第5章 測量誤差的基本知識

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1、 ?第5章 測量誤差的基本知識 本章提要 ??? 通過前幾章的學(xué)習(xí)，我們掌握了角度、距離和高差的測量方法，對測量過程和結(jié)果含有誤差也有了一定的感性認(rèn)識。本章集中講述有關(guān)測量誤差的基本知識，包括衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)、誤差傳播定律和直接觀測平差。 § 5.1? 觀測誤差概述 5.1.1? 觀測及觀測誤差 對未知量進(jìn)行測量的過程，稱之為觀測。測量所獲得的數(shù)值稱為觀測值。進(jìn)行多次測量時，觀測值之間往往存在差異。這種差異實(shí)質(zhì)上表現(xiàn)為觀測值與其真實(shí)值(簡稱為真值)之間的差異，這種差異稱為測量誤差或觀測誤差。用代表觀測值，設(shè)X代表真值，則有 ???? (5-1) 式中就是觀測誤差，通常稱為真

2、誤差，簡稱誤差。 一般情況下，只要是觀測值必然含有誤差。例如，同一人用同一臺經(jīng)緯儀對某一固定角度重復(fù)觀測若干測回，各測回的觀測值往往互不相等；同一組人員，用同樣的測距工具，對A、B兩點(diǎn)間的距離重復(fù)測量若干次，各次觀測值也往往互不相等。又如，平面三角形內(nèi)角和的真值應(yīng)等于180°，但三個內(nèi)角的觀測值之和往往不等于180°；閉合水準(zhǔn)線路中各測段高差之和的真值應(yīng)為0，但事實(shí)上各測段高差的觀測值之和一般不等于0。這些現(xiàn)象在測量實(shí)踐中是經(jīng)常發(fā)生的。究其原因，是由于觀測值中不可避免地含有觀測誤差的緣故。 5.1.2? 觀測誤差的來源 測量是觀測者使用某種儀器、工具，在一定的外界條件下進(jìn)行的。觀測誤差

3、來源于以下三個方面： 觀測者視覺鑒別能力和技術(shù)水平； 儀器、工具的精密程度； 觀測時外界條件的好壞。 通常我們把這三個方面綜合起來，稱為觀測條件。觀測條件將影響觀測成果的精度。 觀測誤差主要由儀器誤差、觀測者的誤差以及外界條件的影響組成。儀器誤差是指測量儀器構(gòu)造上的缺陷和儀器本身精密度的限制，致使觀測值含有一定的誤差。觀測者帶來的誤差是由于觀測者技術(shù)水平和感官能力的局限，致使觀測值產(chǎn)生的誤差。外界條件的影響是指觀測過程中不斷變化著的大氣溫度、濕度、風(fēng)力、透明度、大氣折光等因素給觀測值帶來的誤差。 一般認(rèn)為，在測量中人們總希望使每次觀測所出現(xiàn)的測量誤差越小越好，甚至趨近于零。但要真正

4、做到這一點(diǎn)，就要使用極其精密的儀器，采用十分嚴(yán)密的觀測方法，付出很高的代價。然而，在實(shí)際生產(chǎn)中，根據(jù)不同的測量目的，是允許在測量結(jié)果中含有一定程度的測量誤差的。因此，我們的目標(biāo)并不是簡單地使測量誤差越小越好，而是要設(shè)法將誤差限制在與測量目的相適應(yīng)的范圍內(nèi)。 5.1.3? 觀測誤差的分類及其處理方法 根據(jù)性質(zhì)不同，觀測誤差可分為粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差三種，即 ?? (5-2) 式中：—粗差； ????? —系統(tǒng)誤差； ????? —偶然誤差。 (1)粗差 粗差是一種大級量的觀測誤差，例如超限的觀測值中往往就含有粗差。粗差也包括測量過程中各種失誤引起的誤差。??? 粗差產(chǎn)生

