回車，得到=3.316667， ⑵計算樣本方差s：刪除Excel表中的平均值，點擊自動求值→其它函數(shù)→STDEV→選定計算數(shù)據(jù)列→確定→確定，得到s=1.6093 也可以利用Excel進行列表計算：選定整理成一列的第一行數(shù)據(jù)的鄰列的單元格，輸入“＝(a7-3.316667)^2”，回車，即得到各數(shù)據(jù)的離差平方，在最下行求總和，得到： =90.65 再對總和除以n-1=35后，求平方根，即為樣本方差的值 s===1.6093。 ⑶計算樣本均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差： 已

5、知樣本容量 n=36，為大樣本， 得樣本均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差為 ===0.2682 ⑷分別按三個置信水平計算總體均值的置信區(qū)間： ① 置信水平為90%時： 由雙側(cè)正態(tài)分布的置信水平1－=90%，通過2－1=0.9換算為單側(cè)正態(tài)分布的置信水平=0.95，查單側(cè)正態(tài)分布表得 =1.64， 計算得此時總體均值的置信區(qū)間為 =3.3167±1.64×0.2682= 可知，當(dāng)置信水平為90%時，該校大學(xué)生平均上網(wǎng)時間的置信區(qū)間為（2.87，3.76）小時； ② 置信水平為95%時： 由雙側(cè)正態(tài)分布的置信水平1－=95%，得 =1.96， 計算得此時總體均值的置信

6、區(qū)間為 =3.3167±1.96×0.2682= 可知，當(dāng)置信水平為95%時，該校大學(xué)生平均上網(wǎng)時間的置信區(qū)間為（2.79，3.84）小時； ③ 置信水平為99%時： 若雙側(cè)正態(tài)分布的置信水平1－=99%，通過2－1=0.99換算為單側(cè)正態(tài)分布的置信水平=0.995，查單側(cè)正態(tài)分布表得 =2.58， 計算得此時總體均值的置信區(qū)間為 =3.3167±2.58×0.2682= 可知，當(dāng)置信水平為99%時，該校大學(xué)生平均上網(wǎng)時間的置信區(qū)間為（2.62，4.01）小時。 4. 從一個正態(tài)總體中隨機抽取容量為8 的樣本，各樣本值分別為：10,8,12,15,6

7、,13,5,11。求總體均值95%的置信區(qū)間。 解：（7.1,12.9）。 5.某居民小區(qū)為研究職工上班從家里到單位的距離，抽取了由16個人組成的一個隨機樣本，他們到單位的距離（公里）分別是： 10 3 14 8 6 9 12 11 7 5 10 15 9 16 13 2 求職工上班從家里到單位平均距離95%的置信區(qū)間。 解：（7.18,11.57）。 ●6. 在一項家電市場調(diào)查中，隨機抽取了200個居民戶，調(diào)查他們是否擁有某一品牌的電視機。其中擁有該品牌電視機的家庭占23%。求總體比率的置信區(qū)間，置信水平分別為9

8、0%和95%。 解：已知樣本容量n =200，為大樣本，擁有該品牌電視機的家庭比率p =23%， 擁有該品牌電視機的家庭比率的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差為 ===2.98% ⑴雙側(cè)置信水平為90%時，通過2－1=0.90換算為單側(cè)正態(tài)分布的置信水平=0.95，查單側(cè)正態(tài)分布表得 =1.64， 此時的置信區(qū)間為 =23%±1.64×2.98%= 可知，當(dāng)置信水平為90%時，擁有該品牌電視機的家庭總體比率的置信區(qū)間為（18.11%，27.89%）。 ⑵雙側(cè)置信水平為95%時，得 =1.96， 此時的置信區(qū)間為 =23%±1.96×2.98%= 可知，當(dāng)置信水平為95%時，擁有該品牌電

9、視機的家庭總體比率的置信區(qū)間為 ；（17.16%，28.84%）。 ●7.某居民小區(qū)共有居民500戶，小區(qū)管理者準(zhǔn)備采取一項新的供水設(shè)施，想了解居民是否贊成。采取重復(fù)抽樣方法隨機抽取了50戶，其中有32戶贊成，18戶反對。 （1）求總體中贊成該項改革的戶數(shù)比率的置信區(qū)間，置信水平為95%； （2）如果小區(qū)管理者預(yù)計贊成的比率能達到80%，應(yīng)抽取多少戶進行調(diào)查？ 解： 已知總體單位數(shù)N=500，重復(fù)抽樣，樣本容量n =50，為大樣本， 樣本中，贊成的人數(shù)為n1=32，得到贊成的比率為 p = ==64% （1）贊成比率的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差為 ==6.788% 由雙側(cè)正態(tài)分布的置信

