結構力學》第七章力法

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1、1,,第七章 力 法,,2,72 超靜定次數(shù)的確定,73 力法的基本概念,74 力法的典型方程,76 對稱性的利用,75 力法的計算步驟和示例,77 超靜定結構的位移計算,79 溫度變化時超靜定結構的計算,710 支座移動時超靜定結構的計算,713 超靜定結構的特性,78 最后內力圖的校核,,,,,,,,,,,,,力 法,,,,71 概述,第七章 力 法,3,,71 概 述,1. 靜定結構與超靜定結構,靜定結構：,超靜定結構：,,,,,A,B,C,P,,,,P,全部反力和內力只用平衡條件便可確 定的結構。,僅用平衡條件不能確定全部反力和 內力的結構。,,,A,B,,P,,HA,,VA,,RB

2、,VA,,,HA,,RB,,RC,外力超靜定問題,內力超靜定問題,力 法,,,,返 回,4,,,,,,P,A,,B,C,,P,,,,,,,,,,,2 . 超靜定結構在幾何組成上的特征,多余聯(lián)系與多余未知力的選擇。,是幾何不變且具有“多余”聯(lián)系（外部或內部）。,多余聯(lián)系：,這些聯(lián)系僅就保持結構的幾何不變 性來說，是不必要的。,多余未知力：,多余聯(lián)系中產(chǎn)生的力稱為多余未 知力（也稱贅余力）。,此超靜定結構有一個多余聯(lián) 系，既有一個多余未知力。,此超靜定結構有二個多余聯(lián) 系，既有二個多余未知力。,,,,,力 法,,,,返 回,5,,,3. 超靜定結構的類型,（1）超靜定梁; （2）超靜定桁架；

3、（3）超靜定拱；,,,,,,,,4. 超靜定結構的解法,求解超靜定結構，必須 綜合考慮三個方面的條件:,（1）平衡條件； （2）幾何條件； （3）物理條件。,具體求解時，有兩種基本(經(jīng)典)方法力法和位移法。,（4）超靜定剛架；,（5）超靜定組合結構。,力 法,,,,返 回,6,72 超靜定次數(shù)的確定,1. 超靜定次數(shù)：,2 .確定超靜定次數(shù)的方法:,解除多余聯(lián)系的方式通 常有以下幾種：,（1）去掉或切斷一根鏈桿，相當于去掉一個聯(lián)系。,,,,,,,（2）拆開一個單鉸，相當 于去掉兩個聯(lián)系。,,用力法解超靜定結構時，首先必須確定多余聯(lián)系 或多余未知力的數(shù)目。,,,,,,,,,,多余聯(lián)系或多余未知力

4、的個數(shù)。,采用解除多余聯(lián)系的 方法。,力 法,,,,返 回,7,3. 在剛結處作一切口， 或去掉一個固定端，相當 于去掉三個聯(lián)系。,,,,,,,,,,,,,4. 將剛結改為單鉸聯(lián) 結，相當于去掉一個聯(lián)系。,,,,,,,,應用上述解除多余 聯(lián)系(約束)的方法，不難 確定任何 超靜定結構的 超靜定次數(shù)。,X2,X2,力 法,,,,返 回,8,,3. 例題:確定圖示結構的超靜定次數(shù)（n）。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,n=6,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,n=37=21,對于具有較多框格的結構，可 按 框格的數(shù)目確定，因為一個封 閉框格，其 超 靜定次數(shù)等于三。 當結構的框格

5、數(shù)目為 f ,則 n=3f 。,力 法,,,,返 回,9,73 力法的基本概念,首先以一個簡單的例子，說明力法的思路和基本概 念。討論如何在計算靜定結構的基礎上，進一步尋求計 算超靜定結構的方法。,,A,B,EI,,,,L,1判斷超靜定次數(shù)： n=1,,q,q,,,A,B,原結構,,,2. 確定(選擇)基本結構。,3寫出變形(位移)條件:,,,,,,,,,,,,,(a),,(b),q,基本結構,,根據(jù)疊加原理，式（a） 可寫成,力 法,,,,返 回,10,,,,,,,L,,,,,將,代入(b)得,4 .建立力法基本方程,(71),5. 計算系數(shù)和常數(shù)項,6. 將11、 11代入力法方程式(