5、的原因較多?？赡苡勺鳂I(yè)人員疏忽大意、失職而引起，如大數(shù)讀錯、讀數(shù)被記錄員記錯、照錯了目標(biāo)等；也可能是儀器自身或受外界干擾發(fā)生故障引起的；還有可能是容許誤差取值過小造成的。??? 在觀測中應(yīng)盡量避免出現(xiàn)粗差。發(fā)現(xiàn)粗差的有效方法是：進(jìn)行必要的重復(fù)觀測，通過多余觀測條件，采用必要而又嚴(yán)密的檢核、驗(yàn)算等。國家技術(shù)監(jiān)督部門和測繪管理機(jī)構(gòu)制定的各類測量規(guī)范，一般也能起到防止粗差出現(xiàn)和發(fā)現(xiàn)粗差的作用。 含有粗差的觀測值都不能使用。因此，一旦發(fā)現(xiàn)粗差，該觀測值必須舍棄并重測。 盡管我們十分認(rèn)真、謹(jǐn)慎，粗差有時仍然難免。因此，如何在觀測數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)和剔除粗差，或在數(shù)據(jù)處理中削弱粗差對觀測成果的影響，乃是測

6、繪界十分關(guān)注的課題之一。 (2)系統(tǒng)誤差 在一定的觀測條件下進(jìn)行一系列觀測時，符號和大小保持不變或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。 例如，水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸與管水準(zhǔn)器軸不平行對讀數(shù)的影響，經(jīng)緯儀的豎直度盤指標(biāo)差對豎直角的影響，地球曲率對測距和高程的影響，均屬系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差在觀測成果中具有累積性。??? 在測量工作中，應(yīng)盡量設(shè)法消除和減小系統(tǒng)誤差。方法有兩種：一是在觀測方法和觀測程序上采用必要的措施，限制或削弱系統(tǒng)誤差的影響，如角度測量中采取盤左、盤右觀測，水準(zhǔn)測量中限制前后視視距差等；另一種是找出產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因和規(guī)律，對觀測值進(jìn)行系統(tǒng)誤差的改正，如對距離觀測值進(jìn)行尺長改正、溫

7、度改正和傾斜改正，對豎直角進(jìn)行指標(biāo)差改正等。 (3)偶然誤差 ? 在一定的觀測條件下進(jìn)行一系列觀測，如果觀測誤差的大小和符號均呈現(xiàn)偶然性，即從表面現(xiàn)象看，誤差的大小和符號沒有規(guī)律性，這樣的誤差稱為偶然誤差。 產(chǎn)生偶然誤差的原因往往是不固定的和難以控制的，如觀測者的估讀誤差、照準(zhǔn)誤差等。不斷變化著的溫度、風(fēng)力等外界環(huán)境也會產(chǎn)生偶然誤差。 粗差可以發(fā)現(xiàn)并被剔除，系統(tǒng)誤差能夠加以改正，而偶然誤差是不可避免的，并且是消除不了的。它在消除了粗差和系統(tǒng)誤差的觀測值中占主導(dǎo)地位。從單個偶然誤差來看，其出現(xiàn)的符號和大小沒有一定的規(guī)律性，但對大量的偶然誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律性，并且誤差個數(shù)越多，

8、規(guī)律性越明顯。 例如某一測區(qū)在相同觀測條件下觀測了358個三角形的全部內(nèi)角。由于觀測值含有偶然誤差，故平面三角形內(nèi)角觀測值之和不一定等于真值180°。 由式(5—1)計(jì)算358個三角形內(nèi)角觀測值之和的真誤差，將真誤差取誤差區(qū)間＝3″，并按絕對值大小進(jìn)行排列，分別統(tǒng)計(jì)在各區(qū)間的正負(fù)誤差個數(shù)k，將k除以總數(shù)n(此處n=358)，求得各區(qū)間的k／n，k／n稱為誤差出現(xiàn)的頻率，結(jié)果列于表5-1。 ? ??偶然誤差的區(qū)間分布??? 表5-1 誤差區(qū)間 負(fù)誤差 正誤差 合計(jì) 個數(shù)k 頻率k/n 個數(shù)k 頻率k/n 個數(shù)k 頻率k/n 0″～3″ 45 40 33 2

