文科經(jīng)管類微積分第九章常微分方程

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1、 一元微積分學(xué),大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）,第五十六講,腳本編寫：,教案制作：,微分方程的基本概念,設(shè)所求曲線的方程為yy(x).,例1. 一曲線通過點(1, 2), 且在該曲線上任一點M(x, y)處的切線的斜率為2x, 求這曲線的方程.,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 可知未知函數(shù)yy(x)應(yīng)滿足,解:,此外, 未知函數(shù)yy(x)還應(yīng)滿足下列條件:,由(1)式得，,其中C是任意常數(shù).,(1),把條件“x1時, y2”代入(3)式, 得 212C, C1.,把C1代入(3)式, 得所求曲線方程: yx21.,(3),下頁,微分方程,常微分方程與偏微分方程 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程, 叫常微分方程. 未知

2、函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程, 叫偏微分方程.,下頁,凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程.,例,例2. 列車在平直線路上以20m/s的速度行駛; 當(dāng)制動時列車獲得加速度0.4m/s2. 問開始制動后多少時間列車才能停住, 以及列車在這段時間里行駛了多少路程?,解:,設(shè)列車制動后t秒所行駛的距離為s(t)米. 根據(jù)題意未知函數(shù)ss(t)應(yīng)滿足: s=-0.4. (1) s|t0=0, s|t0=20. (2) 由(1)式，積分一次, 得 s=-0.4tC1; (3) 再積分一次, 得 s0.2t2 C1tC2, (4) 這里C1, C2都是任意常數(shù).,把條件s|t0=20代入(3)式得 20

3、C1; 把條件s|t0=0代入(4)式得 0C2. 把C1, C2的值代入(3)及(4)式得 v0.4t20, (5) s0.2t220t. (6) 在(5)式中令v0, 得t=50(s). 再把t50代入(6), 得 s0.25022050500(m).,下頁,提示:,微分方程,常微分方程與偏微分方程 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程, 叫常微分方程. 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程, 叫偏微分方程.,下頁,凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程.,例,微分方程的階 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù), 叫微分方程的階.,提示:,這是一階微分方程,這是二階微分方程,幾個基本概念,下頁

4、,幾個基本概念,提示:,微分方程的解 滿足微分方程的函數(shù)叫做該微分方程的解.,在例1中, 微分方程y=2x的解有y=x2C和y=x21.,在例2中, 微分方程s=-0.4的解有 s0.2t2 C1tC2, s0.2t2 20tC2和s0.2t220t.,下頁,求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù):,解:,這表明函數(shù) 滿足所給方程, 因此所給函數(shù)是所給方程的解.,下頁,例2,由上式得:,下頁,若一個函數(shù)中出現(xiàn)的兩個常數(shù)不能通過運(yùn)算合并為一個,常數(shù)，那么這兩個常數(shù)是獨立的，,中的,是獨立的，,而,中的,可以合并為一個常數(shù)，,所以這里的 不獨立,例如,常數(shù)互相獨立,幾個基本概念,提示:,微分方程的解 滿足微分方程的函數(shù)

5、叫做該微分方程的解.,通解 如果微分方程的解中含有相互獨立的任意常數(shù), 且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同, 這樣的解叫做微分方程的通解.,特解 確定了通解中的任意常數(shù)以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常數(shù)的解叫特解.,在例1中, 微分方程y=2x的解有y=x2C和y=x21.,在例2中, 微分方程s=-0.4的解有 s0.2t2 C1tC2, s0.2t2 20tC2和s0.2t220t.,下頁,解,通解,特解,其它,共同點：,不同點：,幾個基本概念,提示:,初始條件 用于確定通解中任意常數(shù)的條件, 稱為初始條件.,對于一階微分方程, 通常用于確定任意常數(shù)的條件是,對于二階微分方程

6、, 通常用于確定任意常數(shù)的條件是,例1是求微分方程滿足初始條件y|x12的解.,例2是求微分方程s=-0.4滿足初始條件s|t0=0, s|t0=20的解.,下頁,y=2x,幾個基本概念,初始條件 用于確定通解中任意常數(shù)的條件, 稱為初始條件.,初值問題 求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題.,問題, 記為,提示:,例1是求微分方程滿足初始條件y|x12的解.,例2是求微分方程s=-0.4滿足初始條件s|t0=0, s|t0=20的解.,下頁,y=2x,解,微分方程,初始條件,通解,特解,作業(yè)P165,1. (1)(3)(5),3.,2.,5., 一元微積分學(xué),大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）,腳

7、本編寫：,教案制作：,可分離變量的微分方程,9.2 可分離變量的微分方程,上頁,下頁,鈴,結(jié)束,返回,首頁,第二節(jié) 可分離變量的一階微分方程,為微分方程的通解.,兩邊積分,為可分離變量的方程.,稱,則,下頁,例2. 求微分方程 的通解.,方程可化為,解:,分離變量得,兩邊積分得,于是原方程的通解為,解,或解,例2,( C1為任意常數(shù) ),例1. 求微分方程,的通解.,解: 分離變量得,兩邊積分,得,即,( C 為任意常數(shù) ),說明: 在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、,減解.,( 此式含分離變量時丟失的解 y0 ),作業(yè)P172,1. (1)(2)(3)(4),3. (1),2.