6、7-1)，可求得,,A,B,EI,,,,L,q,,(b),此方程便為一次超靜定結 構的力法方程。,=,,EI,1,,,2,L,2,3,2L,11=,11x1,=,,EI,1,,,2,qL,2,4,3L,,_,(,,3,1,L,),多余未知力x1求出后，其余反力、內力的計算都是靜定問題。利用已繪出 的,,M1圖,和MP圖按疊加法繪M圖。,,,,,q,力 法,,,,返 回,11,結 論,象上述這樣解除超靜定結構的多余聯(lián)系而 得到靜定的基本結構，以多余未知力作為基本未 知量，根據(jù)基本結構應與原結構變形相同而建立 的位移條件，首先求出多余未知力，然后再由平 衡條件計算其余反力、內力的方法，稱為力法。

7、,力法整個計算過程自始至終都是在基本結構 上進行的，這就把超靜定結構的計算問題，轉化 為已經(jīng)熟悉的靜定結構的內力和位移的計算問題。,力 法,,,,返 回,12,74 力法的典型方程,1. 三次超靜定問題的力法方程,用力法計算超靜定結構的關鍵，是根據(jù)位移條件建立力法方 程以求解多余未知力，下面首先以三次超靜定結構為例進行推導。,,A,B,,P,首先選取基本結構（見圖b）,,,X1,,X2,A,B,,P,,X3,基本結構的位移條件為：,1=0 2=0 3=0,,設當,和荷載 P 分別作用在結構上時，,A點的位移,,沿X1方向：,沿X2方向：,沿X3方向：,據(jù)疊加原理，上述位移條件可寫成,原結構,

8、基本結構,1=,,（72）,（a）,（b）,11,21、22、23和2P ；,31、32、33和3P 。,2=21X1+22X2+23X3+2P=0 3=31X1+32X2+33X3+3P=0,11X1,+12X2,+13X3,+1P,=0,、12,、13,和1P ；,力 法,,,,返 回,13,2. n次超靜定問題的力法典型(正則)方程,對于n次超靜定結構,有n個多余未知力，相應也有 n個位移條件，可寫出n個方程,11X1+ 12X2+ + 1iXi+ + 1nXn+1P=0,,（73）,這便是n次超靜定結構的力法典型(正則)方程。式中 Xi為多余未知力， i i為主系數(shù)，i j(ij)為副

9、系數(shù), iP 為常數(shù)項（又稱自由項）。,11X1+12X2+13X3+1P=0,,（72）,21X1+22X2+23X3+2P=0 31X1+32X2+33X3+3P=0,,,i 1X1+ i 2X2+ + i iXi+ + i nXn+iP=0,n1X1+ n2X2+ + niXi+ + nnXn+nP=0,力 法,,,,返 回,14,3. 力法方程及系數(shù)的物理意義,（1）力法方程的物理意義為：,（2）系數(shù)及其物理意義： 下標相同的系數(shù) i i 稱為主系數(shù)(主位移)，它是單位 多余未知力,單獨作用時所引起的沿其自身方向上 的位移，其值恒為正。,系數(shù) i j(ij)稱為副系數(shù)(副位移)，它是單

10、位多余未知力,單獨作用時所引起的沿 Xi方向上的位移， 其值可能為正、為負或為零。據(jù)位移互等定理，有,i j= j i,i P稱為常數(shù)項(自由項)它是荷載單獨作用時所引起 的沿Xi方向的位移。其值可能為正、為負或為零。,上述方程的組成具有規(guī)律性，故稱為力法典型方程。,基本結構在全部多余 未知力和荷載共同作用下，基本結構沿多余未知力方向 上的位移，應與原結構相應的位移相等。,力 法,,,,返 回,15,4. 力法典型(正則)方程系數(shù)和自由項的計算,典型方程中的各項系數(shù)和自由項，均是基本結構在 已知力作用下的位移，可以用第七章的方法計算。對于 平面結構，這些位移的計算公式為,,對不同結構選取不同項