9、3 17 13 6 4 0 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0 46 41 33 21 16 13 5 2 0 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0 91 81 69 44 33 26 11 6 0 0.254 0.227 0.184 0.123 0.092 0.072 0.031 0.017 0 3″～6″ 6″～9″ 9″～12″ 12″～15″ 15″～1

10、8″ 18″～21″ 21″～24″ ＞24″ 右側(cè)各列的和 181 0.505 177 0.495 358 1.000 從表5—l中可以看出，該組誤差的分布表現(xiàn)出如下規(guī)律：小誤差比大誤差出現(xiàn)的頻率高，絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的個數(shù)和頻率相近，最大誤差不超過24″。 統(tǒng)計(jì)大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，表明偶然誤差具有如下特性： 特性1? 在一定觀測條件下的有限個觀測中，偶然誤差的絕對值不超過一定的限值 特性2? 絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較大的誤差出現(xiàn)的頻率小。 特性3? 絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的頻率大致相等。 特性4? 當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時，偶然誤差平均值的

11、極限為0，即 ? (5-3) 本章此處及以后“[? ]”表示取括號中下標(biāo)變量的代數(shù)和，即。 用圖示方法可以直觀地表示偶然誤差的分布情況。用表5-1的數(shù)據(jù)，以誤差大小為橫坐標(biāo)，以頻率k／n與區(qū)間的比值為縱坐標(biāo)，如圖5-1所示。這種圖稱為頻率直方圖。 圖5—1? 頻率直方圖? 可以設(shè)想，當(dāng)誤差個數(shù)，同時又無限縮小誤差區(qū)間，圖5-1中各矩形的頂邊折線就成為一條光滑的曲線，如圖5-2所示。 5-2? 正態(tài)分布曲線 該曲線稱為誤差分布曲線，是正態(tài)分布曲線。其函數(shù)式為： ???????????? (5-4) 式中：π—圓周率； —自然對數(shù)的底； —誤差分布的標(biāo)準(zhǔn)差。 即正

12、態(tài)分布曲線上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為橫坐標(biāo)Δ的函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差的大小可以反映觀測精度的高低， 其定義為： ??????? (5-5)???? 在圖5—1中各矩形的面積是頻率k／n。由概率統(tǒng)計(jì)可知，頻率k／n就是真誤差出現(xiàn)在區(qū)間上的概率P(Δ)，記為： ????????? (5-6) 式(5-4)和式(5-6)中是誤差分布的概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)。 § 5.2? 衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn) 為了衡量觀測結(jié)果的精度優(yōu)劣，必須建立衡量精度的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。有了標(biāo)準(zhǔn)才能進(jìn)行比較。衡量精度的標(biāo)很多種，這里介紹以下主要的幾種。 5.2.1? 中誤差 由式(5—5)定義的標(biāo)準(zhǔn)差是衡量精度的一種標(biāo)準(zhǔn)，但

13、那是理論上的表達(dá)式。在測量實(shí)踐中觀測次數(shù)不可能無限多，因此實(shí)際應(yīng)用中，定義中誤差m作為衡量精度的一種標(biāo)準(zhǔn)： ?? (5-7) 在一組觀測值中，當(dāng)中誤差m確定后，可以繪出它所對應(yīng)的誤差正態(tài)分布曲線。在式(5—4)中，當(dāng)Δ＝0時，以中誤差m代替標(biāo)準(zhǔn)差是最大值。因此在一組觀測值中，當(dāng)小誤差比較集中時，m較小，則曲線的縱軸頂峰較高，曲線形狀較陡峭，如圖5—3中，表示該組觀測精度較高；的曲線形狀較平緩，其誤差分布比較離散，較大，表明該組觀測精度低。 如果令的二階導(dǎo)數(shù)等于0，可求得曲線拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)： ?? (5-8) 也就是說，中誤差的幾何意義即為偶然誤差分布曲線兩個拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 5.2

