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1、第2講 橢圓、雙曲線、拋物線 1.圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì),2.橢圓中的最值 F1，F(xiàn)2為橢圓 =1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓的任意一點(diǎn)，B為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有 （1）|OP|b,a. (2)|PF1|a-c,a+c. （3）|PF1| |PF2|b2,a2.(4)F1PF2F1BF2. （5） =b2tan ( =F1PF2). （6）焦點(diǎn)弦以通徑為最短. 3.雙曲線中的最值 F1，F(xiàn)2為雙曲線 (a0,b0)的左、 右焦點(diǎn)，P為雙曲線上的任一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)， 則有,（1）|OP|a.（2）|PF1|c-a. （2） ( =F1PF2). 4.拋物線中的最值
2、 點(diǎn)P為拋物線y2=2px(p0)上的任一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)， 則有:（1）|PF| . （2）焦點(diǎn)弦AB以通徑為最值，即|AB|2p. （3）A（m,n）為一定點(diǎn)，則|PA|+|PF|有最小值. 5.雙曲線的漸近線 （1）求法：令雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的左邊為零，分解 因式可得.,（2）用法： 可得 或 的值. 利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程. 6.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 （1）相離；（2）相切；（3）相交. 特別地，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直 線與雙曲線相交且只有一個(gè)公共點(diǎn). 當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合時(shí)，直線 與拋物線相交且只有一個(gè)公共點(diǎn).,一、圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程 例1
3、 如圖所示，橢圓 上的點(diǎn)M與橢 圓右焦點(diǎn)F1的連線MF1與x軸垂 直，且OM（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）與橢 圓長軸和短軸端點(diǎn)的連線AB平行. （1）求橢圓的離心率； （2）F2是橢圓的左焦點(diǎn)，C是橢圓上的任一點(diǎn)，證明： F1CF2 ； （3）過F1且與AB垂直的直線交橢圓于P、 Q，若PF2Q的面積是 ，求此時(shí)橢圓的方程.,思維啟迪（1）從OMAB入手，尋找a，b，c的關(guān) 系式，進(jìn)而求出離心率. （2）在焦點(diǎn)三角形F1CF2中，用余弦定理求出 cos F1CF2,再結(jié)合基本不等式. （3）設(shè)P（x1,y1）、Q（x2,y2），則 用設(shè)而不求的思路求解. （1）解 設(shè)橢圓方程為 (ab0)，則 ，,（2）
4、證明 由橢圓定義得：|F1C|+|F2C|=2a， cosF1CF2= = = . |F1C|F2C| =a2， cosF1CF2 ， F1CF2 . （3）解 設(shè)直線PQ的方程為y=- (x-c),即y=- (x-c).,代入橢圓方程消去x得： , 整理得：5y2- -2c2=0, y1+y2= ,y1y2= . （y1-y2）2= . 因此a2=50,b2=25,所以橢圓方程為 . 探究提高（1）求離心率，結(jié)合已知條件找到a,b,c的關(guān)系式； （2）C為橢圓上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，當(dāng)C點(diǎn)是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)1CF2取得最大值.,變式訓(xùn)練1 （2009四川理，20）已知橢
5、圓 (ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率 , 右準(zhǔn)線方程為x=2. （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過點(diǎn)F1的直線l與該橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，且 ,求直線l的方程. 解 （1）由條件有 解得a= ,c=1. b= =1. 所求橢圓的方程為,(2)由（1）知F1（-1，0）、F2（1，0）. 若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=-1, 將x=-1代入橢圓方程得y= . 不妨設(shè) 與題設(shè)矛盾. 直線l的斜率存在. 設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+1). 設(shè)M（x1,y1）、N（x2,y2）,聯(lián)立,消y得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0. 由根與系數(shù)的關(guān)系知