11、計算。系數(shù)和自由項求得后， 代入典型方程即可解出各多余未知力。,力 法,,,,返 回,16,75 力法的計算步驟和示例,1. 示例,,P,A,B,C,I1,I2=2I1,,,,a,,,,,,n=2(二次超靜定),原,選擇基本結構如圖示,P,A,C,,,B,,基,X1,,X2,力法典型方程為：,11X1,計算系數(shù)和常數(shù)項，為 此作,,,a,,,,a,,,a,,計算結果如下,,(a),,a,21X1 + 22X2+2P=0,+ 12X2,+1P=0,,2EI1,1,,2,a2,,3,2a,=,,6EI1,a3,,,2EI1,1,,2,a2,a,=,,4EI1,a3,力 法,,,,返 回,17,,,

12、a,,,a,,,,a,P,,,,,將以上各系數(shù)代入方程(a) 并消去(a3/EI1)得,,解聯(lián)立方程得,多余未知力求得后其余反力、內力的計算便是靜定問題。,,例如,,,,,,,,,最后內力圖的繪制用疊加法,15/88Pa,M圖,13/88Pa,,P,A,B,C,3/88Pa,a,,MAC=,a,.,,11,4P,+,a(,,,88,3P,),,,2,Pa,力 法,,,,返 回,18,2 .力法的計算步驟,（1）確定原結構的超靜定次數(shù)。 （2）選擇靜定的基本結構(去掉多余聯(lián)系， 以多余未知力代替)。 （3）寫出力法典型方程。 （4）作基本結構的各單位內力圖和荷載內力 圖，據(jù)此計算典型方程中的系數(shù)

13、和自由項。 （5）解算典型方程，求出各多余未知力。 （6）按疊加法作內力圖。,力 法,,,,返 回,19,例 71 用力法分析兩端固定的梁，繪彎矩圖。EI=常數(shù)。,,,A,B,,,,L,,,,a,,b,P,解：,n=3,選取簡支梁為基本結構,,P,,X1,,X2,,X3,基本結構,典型方程為,11X1+ 12X2+ 13X3+1P=0 21X1+ 22X2+ 23X3+2P=0 31X1+ 32X2+ 33X3+3P=0,,,,1,,,,1,,MP圖,,,P,,3=0,故,13= 31= 23= 32= 3P=0,則典型方程第三式為,33X3=0,330(因X3的解唯一),故,作基本結構各,和

14、MP圖,由于,X3=0,,,,,,M圖,,,,,,,,,,,,,11X1+ 12X2+1P=0 21X1+ 22X2+2P=0,由圖乘法求得,代入典型方程(消去公因子)得,解得,,,,代入典型方程解得,,作彎矩圖。,按式,,,,,,力 法,,,,返 回,20,例 72 用力法計算圖示桁架內力，設各桿EA相同。,,解：,n=1(一次超靜定)。,0,1,2,3,4,,,P,P,,,,,,2a,2a,,,,a,選擇基本結構如圖示。,0,1,2,3,4,,,P,P,,,,X1,基本結構,寫出力法典型方程,11X1+1P=0,按下列公式計算系數(shù)和自由項,,,為此，求出基本結構的,和NP值,0,1,2,3

15、,4,,,,X1=1,,,,-1/2,對稱,0,1,2,3,4,,,P,P,,NP,,,+P/2,對稱,0,列表計算(見書137頁)后得,EA11=(3+,) a,EA1P=Pa,力 法,,,,返 回,21,,0,1,2,3,4,,,,X1=1,,,,-1/2,對稱,0,1,2,3,4,,,P,P,,NP,,,+P/2,對稱,0,0,1,2,3,4,,,P,P,N,對稱,代入典型方程，解得,各桿內力按式,,疊加求得。,0.586P,0.828P,+0.414P,+0.172P,例如,N03=0.7070.172P -0.707 =0.586P,=0.172P,力 法,,,,返 回,22,7