14、.2? 相對誤差 中誤差和真誤差都是絕對誤差。在衡量觀測值精度的時候，單純用絕對誤差有時還不能完全表達(dá)精度的優(yōu)劣。 例如，分別測量了長度為100m和200m的兩段距離，中誤差皆為±0.02m。顯然不能認(rèn)為兩段距離測量精度相同。此時，為了客觀地反映實(shí)際精度，必須引入相對誤差的概念。 相對誤差K是誤差m的絕對值與相應(yīng)觀測值D的比值。它是一個不名數(shù)，常用分子為1的分式表示： ????????????????????????? (5-9) 式中當(dāng)m為中誤差時，K稱為相對中誤差。在上述例中用相對誤差來衡量，就可容易地看出，后者比前者精度高。 在距離測量中還常用往返觀測值的相對較差來進(jìn)行檢核

15、。 相對較差定義為： ??? ?????（5-10） 相對較差是相對真誤差，它反映往返測量的符合程度。顯然，相對較差愈小，觀測結(jié)果愈可靠。 還應(yīng)該指出，用經(jīng)緯儀測角時，不能用相對誤差來衡量測角精度，因?yàn)闇y角誤差與角度大小無關(guān)。 5.2.3? 極限誤差和容許誤差 (1)?? 極限誤差 由偶然誤差的特性1可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。這個限值就是極限誤差。我們知道，標(biāo)準(zhǔn)差或中誤差是衡量觀測精度的一種指標(biāo)，它不能代表個別觀測值真誤差的大小，但從統(tǒng)計(jì)意義上來講，它們卻存在著一定的聯(lián)系。根據(jù)式(5-4)和式(5-6)有： ＜Δ＜????? (5-11)

16、 表示真誤差落在區(qū)間(-，+)內(nèi)的概率等于0.683。 同理可得： ＜Δ＜? (5-12) ＜Δ＜? (5-13) 上列三式結(jié)果的概率含義是：在一組等精度觀測值中，真誤差在±范圍以外的個數(shù)約占誤差總數(shù)的32％；在±2范圍以外的個數(shù)約占4.5％；在±3范圍以外的個數(shù)只占0.3％。 絕對值大于3的真誤差出現(xiàn)的概率很小，因此可以認(rèn)為±3是真誤差實(shí)際出現(xiàn)的極限，即3是極限誤差： ?? ?????(5—14) (2)容許誤差 測量實(shí)踐中，是在極限誤差范圍內(nèi)利用容許誤差對偶然誤差的大小進(jìn)行數(shù)量限制的。在實(shí)際應(yīng)用的測量規(guī)范中，常以2倍或3倍中誤差作為偶然誤差的容許值，稱為容許誤差。 ? 即

17、 ?? (5-15) 或 ??? ??(5-16) 前者要求較嚴(yán)，后者要求較寬。如果觀測值中出現(xiàn)了大于容許誤差的偶然誤差，則認(rèn)為該觀測值不可靠，應(yīng)舍去不用，并重測。 § 5.3? 誤差傳播定律 在實(shí)際測量工作中，有些量往往不是直接觀測值，而是通過其他觀測值間接求得的，這些量稱為間接觀測值。設(shè)Z是獨(dú)立變量的函數(shù)，即 ?? ???(5—17) 其中函數(shù)Z的中誤差為，各獨(dú)立變量對應(yīng)的觀測值中誤差分別為，如果知道了與之間的關(guān)系，就可以由各變量的觀測值中誤差來推求函數(shù)的中誤差。各變量的觀測值中誤差與其函數(shù)的中誤差之間的關(guān)系式，稱為誤差傳播定律。 ?設(shè) ?? (5-18) 式中：—

18、各獨(dú)立變量相應(yīng)的觀測值； — 的偶然誤差。 則 ? (5-19) 按泰羅級數(shù)展開，有： ?(5-20) 等式右邊第二項(xiàng)就是函數(shù)Z的誤差，即 ? (5-21) 又設(shè)各獨(dú)立變量都觀測了次，則其誤差的平方和為： ? (5-22) 由偶然誤差的特性4可知，當(dāng)觀測次數(shù)時，上式中的總和趨近于0，又根據(jù)式(5—7)有： ??????????????????????????????????????????????? ?(5-23) ??????????????????????????????????????????????? ?(5-24) 上兩式中 ?????????????