6、x1+x2= 從而y1+y2=k(x1+x2+2)=,化簡得40k4-23k2-17=0, 解得k2=1或k2=- (舍). k=1. 所求直線l的方程為y=x +1或y= -x -1.,二、圓錐曲線中的定值與最值 例2 已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A，C在橢圓x2+3y2=4 上，對(duì)角線BD所在直線的斜率為1. （1）當(dāng)直線BD過點(diǎn)（0，1）時(shí)，求直線AC的方程； （2）當(dāng)ABC=60時(shí),求菱形ABCD面積的最大值. 思維啟迪（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)及條件求解. （2）由題意表示出菱形的面積，然后利用函數(shù)或不 等式知識(shí)求解. 解（1）由題意得直線BD的方程為y=x+1. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以
7、ACBD. 于是可設(shè)直線AC的方程為y=-x+n. x2+3y2=4, 由 得4x2-6nx+3n2-4=0 y=-x+n,.,因?yàn)锳、C在橢圓上 所以=-12n2+640，解得 . 設(shè)A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)， 則x1+x2= ,x1x2= , y1=-x1+n,y2=-x2+n.所以y1+y2= . 所以AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為 . 由四邊形ABCD為菱形可知， 點(diǎn) 在直線y=x+1上， 所以 ,解得 n=-2 . 所以直線AC的方程為y=-x-2,即x+y+2=0. （2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且ABC=60, 所以|AB|=|BC|=|CA|.,所以菱形ABCD的
8、面積S = |AC|2. 由(1)可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2= , 所以 . 所以當(dāng)n=0時(shí),菱形ABCD的面積取得最大值 . 探究提高 解析幾何中的最值問題涉及的知識(shí)面較廣，解法靈活多樣，但最常用的方法有以下幾種： 利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值； 利用三角函數(shù)，尤其是正、余弦函數(shù)的有界性求最值； 利用不等式，尤其是均值不等式求最值； 利用判別式求最值； 利用數(shù)形結(jié)合，尤其是切線的性質(zhì)求最值.,變式訓(xùn)練2（2009銀川模擬） 已知橢圓 的離心率為 ，以右焦點(diǎn)F為圓心的圓過橢圓上的頂點(diǎn) B（0，b），且與直線l： 相切. （1）求橢圓的方程； （2）過該橢圓的右焦點(diǎn)的直
9、線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，該橢圓 的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，求證：直線MA1與直線NA2的斜 率平方的比值為定值. （1）解 設(shè)點(diǎn)F（c,0），其中 .以右 焦點(diǎn)F為圓心的圓過橢圓上的頂點(diǎn)B（0，b），圓的半徑為 r= .由圓與直線l：x+ +3=0 相切，得 =a，又a=2c，c=1，a=2，b= .,橢圓方程為 . （2）證明設(shè)M（x1,y1）,N(x2,y2)，當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，直線MN的方程為x=1, 當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y=k(x-1)，將其代入 ，得(3+4k2)x2-8k2x+4k212=0, x1+x2= , .,而 , 將其代入上式，得 綜上，知
10、直線MA1與直線NA2的斜率平方的比值為 定值. 三、圓錐曲線中的參數(shù)范圍問題 例3 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)（0， ） 且斜率為k的直線l與橢圓 有兩個(gè)不同 的交點(diǎn)P和Q. （1）求k的取值范圍；,（2）設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、 B，是否存在常數(shù)k，使得向量 共線？ 如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說明理由. 思維啟迪（1）將直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立轉(zhuǎn)化為 關(guān)于x的一元二次方程，利用0求k的范圍；（2）利 用共線的條件建立等式求出k值進(jìn)行判斷. 解（1）由已知條件知直線l的方程為y=kx+ , 代入橢圓方程得 . 整理得 直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)