16、6 對稱性的利用,用力法分析超靜定結構，結構的超靜定次數(shù)愈高， 計算工作量就愈大，主要工作量是組成(計算系數(shù)、常數(shù) 項)和解算典型方程。利用結構的對稱性可使計算得到簡 化。簡化的原則是使盡可能多的副系數(shù)、自由項等于零。,結構的對稱性：,例如：,,EI1,EI1,EI2,,,,,,a,,a,對稱,EI1,EI1,,對稱,指結構的幾何形狀、約束、剛度和 荷載具有對稱性(正對稱或反對稱)。正對稱簡稱對稱。,力 法,,,,返 回,23,1. 選取對稱的基本結構,,EI1,EI1,EI2,,對稱軸,,基本結構,,,,,,X1,X2,X3,,多余未知力X1、X2是 正對稱，X3是反對稱的。,基本結構的各單

17、位彎 矩圖(見圖)。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,、,是正對稱，,是反對稱。,則,13= 31= 23= 32=0,于是， 力法典型方程簡 化為,,11X1+12X2+1P=0 21X1+22X2+2P=0 33X3+3P=0,,下面就對稱結構作進一步討論。,力 法,,,,返 回,24,（1）對稱結構作用對 稱荷載,,,,,,a,,a,P,P,,,P,P,MP圖,,,,,,,,,,,MP圖是正對稱的，故3P=0。,11X1+12X2+1P=0 21X1+22X2+2P=0 33X3+3P=0,,則 X3=0 。,這表明：對稱的超靜定結構，在對稱的

18、荷載作用下， 只有對稱的多余未知力，反對稱的多余未知力必為零。,,,,,,a,,a,P,P,,,P,P,MP圖,,,,,,,,,,,（2）對稱結構作用反 對稱荷載,MP圖是反對稱的，故,1P= 2P=0,則得 X1=X2=0,這表明：對稱的超靜定結構，在反對稱的荷載作用下， 只有反對稱的多余未知力，對稱的多余未知力必為零。,,,力 法,,,,返 回,25,例 74 分析圖示剛架。,,,,10kN,10kN,,,,6m,,,,,6m,6m,,解：,這是一個對稱結構，為四次超靜定。,選取對稱的基本結構 如圖示，,,,,,,,X1,只有反對稱多余未知力X1,基,為計算系數(shù)和自由項分別作,和MP圖(

19、見圖)。,,,,,,,,,,EI=常數(shù),,3,,,,,3,,,,,,,,,圖,(m),10kN,MP圖 (kNm),,60,,,,60,,,,,,,,120,由圖乘法可得,EI11=(1/2332) 4 +（363）2 =144,EI1P=(3630+1/23 380) 2=1800,代入力法方程 11X1+1P=0,X1=,彎矩圖由,作出。,解得,力 法,,,,返 回,26,這樣，求解兩個多余未知 力的問題就轉變?yōu)榍蠼庑?的兩對多余未知力的問題。,當選基本結構為時，,2. 未知力分組及荷載分組,（1）未知力分組,,A,B,,P,,X1,,X2,,P,,為使副系數(shù)等于零，可采 取

20、未知力分組的方法。,,,,P,,,Y1,Y1,Y2,Y2,,有,X1=Y1+Y2 ，,X2=Y1Y2,作,、M2圖。,,,,,,圖,,,,,,,,,,M2圖,正對稱,反對稱,故,,12= 21=0,典型方程化簡為,11Y1+1P=0 22Y2+2P=0,,力 法,,,,返 回,27,（2）荷載分組,,當對稱結構承受一般非對稱荷載時，可以將荷 載分解為正、反對稱的兩組，分別求解然后疊加。,,,,若取對稱的基本 結構計算，在正對稱 荷載作用下將只有對 稱的多余未知力。,若取對稱的基本結構計算，在反對稱荷載作用下將 只有反對稱的多余未知力。,,P,,P,,2,,P,,2,,P,,2,,P,,2,,X