19、 ?(5-25) 或 ??????????? (5-26) 這就是一般函數(shù)的誤差傳播定律，利用它不難導(dǎo)出表5-2所列簡單函數(shù)的誤差傳播定律。 簡單函數(shù)的中誤差傳播公式?? 表5-2 (點(diǎn)擊圖片放大) ??? 誤差傳播定律在測繪領(lǐng)域應(yīng)用十分廣泛，利用它不僅可以求得觀測值函數(shù)的中誤差，而且還可以研究確定容許誤差值以及事先分析觀測可能達(dá)到的精度等，下面舉例說明應(yīng)用方法。 【例5-1】在1：5000地形圖上量得A、B兩點(diǎn)間的距離d=234.5mm，中誤差。求A、B兩點(diǎn)間的實(shí)地水平距離D及其中誤差。 解 D=Md=5000×234.5/1000=1172.5m，根據(jù)表5-2第1式， 。

20、 距離結(jié)果可以寫為D=1172.5m±1.0m。 【例 5-2】對一個三角形觀測了其中α、β兩個角，測角中誤差分別為按公式求得另一個角。試求角的中誤差。 解 根據(jù)公式5-2第2式，有： 【例 5-3】，觀測值D=225.85m±0.06m，=157°00′30″±20″。求的中誤差。 解 根據(jù)式(5-26)，有： ?? = = =±3.1cm 【例5-4】 水準(zhǔn)測量中，視距為75m時在標(biāo)尺上讀數(shù)的中誤差(包括照準(zhǔn)誤差，氣泡居中誤差及水準(zhǔn)尺刻劃誤差)。若以3倍中誤差為容許誤差，試求普通水準(zhǔn)測量觀測n站所得高差閉合差的容許誤差。 解 普通水準(zhǔn)測量每站測得高差，則每站

21、觀測高差的中誤差為： 觀測n站所得高差，高差閉合差為已知值(無誤差)。則閉合差的中誤差為： ? 以3倍中誤差為容許誤差，則高差閉合差的容許誤差為： 【例 5-5】試用誤差傳播定律分析視線傾斜時視距測量的精度。 解 ①測量水平距離的精度分析 根據(jù)視距測量原理，有視線傾斜時的視距公式，則： ?? 所以水平距離D的中誤差為： = 由于根式內(nèi)第二項(xiàng)的值很小，為了方便討論可以將其略去。則有： 式中：—視距離隔的讀數(shù)中誤差，因=下絲讀數(shù)-上絲讀數(shù)，故 —上、下絲讀數(shù)的中誤差。 由生理實(shí)驗(yàn)可知，人的肉眼當(dāng)視角小于1′時分辨不出兩個點(diǎn)?？梢娙搜鄣目煞直嬉暯菫?

22、0″。當(dāng)測量儀器的望遠(yuǎn)鏡放大倍率為24倍，通過望遠(yuǎn)鏡來觀測時，可達(dá)到的分辨視角。因此，上、下絲讀數(shù)的誤差為，以它作為讀數(shù)的中誤差代入上式后可得： 于是 當(dāng)很小時，上式可寫為： 則相對中誤差為： 考慮到其他因素的影響，可以認(rèn)為視距測量的距離精度可達(dá)1/300。 ②測量高差的精度分析 根據(jù)視距測量的高差主值計(jì)算公式，有 ??? 則高差主值的中誤差為： 根式中前一項(xiàng)，當(dāng)D=100m時，，很小，故略去。于是 當(dāng)角不大時，，可將上式改寫為： 若，則。即視距測量每100m距離對應(yīng)的高差主值的中誤差為±3cm，誤差的最大值可達(dá)±9cm。 § 5.4? 等