11、于 =,解得 . 即k的取值范圍為 . （2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）， 則 =（x1+x2，y1+y2）， 由方程得x1+x2= 又y1+y2=k(x1+x2)+ 而A（ ，0），B（0，1）， =（ ，1）. 所以 共線等價(jià)于x1+x2= (y1+y2)， 將代入上式，解得 k=. 由（1）知 k , 故沒有符合題意的常數(shù)k.,探究提高 直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷，有關(guān)圓錐曲線弦的問題等能很好地滲透對(duì)函數(shù)方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的考查，一直是高考考查的重點(diǎn)，此類問題涉及根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求、整體代入的技巧和方法. 變式訓(xùn)練3 如圖，已知 直線l與拋物線x2=4y 相切于點(diǎn)P
12、（2，1）， 且與x軸交于點(diǎn)A，O為 坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）.,（1）若動(dòng)點(diǎn)M滿足 ，求點(diǎn)M的軌跡C； （2）若過點(diǎn)B的直線l（斜率不等于零）與（1）中的軌跡 C交于不同的兩點(diǎn)E、F（E在B、F之間），試求OBE與 OBF面積之比的取值范圍. 解（1）由x2=4y得y= x2,y= x. 直線l的斜率為y|x=2=1. 故l的方程為y=x-1，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0）. 設(shè)M（x,y），則 =（1，0）， =（x-2,y）, =(x- 1,y),由 =0得 （x-2）+y0+ =0, 整理，得 +y2=1.,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C為以原點(diǎn)是中心，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為 ，短軸長為2的橢圓. （
13、2）如圖，由題意知直線l的斜率存在且不為零， 設(shè)l方程為y=k(x-2)(k0), 將代入 +y2=1，整 理，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2 -2=0 x1+x2= , x1x2= 由此可 得 = ， = , 且0 1.由知（x1-2）+(x2-2)= , (x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4= ., ,即k2= . 0k2 ,0 . 解得3- 3+ . 又0 1，3- 1. OBE與OBF面積之比的范圍是（3- ，1）. 四 圓錐曲線的綜合性問題 例4 (2008全國理,21)雙曲線的中心為原點(diǎn)O, 焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線分別為l1，l2，經(jīng)過右焦 點(diǎn)F垂直于
14、l1的直線分別交l1,l2于A，B兩點(diǎn).已知 | |、| |、| |成等差數(shù)列，且 與 同向.,（1）求雙曲線的離心率； （2）設(shè)AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲 線的方程. 解 (1)設(shè)OA=m-d，AB=m，OB=m+d 由勾股定理可得： (m-d)2+m2=(m+d)2 化簡得:d= m tanAOF= tanAOB=tan2AOF= ,解得 則離心率e= . (2)過點(diǎn)F的直線方程為y= (x-c) 與雙曲線方程 =1聯(lián)立 將a=2b，c= b代入，化簡有 4= = 將數(shù)值代入，有4= 解得 b=3 最后求得雙曲線方程為 =1.,變式訓(xùn)練4 (2009全國理，21)如圖，已知拋
15、物線E：y2=x與圓M：（x-4）2+y2=r2(r0)相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn).(1)求r的取值范圍； （2）當(dāng)四邊形ABCD的面積最 大時(shí)，求對(duì)角線AC、BD的交 點(diǎn)P的坐標(biāo). 解（1）將y2=x代入 （x-4）2+y2=r2,并化簡得x2-7x+16-r2=0. E與M有四個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程有兩個(gè)不等的正根x1、x2, =(-7)2-4(16-r2)0, 由此得 x1+x2=70, x1x2=16-r20. 解得 0,所以r的取值范圍是 . （2）不妨設(shè)E與M的四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為 A（x1, ）、B（x1, ）、C（x2， ）、D（x2, ）. 則直線AC、BD的方程分別為y- =