21、1,,,X1,,X2,X2,,,,,,2,,P,,,2,P,,,2,P,,,2,P,力 法,,,,返 回,28,3.取一半結構計算,當結構承受正對稱或反對稱荷載時，也可以只截取結 構的一半進行計算，又稱為半剛架法。下面分別就奇數(shù)跨 和偶數(shù)跨兩種對稱剛架進行討論。,（1）奇數(shù)跨對稱剛架,,,,,p,p,對稱,,,,,p,,,二次超靜定,對稱荷載,反對稱荷載,,p,,p,,反對稱,,,,,p,,,。,,一次超靜定,力 法,,,,返 回,29,（2）偶數(shù)跨對稱剛架,對稱荷載,,,,p,p,,,對稱,,p,,,三次超靜定,反對稱荷載,,,p,p,,,,,I,,p,I/2,,,,三次超靜定,,,,p,,

22、p,I/2,I/2,,p,,p,I/2,I/2,,C,QC,QC,,力 法,,,,返 回,30,77 超靜定結構的位移計算,上一章所述位移計算的原理和公式，對超靜定結構也是適用的，下面以75的例題予以說明。,,求CB桿中點K的豎向位移KY,,K,P=1,P,A,B,C,I1,I2=2I1,,,,a,,,,,,原,虛擬狀態(tài)如圖,為了作,,,8/44a,,,,,3/44a,,,需解 算一個二次超靜定問題，較為麻煩。,,K,圖中所示的M圖 就是實際狀態(tài)。,基本結構的內力和位移與原結構完全 相同，則可以在基本結構上作,。,,K,P=1,,a/4,,,圖乘得,,,6/44a,,,(),,力 法,,,,返

23、 回,31,結 論,綜上所述，計算超靜定結構位移的步驟是：,（1）解算超靜定結構，求出最后內力， 此為實際狀態(tài)。 （2）任選一種基本結構，加上單位力求 出虛擬狀態(tài)的內力。 （3）按位移計算公式或圖乘法計算所求 位移。,力 法,,,,返 回,32,,78 最后內力圖的校核,用力法計算超靜定結構，因步驟多易出錯，應注意 檢查。尤其是最后的內力圖，是結構設計的依據(jù)，應加 以校核。校核應從兩個方面進行。,1.平衡條件校核,取結構的整體或任何部分為隔離體，其受力應滿足 平衡條件。,（1）彎矩圖：通常檢查剛結點處是否滿足M=0的 平衡條件。例如,,取結點E為隔離體,,,E,,MED,,MEB,,ME

24、F,應有 ME=MED+MEB+MEF=0,M圖,力 法,,,,返 回,33,（2）剪力圖和軸力圖,可取結點、桿件或結構的某一部分為隔離體，檢查 是否滿足 X=0和 Y=0的平衡條件。,2.位移條件校核,檢查各多余聯(lián)系處的位移是否與已知的實際位移相 符。對于剛架，可取基本結構的單位彎矩圖與原結構的 最后彎矩圖相乘，看所得位移是否與原結構的已知位移 相符。例如,,P,A,B,C,I1,I2=2I1,,,,a,,,,,,原,檢查A支座的水 平位移 1是否 為零。,將M圖與,相乘得,=0,,力 法,,,,返 回,34,79 溫度變化時超靜定結構的計算,對于超靜定結構，溫度變化時不但產(chǎn)生變形和位移，

25、 同時產(chǎn)生內力。,用力法分析 超靜定 結構在溫度變化時產(chǎn)生的內力， 其原理與荷載作用下的計算相同。例如圖示剛架溫度發(fā) 生變化，選取基本結構（見圖），,,t1,t1,t2,t3,t1,t1,t2,t3,,,X1,,X2,,X3,典型方程為,11X1+12X2+13X3+1t=0 21X1+22X2+23X3+2t=0 31X1+32X2+33X3+3t=0,其中系數(shù)的計算同前， 自由項1t、 2t、 3t 分別為基本結構由于溫 度變化引起的沿X1、X2 X3方向的位移。即,力 法,,,,返 回,35,例76 剛架外側溫度升高25，內側溫度升高35， 繪彎矩圖并求橫梁中點的豎向位移。剛架EI=常數(shù)