23、精度直接觀測平差 除了標(biāo)準(zhǔn)實(shí)體，自然界中任何單個未知量(如某一角度，某一長度等)的真值都是無法確知的，只有通過重復(fù)觀測，才能對其真值作出可靠的估計(jì)。在測量實(shí)踐中，重復(fù)測量的目的還在于提高觀測成果的測量，同時也為了發(fā)現(xiàn)和消除粗差。 重復(fù)測量形成了多余觀測，加之觀測值必然含有誤差，這就產(chǎn)生了觀測值之間的矛盾。為了消除這種矛盾，就必須依據(jù)一定的數(shù)據(jù)處理準(zhǔn)則，采用適當(dāng)?shù)挠?jì)算方法，對有矛盾的觀測值加以必要而又合理的調(diào)整，給以適當(dāng)?shù)母恼?，從而求得觀測量的最佳估值，同時對觀測進(jìn)行質(zhì)量評估。人們把這一數(shù)據(jù)處理的過程稱作“測量平差”。 在相同條件下進(jìn)行的觀測是等精度觀測，所得到的觀測值稱為等精度觀測值。

24、如果觀測所使用的儀器精度不同，或觀測方法不同，或外界條件差別較大，不同觀測條件下所獲得的觀測值稱為不等精度觀測值。? 對一個未知量的直接觀測值進(jìn)行平差，稱為直接觀測平差。根據(jù)觀測條件，有等精度直接觀測平差和不等精度直接觀測平差。平差結(jié)果是得到未知量最可靠的估值，最接近其真值，稱為“最或是值”。 5.4.1? 求最或是值 在等精度直接觀測平差中，觀測值的算術(shù)平均值是未知量的最或是值。 設(shè)對某量進(jìn)行了n次等精度觀測，其觀測值為，該量的真值為X，各觀測值的真誤差為。由于真值X無法確知，測量上取n次觀測值的算術(shù)平均值為最或是值，以代替真值。即 ??????????????????? ??

25、?(5-27) 觀測值與最或是值之差，稱為“最或是誤差”，用符號來表示。 ? ?????????????????????(5-28) 當(dāng)n個最或是誤差相加，有： ????????????????????????????? (5-29) 即最或是誤差的總和為0。式(5-29)可以用作計(jì)算中的檢核，若值計(jì)算無誤，其總和必然為0。顯然，當(dāng)觀測次數(shù)時，。 5.4.2 評定精度 (1)觀測值中誤差 由于獨(dú)立觀測中單個未知量的真值X是無法確知的，因此真誤差也是未知的。所以不能直接應(yīng)用式(5—7)求得中誤差。但可以用有限個等精度觀測值求出最或是值后，再按公式(5—28)計(jì)算最或是誤差，用最

26、或是誤差計(jì)算觀測值的中誤差。其公式推導(dǎo)如下： 對未知量經(jīng)n次等精度觀測，得觀測值，則真誤差 ? ???????(5-30) 最或是誤差如式(5-28)，式(5-28)與式(5-30)相減得： ?? ??(5-31) 令，則 ? ???(5-32) 對式(5-32)兩端取平方和： ?? (5-33) 因，又有 根據(jù)偶然誤差特性4，當(dāng)時，上式等號右邊的第二項(xiàng)趨近于0，故 于是有 即 ??? (5-34) 式(5-34)是等精度觀測中用最或是誤差計(jì)算中誤差的公式。 【例 5-6】對某角進(jìn)行了5次等精度觀測，觀測結(jié)果列于表5-3。試求其觀測值的中誤差。

27、 等精度直接觀測平差計(jì)算?????? 表5-3 觀測值 最或是誤差 +3 0 +1 -3 -1 9 0 1 9 1 解? 根據(jù)式(5-27)和式(5-28)計(jì)算最或是值、最或是誤差，利用式(5-29)進(jìn)行檢核，計(jì)算結(jié)果列于表5-3中。觀測值的中誤差為： （觀測值的中誤差） ?(2)最或是值的中誤差 設(shè)有某量進(jìn)行n次等精度觀測，觀測值為，中誤差為m。最或是值的中誤差M的計(jì)算公式推導(dǎo)如下： ?????????????????? (5-35) 根據(jù)誤差傳播定律，有： ??????? (5-36) 所以： ? ????????????