16、(x-x1),y+ = , 解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ,0）, 設(shè)t= ,由t= 及（1）知0t . 由于四邊形ABCD為等腰梯形，因而其面積 S= 則S2=（x1+x2+2 ）(x1+x2)2-4x1x2. 將x1+x2=7, =t代入上式，并令f(t)=S2,求導(dǎo)數(shù)，f(t)=-2(2t+7)(6t-7). 令f(t)=0,解得t = ,t = (舍去). 當(dāng)00,當(dāng)t= 時(shí).f(t)=0; 當(dāng) 0)的焦點(diǎn)F,交拋物線于A、,B兩點(diǎn)，則有：（1）通徑的長為2p. (2)焦點(diǎn)弦公式：|AB|=x1+x2+p. (3)x1x2= ,y1y2=-p2. (4)以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切. 2
17、.求軌跡方程的常用方法 （1）軌跡法：建系設(shè)動(dòng)點(diǎn).列幾何等式.坐標(biāo)代入得方程.化簡方程.除去不合題意的點(diǎn)作答. （2）待定系數(shù)法：已知曲線的類型，先設(shè)方程再求參數(shù). （3）代入法：當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)隨已知曲線上動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)而動(dòng)時(shí)用此法.代入法的步驟：,設(shè)出兩動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（x,y）,(x0,y0). 結(jié)合已知找出x,y與x0,y0的關(guān)系，并用x,y表示 x0,y0. 將x0,y0代入它滿足的曲線方程，得到x,y的關(guān)系 式即為所求. （4）定義法：結(jié)合幾種曲線的定義，明確所求曲線 的類型，進(jìn)而求得曲線的方程. 3.有關(guān)弦的中點(diǎn)問題 （1）通法 （2）點(diǎn)差法 點(diǎn)差法的作用是用弦的中點(diǎn)坐標(biāo)表示弦所在直線的 斜率.點(diǎn)差
18、法的步驟：,將兩交點(diǎn)A（x1,y1）,B(x2,y2)的坐標(biāo)代入曲線的方 程. 作差消去常數(shù)項(xiàng)得到關(guān)于x1+x2,x1-x2,y1+y2,y1-y2的 關(guān)系式. 應(yīng)用斜率公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解. 4.解決直線與圓錐曲線問題的通法 （1）設(shè)方程及點(diǎn)的坐標(biāo). （2）聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組，消元得方程. （3）應(yīng)用韋達(dá)定理及判別式. （4）結(jié)合已知、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率公式及弦長公式 求解. 弦長公式：|AB|= .,一、選擇題 1.（2009菏澤模擬）已知雙曲線 (a )的 兩條漸近線的夾角（兩條相交直線所成的銳角或直 角為 ，則雙曲線的離心率為 （ ） A.2 B. C. D. 解析 雙曲
19、線的漸近線方程為y= . 若 =tan = , 則 a= c= ,e= . 若 ,則 a= ，不符合要求.故選D.,D,2.(2009浙江文，6)已知橢圓 (ab0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)B在橢 圓上，且BFx軸，直線AB交y軸于點(diǎn)P，若 ，則橢圓的離心率是 （ ） A. B. C. D. 解析 如圖，由于BFx軸， 故xB=-c,yB= , 設(shè)P（0,t）, ， （-a,t）=2（-c, -t）,a=2c. .,D,3.（2009山東文，10）設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2=ax(a0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若OAF（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4，則拋物線方程為（ ） A.y2=4x
20、 B.y2=8x C.y2=4x D.y2=8x 解析 y2=ax的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ,過焦點(diǎn)且斜率為2的直線方程為y=2 ，令x=0得： y= . =4， a2=64, a=8.,B,4.橢圓M： (ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為橢圓M上任一點(diǎn)，且 的最大值的取值范圍是c2,3c2，其中c= ,則橢圓M的離心率e的取值范圍是 ( ) A. B. C. D. 解析 由 所以 的最大值為 =（a+c）（a-c），結(jié)合題意分析知c2a2_c23c2，求得離心率的取值范圍是 ，故選B,B,5.P是雙曲線 (a0,b0)右支上的一點(diǎn), F1、F2分別為左、右焦點(diǎn),且焦距為2c,PF1F2的 內(nèi)切
