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1、第四章 非線性信號的特征和表示法( Features and Representation of Nonlinear Signal),,第一節(jié) 分形體和分維數(shù)(Fractal and Fractal Dimension),一、分形體(Fractal) 具有非整數(shù)維的結(jié)構(gòu)叫做分形體。就是說真實空間都充滿分形(fractal)特征,即現(xiàn)實世界是一個分形的世界。維數(shù)大于1小于2的結(jié)構(gòu),是一個比直線復(fù)雜而又未完全填充平面的一種結(jié)構(gòu)。維數(shù)大于2小于3的結(jié)構(gòu),是一個比平面復(fù)雜而又未完全填充三維空間的一種結(jié)構(gòu)。 分形體的局部與整體的某種相似性叫做自相似性(self-similarity)。子女與父母,大小不
2、同的樹葉,海上的波濤,天空的云彩,疊嶂的群山,蜿蜒的海岸線,縱橫交錯的毛細(xì)血管網(wǎng),呼吸道的微絨毛,肺支氣管,心電和腦電,都是局部與整體具有某種相似性的客觀現(xiàn)實。 典型的理想的分形的例子有科赫雪花(Koch snowflake)和康托塵土(Kongtor dust)。,典型的理想的分形的例子有科赫雪花(Koch snowflake)和康托塵土(Kongtor dust)。,,二、分維數(shù)(fractal dimension),量度分形體的這種結(jié)構(gòu)復(fù)雜性的量叫分維數(shù)。計算其自相似復(fù)雜性的分?jǐn)?shù)維叫相似維。 下面以科赫雪花為例,說明如何計算相似維及相似維量度其自相似復(fù)雜性的能力。圖4-3是用與圖4-1同
3、一個1/3的生成子生成的三種不同的結(jié)構(gòu)。,由計算可以得出以下推論:,1.用生成子單位去量度同一分形體,所得的分維值最大; 2.用同一量度單位去量度具有不同的自相似復(fù)雜性的分形體,所得的分維值是不同的:復(fù)雜性大的,分維數(shù)大。 3.用不同的量度單位去量度同一分形體,結(jié)果不同。這提示:要用同一單位進行量度,才能比較不同分形體的復(fù)雜性。 4.用生成子去量度具有不同復(fù)雜性的分形體,所得的差異最大 因此,用生成子去量度具有不同復(fù)雜性的分形體, 更便于區(qū)分其不同的復(fù)雜性。,第二節(jié) 混沌特征及其定量描述(Chaotic Characteristics and Its Quantitative Descrip
4、tion),一、混沌(chaos) 結(jié)果對初始條件的敏感性,也就是說出現(xiàn)了結(jié)果的不可預(yù)測性??茖W(xué)界就把這樣的現(xiàn)象稱為“混沌”。就是說非線性就有可能導(dǎo)致混沌。在對大氣和湍流的研究中,都會得到非線性微分方程組,而大氣和湍流的運動都具有局部與整體的某種自相似性。研究表明自相似性也是混沌想象的一種特征。,混沌運動具有以下特征:,1非線性、非周期性、非隨機性。 2對初始條件的敏感性,即短期的不可預(yù)測性。 3具有某種自相似性,因而分形是混沌運動的一 種特征。 4寬帶譜也是混沌運動的一種特性。 5有界性,混沌運動雖然變化的范圍很大,但過程只限于一定的時空范圍。 6由于很小的初始條件的變化(擾動)會導(dǎo)致結(jié)果
5、的巨大變化,因而運動的某種不穩(wěn)定性,也是混沌運動的一種特征。,二、混沌運動的圖形特征,1相平面圖(phase plane plot),2延遲映射圖(return map),三、混沌診斷指標(biāo)(Signs for Diagnosing Chaos),所謂混沌診斷,即如何判斷一種運動是否具有混沌特征。滿足以下兩個以上的條件,可以判斷為混沌。 1初始條件的敏感性。 2大于1的分維數(shù)。 3大于0的李雅普諾夫指數(shù)。 4寬帶譜。,四、非線性導(dǎo)致混沌的數(shù)值例子,1三分岔現(xiàn)象 2無限循環(huán)而不重復(fù) 3初始條件的敏感性 4類似隨機的特征 5有界性,第三節(jié) 復(fù)雜性和復(fù)雜度(Complexes and Complexi
6、ty),一、復(fù)雜性(Complexes) 關(guān)于什么是復(fù)雜性?尚無確切的定義。研究復(fù)雜性多數(shù)認(rèn)為是研究非線性。但是非線性是確定性。如果這樣認(rèn)為,則非線性就成了確定性的一個分支。也有人從隨機性出發(fā)研究復(fù)雜性,這就認(rèn)為復(fù)雜性不是確定性。這樣就成了兩種不同復(fù)雜性:非線性復(fù)雜性和隨機性復(fù)雜性。,二、復(fù)雜度(Complexity),復(fù)雜度就是復(fù)雜性的數(shù)字量度,或稱為數(shù)學(xué)模型。從非線性出發(fā)提出了一些數(shù)學(xué)模型;從隨機性出發(fā)也提出了一些數(shù)學(xué)模型。 除了前面已經(jīng)介紹過的分維數(shù)外,再舉幾個具體的量度復(fù)雜性的例子:近似熵和信息熵,李雅普諾夫指數(shù)和混沌度。,,近似熵是用一個非負(fù)數(shù)來度量一個時間序列的復(fù)雜性的一種方法。 信息是客觀事物的運動狀態(tài)和存在方式的描述。信息熵(entropy,物理學(xué)家嚴(yán)濟慈將之譯成“熵”,隱含了Entropy的物理意義和計算要點)從信息論的角度描述信息的復(fù)雜性, 用以表示信息(由信號攜載)的復(fù)雜程度。 從混沌運動的軌道發(fā)散性出發(fā),提出了量度運動狀態(tài)復(fù)雜性的公式,稱為里雅普諾夫指數(shù) 。,