28、?????????????????????(5-37) 顧及式(5-34)，算術(shù)平均值的中誤差也可表達(dá)如下： ??????????????????????????? (5-38) 【例 5-7】計(jì)算例5-6的最或是值的中誤差。 解 利用式(5-37)得 ?（算術(shù)平均值的中誤差）????? 從公式(5—37)可以看出，算術(shù)平均值的中誤差與觀測次數(shù)的平方根成反比。因此增加觀測次數(shù)可以提高算術(shù)平均值的精度。當(dāng)觀測值的中誤差時，算術(shù)平均值的中誤差M與觀測次數(shù)n的關(guān)系如圖5—4所示。由圖可以看出，當(dāng)n增加時，M減小。但當(dāng)觀測次數(shù)n達(dá)到一定數(shù)值后(如n＝10)，再增加觀測次數(shù)，工作量增加，但

29、提高精度的效果就不太明顯了。故不能單純以增加觀測次數(shù)來提高測量成果的精度，應(yīng)設(shè)法提高觀測值本身的精度。例如，使用精度較高的儀器、提高觀測技能、在良好的外界條件下進(jìn)行觀測等。 § 5.5? 不等精度直接觀測平差 在對某一未知量進(jìn)行不等精度觀測時，各觀測值的中誤差也不相同，各觀測值便具有不同的可靠性。因此，在求未知量的最可靠估值時，就不能像等精度觀測那樣簡單地取算術(shù)平均值，因?yàn)檩^可靠的觀測值，應(yīng)對最后結(jié)果產(chǎn)生較大的影響。 不等精度觀測值的可靠性，可用稱為觀測值“權(quán)”的數(shù)值來表示。“權(quán)”是權(quán)衡輕重的意思，觀測值的精度愈高，其權(quán)愈大。例如，設(shè)對某一未知量進(jìn)行了兩組不等精度觀測，但每組內(nèi)各觀

30、測值是等精度的。設(shè)第一組觀測了4次，其觀測值為；第二組觀測了3次，觀測值為。這些觀測值的可靠程度都相同，每組分別取算術(shù)平均值作為最后觀測值，即 ??? ??????????????(5-39) 對觀測值來說，彼此是不等精度觀測，故最后結(jié)果應(yīng)為： ????????????????????? (5-40) 上式的計(jì)算實(shí)際是： ??????????????????????? ??????????(5-41) 從不等精度觀測平差的觀點(diǎn)來看，觀測值是4次觀測值的平均值，是3次觀測值的平均值，和的可靠性不一樣，可取4、3為其相應(yīng)的權(quán)，以表示、可靠程度的差別。分析式(5—41)，分子、分母乘以同

31、一常數(shù)，最后結(jié)果不變。因此，權(quán)只有相對意義，起作用的不是它們的絕對值，而是它們之間的比值，權(quán)通常用字母表示，且恒取正值。 5.5.1? 權(quán)與中誤差的關(guān)系 一定的中誤差，對應(yīng)著一個確定的誤差分布，即對應(yīng)著一定的觀測條件。觀測值的中誤差愈小，其值愈可靠，權(quán)就愈大。因此，可以根據(jù)中誤差來定義觀測值的權(quán)。 設(shè)n個不等精度觀測值的中誤差分別為，則權(quán)可以用下式來定義： ???????????????? ?(5-42) 其中可取為任意正常數(shù)。 前面所舉的例子，和是等精度觀測值，觀測值的中誤差為m，則第1組的算術(shù)平均值的中誤差，可以根據(jù)式(5-37)得： 同理，可得第2組算術(shù)平均值的中誤差