8、 (1)(2)(5), 一元微積分學(xué),大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）,第五十七講,腳本編寫：,教案制作：,一階線性微分方程,一、線性方程,二、伯努利方程,9.3 一階線性微分方程,上頁,下頁,鈴,結(jié)束,返回,首頁,第四節(jié) 一階線性微分方程,一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:,上方程稱為齊次的.,上方程稱為非齊次的.,例如,線性的;,非線性的.,齊次方程的通解為,1. 線性齊次方程,一階線性微分方程的解法:,使用分離變量法,2. 線性非齊次方程,常數(shù)變易法,把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.,實質(zhì): 未知函數(shù)的變量代換.,作變換,積分得,所以一階線性非齊次微分方程的通解為:,對應(yīng)齊次方程的通解,非齊次

9、方程特解,解,例1,例7 求方程,解 將方程改寫為,的通解.,先求齊次方程,的通解.,分離變量, 得,兩端積分并整理, 得齊次方程的通解,用常數(shù)變易法求非齊次線性方程的通解，,故原方程的通解為：y = (ex + c) (x+1)2 ,將 y與y代入非齊次方程, 并整理, 得,兩端積分, 得,例1,求方程,的通解.,解:,對應(yīng)的齊次方程為:,分離變量得,即,或,所以齊次方程的通解為:,用常數(shù)變易法求非齊次線性方程的通解，,代入方程,得,即,所以,因此非齊次方程的通解為:,二、伯努利方程,伯努利方程,下列方程中哪些是伯努利方程？,討論:,提示:,下頁,方程為線性微分方程.,解法:,二、伯努利(B

10、ernoulli)方程,求出通解后, 將 代入即得原方程的通解 .,代入上式得,例3.,以y2除方程的兩端, 得,解:,令zy1, 則上述方程成為,這是一個線性方程, 它的通解為,以y1代z , 得所求方程的通解為,下頁,例3,求,的通解.,解: 此方程是伯努利方程:,方程兩邊同乘 得,即,令,得,變量分離,常數(shù)變易,變量代換,練習(xí),1991年考研數(shù)學(xué)一, 3分,解:,可分離變量方程,兩邊積分,由原關(guān)系式,得,得,分離變量,練習(xí),兩邊對,關(guān)于 求導(dǎo),例8.,解：,求方程,的通解.,將 與 互換,得方程,齊次方程,分離變量得,所以齊次方程的通解為:,用常數(shù)變易法求非齊次線性方程 的通解，,得,的

11、通解為:,例8.,解：,求方程,的通解.,將 與 互換,得方程,的通解為:,將 與 換回,得方程,的通解為:,作業(yè)P177,2. (1)(3)(5),1. (2)(4)(6),3.,5.,6.,7.,8.(1), 一元微積分學(xué),大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）,第五十八講,腳本編寫：,教案制作：,二階線性微分方程,一、二階線性微分方程舉例,二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu),9.4 二階線性微分方程,上頁,下頁,鈴,結(jié)束,返回,首頁,一、二階線性微分方程舉例,二階線性微分方程,二階線性微分方程的一般形式為,若方程右端f(x)0時, 方程稱為齊次的, 否則稱為非齊次的.,或 y+P(x)y+Q(x)y=f(x).,

12、下頁,二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu),C1y1+C2y2+P(x)C1y1+C2y2+Q(x)C1y1+C2y2,000.,=C1y1+P(x)y1+Q(x)y1C2y2+P(x)y2+Q(x)y2,方程y+P(x)y+Q(x)y=0的任意兩個解y1(x)與y2(x)的線性組合C1y1(x)+C2y2(x)也是它的解, 其中C1、C2是任意常數(shù).,簡要證明:,這是因為,定理1(齊次方程的解的疊加原理),下頁,舉例： 已知cos x與sin x都是方程y+y=0的解. 方程的通解為 y=C1cos xC2sin x.,將其代入方程,故有,特征根,二階,設(shè)解,得,特征方程,常系數(shù),齊次,線性方程,(c

13、haracteristic equation),(characteristic root),二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法,其中r為待定常數(shù).,兩個 特解,有兩個不相等的實根,特征方程,得齊次方程的通解為,設(shè)解,其中r為待定常數(shù).,有兩個相等的實根,一特解為,化簡得,設(shè),取,則,知,得齊次方程的通解為,其中r為待定常數(shù).,設(shè)解,特征方程,有一對共軛復(fù)根,為了得到實數(shù)形式的解,重新組合,的兩個復(fù)數(shù)形式的解.,其中r為待定常數(shù).,得齊次方程的通解為,設(shè)解,特征方程,小結(jié),特征根的情況,通解的表達(dá)式,實根,實根,復(fù)根,的通解的不同形式.,特征根r的不同情況決定了方程,解,特 征 根,通 解 形 式,