26、，截面 對稱于形心軸，其高度h=L/10,材料的膨脹系數(shù)為。,,,,,,L,,,,L,+ 25,+35,解：,n=1,選取基本結構,,,X1,基,+ 25,+35,典型方程為:,11X1+1t=0,計算,并繪制,圖,,,1,圖,,L,,,L,0,0,-1,,求得系數(shù)和自由項為,,=,故得,=230L,,,,,,,力 法,,,,返 回,36,按,,M圖,,,,,,,,作彎矩圖,求橫梁中點K的位移K， 作基本結構虛擬狀態(tài)的,圖 并求出,，然后計算位移,,,,K,,1,0,圖,,L/4,,,138EI/L,1/2,1/2,力 法,,,,返 回,37,710 支座位移時超靜定結構的計算,超靜定結構當

27、支座移動時，位移的同時將產(chǎn) 生內力。,對于靜定結構，支座移動時將使其產(chǎn)生位移， 但并不產(chǎn)生內力。例如,,A,B,C,,A,B,C,,,,力 法,,,,返 回,38,用力法分析超靜定結構在支座移動時的內力，其原 理同前，唯一的區(qū)別僅在于典型方程中的自由項不同。,例如圖示剛架，,,,A,B,,,,,,,h,,,,,L,a,,b,,,可建立典型方程如下：,11X1+12X2+13X3+1=0 21X1+22X2+23X3+2= 31X1+32X2+33X3+3=a,A,B,,X1,,X2,,X3,基,式中系數(shù)的計算同前，自由項按式(615)計算。,最后內力按下式計算,在求位移時，應加上支座移動的影響

28、：,,,力 法,,,,返 回,39,例：77 兩端固定的等截面梁A端發(fā)生了轉角，分析其內力。,,A,B,,,,L,,,,解： n=3,選取基本結構如圖，,,X1,,X2,,X3,基本結構,因X3=0,則典型方程為,11X1+12X2+1= 21X1+22X2+2=0,繪出,圖，,,,1,,,,1,圖乘得,，,，,由題意知：1t= 2t=0,將上 述結果代入方程后解得,按式,作彎矩圖。,,,,A,B,,M圖,,,,,,,力 法,,,,返 回,40,711 用彈性中心法計算無鉸拱,拱是一種曲軸的推力結構，除三鉸拱外均是 超靜定的，超靜定拱有無鉸拱和兩鉸拱兩種形式。,一般說無鉸拱彎矩分布比較均勻，且

29、構造簡單， 工程中應用較多，例如鋼筋混凝土拱橋和石拱橋，,,無鉸拱,兩鉸拱,,拱橋,,拱圈,隧道的混凝土拱圈等。,超靜定拱,,,,返 回,41,,因為超靜定結構的內力與變形有關，所以計 算超靜定拱之前，須事先確定拱軸線方程和截面 變化規(guī)律。,在初步計算時，常采用相應三鉸拱的合理拱 軸線作為超靜定拱的軸線，然后根據(jù)計算結果加 以修正，以盡量減小彎矩。拱截面的變化規(guī)律， 在拱橋設計中可采用下列經(jīng)驗公式,（78）,,x,,y,,Ic,,,I,,x,,,,,,,,L1=L/2,,L1,IK、K,超靜定拱,,,,返 回,42,由式（78）有,可見n愈小，Ic與IK之比愈小，拱厚變化愈劇烈。 n的范圍一般

30、為0.251。當取 n=1時，,為簡化計算常近似取,當拱高 fL/8時，因角較小，可近似取,A=AC=常數(shù),超靜定拱,,,,返 回,43,無鉸拱是三次超靜定結構。對稱無鉸拱在 計算時為簡化計算取對稱的基本結構。,,,P,,,P,,,x1,,,x2,,,x3,故副系數(shù),13= 31=0 23= 32=0,但仍有12= 210,如果能設法使12= 21=0，則典型方程中的 全部副系數(shù)都為零，計算就更加簡化。這可以用 下述引用“剛臂”的辦法來達到目的。,超靜定拱,,,,返 回,44,,,EI=,,,P,,,,x1,,,x2,,,x3,原結構,,可以設想，對稱無鉸拱沿拱頂 截面切開后，在切口兩邊沿豎向