10、水平1－=95%，得 =1.96， 計算得此時總體戶數(shù)中贊成該項改革的戶數(shù)比率的置信區(qū)間為 = 64%±1.96×6.788%= 可知，置信水平為95%時，總體中贊成該項改革的戶數(shù)比率的置信區(qū)間為（50.70%,77.30%）。 （2）如預(yù)計贊成的比率能達到80%，即 p=80%， 由 =6.788%，即=6.788% 得樣本容量為 n == 34.72 取整為35， 即可得，如果小區(qū)管理者預(yù)計贊成的比率能達到80%，應(yīng)抽取35戶進行調(diào)查。 8.從兩個正態(tài)總體中分別抽取兩個獨立的隨機樣本，它們的均值和標(biāo)準(zhǔn)差

11、如下表： 來自總體1的樣本 來自總體2的樣本 （1） 求90%的置信區(qū)間； （2） 求95%的置信區(qū)間。 解：（1.86,17.74）；（0.19,19.41）。 9.從兩個正態(tài)總體中分別抽取兩個獨立的隨機樣本，它們的均值和標(biāo)準(zhǔn)差如下表： 來自總體1的樣本 來自總體2的樣本 （1）設(shè)，求95%的置信區(qū)間； （2）設(shè)，，求95%的置信區(qū)間； （3）設(shè)，，求95%的置信區(qū)間； （4）設(shè)，，求95%的置信區(qū)間； （5）設(shè)，，求95%的置信區(qū)間。 解：（1）2±1.176；（2）2±3.986；（3）2±3.986；（4）

12、2±3.587；（5）2±3.364。 10.下表是由4對觀察值組成的隨機樣本： 配對號 來自總體A的樣本 來自總體B的樣本 1 2 0 2 5 7 3 10 6 4 8 5 （1）計算A與B各對觀察值之差，再利用得出的差值計算和； （2）設(shè)和分別為總體A和總體B的均值，構(gòu)造95%的置信區(qū)間。 解：（1），；（2）1.75±4.27。 11.從兩個總體中各抽取一個的獨立隨機樣本，來自總體1的樣本比率為，來自總體2的樣本比率為。 （1）構(gòu)造90%的置信區(qū)間； （2）構(gòu)造95%的置信區(qū)間。 解：（1）10%±6.98%；（2）10%±8

13、.32%。 12.生產(chǎn)工序的方差是共需質(zhì)量的一個重要度量。當(dāng)方差較大時，需要對共需進行改進以減小方差。下面是兩部機器生產(chǎn)的袋茶重量（克）的數(shù)據(jù)： 機器1 機器2 3.45 3.22 3.90 3.22 3.28 3.35 3.20 2.98 3.70 3.38 3.19 3.30 3.22 3.75 3.28 3.30 3.20 3.05 3.50 3.38 3.35 3.30 3.29 3.33 2.95 3.45 3.20 3.34 3.35 3.27 3.16 3.48 3.12 3.28 3.16 3.2

14、8 3.20 3.18 3.25 3.30 3.34 3.25 構(gòu)造兩個總體方差比95%的置信區(qū)間。 解：（4.06,14.35）。 ●13.根據(jù)以往的生產(chǎn)數(shù)據(jù)，某種產(chǎn)品的廢品率為2%。如果要求95%的置信區(qū)間，若要求允許誤差不超過4%，應(yīng)抽取多大的樣本？ 解：已知總體比率=2%=0.02，由置信水平1-α=95%，得置信度=1.96，允許誤差E≤ 4% 即由允許誤差公式 E=整理得到樣本容量n的計算公式： n===≥=47.0596 由于計算結(jié)果大于47，故為保證使“≥”成立，至少應(yīng)取48個單位的樣本。 ●14.某超市想要估計每個顧客平均每次

15、購物花費的金額。根據(jù)過去的經(jīng)驗，標(biāo)準(zhǔn)差大約為120元，現(xiàn)要求以95%的置信水平估計每個購物金額的置信區(qū)間，并要求允許誤差不超過20元，應(yīng)抽取多少個顧客作為樣本？ 解：已知總體標(biāo)準(zhǔn)差=120，由置信水平1-α=95%，得置信度=1.96，允許誤差E≤ 20 即由允許誤差公式 E=整理得到樣本容量n的計算公式： n=≥=138.2976 由于計算結(jié)果大于47，故為保證使“≥”成立，至少應(yīng)取139個顧客作為樣本。 15.假定兩個總體的標(biāo)準(zhǔn)差分別為：，，若要求誤差范圍不超過5，相應(yīng)的置信水平為95%，假定，估計兩個總體均值之差時所需的樣本容量為多大？ 解： 57。 16.假定，允許誤差，相應(yīng)的置信水平為95%，估計兩個總體比率之差時所需的樣本容量為多大？ 解： 769。