14、解,特 征 根,通 解 形 式,稱為,解,特征方程,故所求通解為,例,由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根,確定其通解的方法,特征方程法.,特征根,解,特征方程,故所求通解為,例,特征根,特 征 根,通 解 形 式,例,解初值問題,解,特征方程,特征根,所以方程的通解為,(二重根),特解,作業(yè)P188,1. (2)(4), 一元微積分學(xué),大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）,第五十九講,腳本編寫：,教案制作：,二階常系數(shù)線性非齊次微分方程,二、二階常系數(shù)非齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法,回顧,一階線性微分方程,對應(yīng)齊次方程的通解,非齊次方程特解,(1),提示:,我們把方程y+P(x)y+Q(x)y=0叫做與非齊次

15、方程 y+P(x)y+Q(x)y=f(x) 對應(yīng)的齊次方程.,設(shè)y*(x)是二階非齊次線性方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的一個特解, Y(x)是對應(yīng)的齊次方程的通解, 那么 y=Y(x)+y*(x) 是二階非齊次線性微分方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的通解.,定理3(非齊次方程的通解的結(jié)構(gòu)),舉例:,已知Y=C1cos x+C2sin x是齊次方程y+y=0的通解, y*=x2-2是非齊次方程y+y=x2的一個特解, 因此 y=C1cos x+C2sin x+x2-2 是非齊次方程y+y=x2的通解.,下頁,證明提示:,Y(x)+y*(x)+P(x)Y(x)+y*(x)+Q

16、(x)Y(x)+y*(x) = Y +P(x)Y+Q(x)Yy*+P(x)y*+Q(x)y* 0f(x)f(x).,設(shè)y*(x)是二階非齊次線性方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的一個特解, Y(x)是對應(yīng)的齊次方程的通解, 那么 y=Y(x)+y*(x) 是二階非齊次線性微分方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的通解.,定理3(非齊次方程的通解的結(jié)構(gòu)),下頁,二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :,根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為,求特解的方法：,根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,的待定形式, 待定系數(shù)法,三角函數(shù),三角函數(shù),多項式,多項式,指數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù),方程 (2) 對應(yīng)的齊次方程

17、(1) 的特征方程及特征根為,單根,二重根,一對共軛復(fù)根,為常數(shù) ,方程,有下列形式的特解：,假設(shè)方程,有下列形式的特解：,則,代入方程 (2) ，得,即,綜上討論可知,設(shè)特解為,其中,代入原方程,來確定Q(x).,例2. 求微分方程y-5y+6y=xe2x的通解.,這里Pm(x)x, 2. 與所給方程對應(yīng)的齊次方程為 y-5y+6y=0, 它的特征方程為 r2-5r +6=0. 特征方程有兩實根r12, r23. 于是齊次方程的通解為 YC1e2xC2e3x. 由于2是特征方程的單根, 所以特解應(yīng)設(shè)為 y*x(b0 xb1)e2x.,解:,把 代入所給方程, 得 2b0 x2b0b1x. 比

18、較兩端x同次冪的系數(shù), 得 -2b0=1, 2b0-b1=0.,于是求得所給方程的一個特解為,從而所給方程的通解為,首頁,解,對應(yīng)齊次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程,得,例6,解,對應(yīng)的齊次方程的特征方程為,特征根為,對應(yīng)的齊次方程的通解為,將它代入原方程，得,比較兩邊同類項的系數(shù)，得,故原方程有一特解為,綜上所述，原方程的通解為,解,解,對應(yīng)的齊方程的特征方程為,特征根為,對應(yīng)的齊次方程的通解為,將它代入原方程，得,上式即,故原方程有一特解為,綜上所述，原方程的通解為,解,設(shè)y1*(x)與y2*(x)分別是方程 y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)與 y+P(x)y+Q(x)y=f2(x) 的特解, 那么y1*(x)+y2*(x)的是方程 y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)+f2(x) 的特解.,定理4(非齊次方程的解的疊加原理),簡要證明: 這是因為 y1*+y2*P(x)y1*+y2*Q(x)y1*+y2* =y1*P(x)y1*Q(x)y1*y2*P(x)y2*Q(x)y2* =f1(x)f2(x).,結(jié)束,解,綜上所述，原方程的通解為,二選一,先選0,再選.,解,例7,所求通解為,解,例8,所求通解為,珍惜時間認(rèn)真復(fù)習(xí),作業(yè)P188,2. (1)(2),1. (6)(7),4.,5.,