32、為： 在式(5-42)中分別代入和，得： ： ： 若取，則、的權(quán)分別為。 【例 5-8.】 設(shè)以不等精度觀測某角度，各觀測值的中誤差分別為。求各觀測值的權(quán)。 解? 由式(5-42)可得： ???? ?????? 若取則。 若取則。 若取=9則p1=4/81 p2=9 p3=9/4 選擇適當(dāng)?shù)闹悼梢允箼?quán)成為便于計(jì)算的數(shù)值。 【例 5-9】對某一角度進(jìn)行了n次觀測，求算術(shù)平均值的權(quán)。 解 設(shè)一測回角度觀測值的中誤差為m。上式(5-37)，算術(shù)平均值的中誤差為。 由權(quán)的定義并設(shè) ，則一測回觀測值的權(quán)為： 算術(shù)平均值的權(quán)為： 由例5-9可知，取一測回角度

33、觀測值之權(quán)為1，則n個測回觀測值的算術(shù)平均值的權(quán)為n。故角度觀測的權(quán)與其測回數(shù)成正比。在不等精度觀測中引入“權(quán)”的概念，可以建立各觀測值之間的精密比值，以便更合理地處理觀測數(shù)據(jù)。 例如，設(shè)每一測回的觀測值的中誤差為，其權(quán)為，并設(shè)，則有： ???????????????????????????? (5-43) 等于1的權(quán)稱為單位權(quán)，而使權(quán)等于1的中誤差稱為單位權(quán)中誤差，一般用(或μ)表示。對于中誤差為的觀測值，其權(quán)為： ??????????????????????????????? (5-44) 相應(yīng)的有中誤差的另一表達(dá)式： ??????????????????????????? (

34、5-45) 5.5.2? 加權(quán)平均值及其中誤差 對同一未知量進(jìn)行了n次不等精度觀測，觀測值為，其相應(yīng)的權(quán)為，則加權(quán)平均值為不等精度觀測值的最或是值，計(jì)算公式可寫為： ? ?????????????????????????(5-46) ? 或 ??????? ??????????????????????????????????????(5-47) 校核計(jì)算方式為： ???????????????????????????????????????? (5-48)??? 其中 為最或是誤差。 下面計(jì)算加權(quán)平均值的中誤差。 由式(5-47)，根據(jù)誤差傳播定律，可得的中誤差為：

35、????????????? (5-49) 式中：為 的中誤差。 根據(jù)權(quán)的定義公式(5-42)和式(5-44)有 ，所以 ? ?????????????????????????????????????(5-50)??? 實(shí)際上常用最或是誤差來計(jì)算中誤差。與式(5-38)類似，有： ????????????????????????????????? (5-51) ?????????????????????????????? (5-52) 【例 5-10】 在水準(zhǔn)測量中，從三個已知高程點(diǎn)A、B、C出發(fā)測得E點(diǎn)的三個高程觀測值及各水準(zhǔn)路線的長度。求E點(diǎn)高程的最或是值及其中誤差。 解

36、取路線長度的倒數(shù)乘以常數(shù)C為觀測值的權(quán)，并令C=1，計(jì)算在表5-4中進(jìn)行。 不等精度直接觀測平差計(jì)算???????????????????????? 表5-4 測段 高程觀測值 路線長度 權(quán) 最或是誤差 A～E B～E C～E 42.347 42.320 42.332 4.0 2.0 2.5 0.25 0.50 0.40 17.0 -10.0 2.0 4.2 -5.0 0.8 71.4 50.0 1.6 ? ? ? ? 根據(jù)式(5-46)，E點(diǎn)高程的最或是值為： 根據(jù)式(5-51)，單位權(quán)中誤差為： 根據(jù)式(5-52)或式(5-45)，最或是值的中誤差為： 。