21、圓的圓心的橫坐標(biāo)是 （ ） A.a B.b C.c D.a+b+c 解析 設(shè)圓切PF1、PF2、F1F2分別于M、N、R， 則由雙曲線定義知|PF1|-|PF2|=2a， 即（|PM|+|MF1|）-（|PN|+|NF2|）=2a， 又|PM|=|PN|，故|MF1|-|NF2|=2a， 而|MF1|=|RF1|，|NF2|=|RF2|， 因此|F1R|-|F2R|=2a， 設(shè)R（0，t），則t+c-（c-t）=2a，t=a.,A,二、填空題 6.（2009湖南理，12）已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60，則雙曲線C的離心率為 . 解析 雙曲線中焦距比虛
22、軸長，焦點(diǎn)處內(nèi)角為60,又由雙曲線性質(zhì)得四邊形為菱形. =tan 30= , c= b,a2=c2-b2=2b2, a= b. e= .,7.（2009聊城模擬）設(shè)雙曲線 (ba0)的半焦距為c，直線l過（a,0）、(0,b)兩點(diǎn).已知原點(diǎn)到直線l的距離為 ，則雙曲線的離心率為 . 解析 直線l的方程為 ，即bx+ay-ab=0. 于是有 ,即ab = . 兩邊平方得16a2b2=3c4,16a2(c2-a2)=3c4. 即3c4-16a2c2+16a4=0,3e4-16e2+16=0. 解得e2=4,或e2= , ba0, 1, e2= =1+ 2,故e2=4,e=2.,8.（2009南通模
23、擬）已知拋物線y2=-2px(p0)的焦點(diǎn)F恰好是橢圓 (ab0)的左焦點(diǎn)，且兩曲線的公共點(diǎn)的連線過F，則該橢圓的離心率為 . 解析 由題意F（ ，0），設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為M，橢圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為A，則|AF|=p，|FM|=p， |AM|= p， 橢圓長半軸長a = , 橢圓的半焦距c= , 橢圓的離心率e= .,三、解答題 9.（2009濰坊模擬）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 F1（0， ），F(xiàn)2（0， ），離心率為e= . （1）求橢圓方程； （2）一條不與坐標(biāo)軸平行的直線l與橢圓交于不同 的兩點(diǎn)M，N，且線段MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，求直 線l的傾斜角的取值范圍. 解（1）根據(jù)題意可設(shè)橢圓方
24、程為 （ab0）,其中c為半焦距, c= , e= , a=3,b=1, .,（2）由題意知，直線的傾斜角不可能為0和 , 設(shè)直線方程為y=kx+m (k0). y=kx+m x2+ =1 (k2+9)x2+2kmx+m2-9=0, =4k2m2-4(k2+9)(m2-9)0，即k2-m2+90 設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），x1+x2= ， 線段MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ， ，即m= 把代入解得k23,即k 或k , 直線l的傾斜角的取值范圍為 .,10.如圖所示，橢圓C的方程為 (ab0),A是橢圓C的短軸左頂點(diǎn)，過A點(diǎn)作斜率為-1的直線交橢圓于B點(diǎn)，點(diǎn)P（1，0），且BPy軸，APB的
25、面積為 . （1）求橢圓C的方程； （2）在直線AB上求一點(diǎn)M，使得 以橢圓C的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，且過M的 雙曲線E的實(shí)軸最長，并求此雙 曲線E的方程. 解（1）SAPB= APPB= ， 又PAB=45，AP=PB，故AP=BP=3. P（1，0），A（-2，0），B（1，-3）. b=2，將B（1，-3）代入橢圓方程，,b=2, 得 解得a2=12, , 所求橢圓的方程為 . (2)設(shè)橢圓C的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2， 則易知F1（0， ），F(xiàn)2（0， ）， 直線AB的方程為x+y+2=0，因?yàn)镸在雙曲線E上，要使雙曲線E的實(shí)軸最長，只需|MF1|-|MF2|最大， F1（0， ）關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為F1( -2,-2), 直線F2F1與直線l的交點(diǎn)為所求M,F2F1的方程為y+(3+ )x - =0, y+(3+ )x- =0, 聯(lián)立 得M（1，-3）， x+y+2=0, 又2a=|MF1|-|MF2| =|MF1|-|MF2|F2F1| = ， 故amax= ,b= , 故所求雙曲線的方程為 .,返回,
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