31、引 出兩個剛度無窮大的伸臂剛臂， 然后在兩剛臂下端將其剛結。,選取基本結構，,它是兩個帶剛 臂的懸臂梁，利用對稱性，并適當 選取剛臂的長度，便可以使典型方 程中全部副系數(shù)都等于零。,選取坐標，寫出各單位多余未 知力作用下基本結構的內力表達式。,,x,,（79）,,y,,P,超靜定拱,,,,返 回,45,,,,,,x1,,,x2,,,x3,,x,,y,,,（79）,式中：彎矩內側受拉為正，剪力以 繞隔離體順時針方向為正，軸力以 壓力為正。為拱軸的弦切角，右半拱取正，左半拱取負。,由于多余未知力X1和X2是對稱的，X3是反對稱的， 故有,13= 31=0 23= 32=0,超靜定拱,,,,返 回,

32、46,12= 21,,,,,,x1,,,x2,,,x3,,x,,y,,,,ys,,,y1,,,y,,K,令 12= 21=0，可得,（710）,設想沿拱軸作寬度等于1/EI的圖形，則ds/EI 就代 表此圖形的微面積，式（710）就是計算這個圖形面 積的形心坐標的公式。,,,,x,,y,,,ys,o,,,,1/EI,,,,,y1,,,,,ds,由于此圖形 的面積與結構的彈性性質EI有 關,故稱它為彈性面積圖，它的 形心則稱為彈性中心。,超靜定拱,,,,返 回,47,由此可知，把剛臂端點引到彈性中心上，且 將X1、X3置于 x、y 軸方向上，就可以使全部副 系數(shù)都等于零。這一方法稱為彈性中心法。

33、此時 典型方程簡化為：,11X1+1P=0 22X2+2P=0 33X3+3P=0,計算系數(shù)和自由項時，仍可采用直桿的位移計算 公式：,超靜定拱,,,,返 回,48,712 兩鉸拱及系桿拱,兩鉸拱是一次超靜定結構，,,,P,,,,L,,,,f,當其發(fā)生豎向位移時并不引起內 力，故在地基可能發(fā)生較大的不 均勻沉陷時易采用。兩鉸拱的彎 矩在兩拱趾處為零而逐漸向拱頂 增大，所以其截面一般也相應設 計為由拱趾向拱頂逐漸增大的形 式。通常采用的變化規(guī)律為：,（715）,A,B,C,為計算方便，當 fL/4時，可采用,當跨度不大時，也常做成等截面。,I=Iccos,超靜定拱,,,,返 回,49,,,P,,

34、,,L,,,,f,A,B,C,,P,計算兩鉸拱時，通常采用簡 支曲梁為基本結構，以支座的水 平推力X1為多余未知力。,,,X1,典型方程為,11X1+1P=0,計算系數(shù)和自由項時，一般 略去剪力的影響，而軸力影 響僅 當fL/5 時才在11中予以考慮。 因此有,,x,,y,,,,,x,,,y,,,且,（716）,,超靜定拱,,,,返 回,50,有時為了避免支座承受推力，可采用帶拉桿的兩鉸拱，也稱系鉸拱。,,,拱的水平推力由系桿承受。 計算時以系桿的內力X1為 多余未知力。,,,,X1,,,,,x,,,y,,,典型方程為：,11X1+1P=0,計算11時，要考慮系桿軸 向變形的影響，即,EI、A,E1、A1,將,代入得,,超靜定拱,,,,返 回,51,713 超靜定結構的特性,超靜定結構與靜定結構對比，具有以下一些重要特性：,1.由于存在多余聯(lián)系，當結構受到荷載外其他因素 影響，如溫度變化、支座移動時結構將產(chǎn)生內力。,2.超靜定結構的內力僅由平衡條件不能全部確定， 必須考慮變形條件，因此內力與桿件的剛度有關。,3.超靜定結構的多余聯(lián)系被破壞后，仍能維持幾何 不變，故有較強的防御能力。,4.超靜定結構由于存在多余聯(lián)系，一般地說要比相 應的靜定結構剛度大些，內力分布也均勻些。,力 法,,,返 回,