《特征值和特征向量》PPT課件.ppt

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1、第五章 矩陣的特征值和特值向量 1 矩陣的特征值和特征向量 矩陣的特征值和特征向量是矩陣?yán)碚撝兄匾獋€概念之 一 , 它有著廣泛的應(yīng)用 . 本章將引進特征值和特征向量的 概念及其計算 . 并給出將矩陣對角化的方法 . 一 . 定義和求法 定義 5.1 設(shè) A是 n階方陣 , 如果數(shù) 0和 n維非零列向量 滿足關(guān)系式 A=0 則稱 0為 A的特征值 , 為 A的屬于 0的一個特征向量 . 如果 A是奇異矩陣 (|A|=0), 則齊次線性方程組 Ax=0 有非零解 , 若記 為 Ax=0的非零解 , 則有 可見 , 0=0為奇異矩陣 A的特征值 , 方程組 Ax=0的非零解 都是 A的屬于特征值 0

2、=0的特征向量 . A=0=0 一般地 , 由 A=0 可得 (0E A)=0 可見 , 是 n元齊次線性方程組 (0E A)x=0 的非零解 . 所以有 |0E A|=0. 定義 5.2 設(shè) A是 n階方陣 , 是參數(shù) , 則行列式 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 12 d e t( ) n n n n n n a a a a a a a a a E - A 稱為方陣 A的特征多項式 . 稱 det(E A)=0為方陣 A的 特 征方程 . A的特征值就是特征方程的解 , n階方陣 A有 n個特征值 . A的屬于特征值 i的特征向量就是齊次線性方程組 (E A)x=0 的所有非零解

3、. 的特征值和特征向量 . 解 A的特征多項式為 2 1 0 1 2 0 1 3 1 =(-1)(-2)2-1=(-1)2(-3) 所以 A的特征值為 1=2=1, 3=3. 對 1=2=1, 解方程 (E-A)x=0, 由于 131 021 012 A 例 1 求矩陣 所以 k1(k0) 是屬于 1=2=1的全部 特征向量 . 對 3=3, 解方程 (3E-A)x=0, 由于 1 1 0 3 1 1 0 1 3 2 EA 000 110 101 得同解方程 : 32 31 xx xx , 基礎(chǔ)解系為 2=(-1, 1, 1)T. 所以 k2(k0) 是屬于 3=3的全部 特征向量 . , 基

4、礎(chǔ)解系為 1=(0,0,1)T. 0 0 2 1 x x得同解方程 : 1 1 0 1 1 0 1 3 0 EA 000 010 001 的特征值和特征向量 . 解 A的特征多項式為 2 1 0 1 2 0 1 1 1 =(-1)(-2)2-1=(-1)2(-3) 所以 A的特征值為 1=2=1, 3=3. 對 1=2=1, 解方程 (E-A)x=0, 由于 111 021 012 A 例 2 求矩陣 所以屬于 1=2=1的全部 特征向量為 K11+k22 (k1,k2 不同時為 0) 對 3=3, 解方程 (A-3E)x=0, 由于 1 1 0 3 1 1 0 1 1 2 EA 000 11

5、0 101 得同解方程 : 32 31 xx xx , 基礎(chǔ)解系為 3=(1, -1, 1)T. 所以 k3(k0) 是屬于 3=3的全部 特征向量 . , 基礎(chǔ)解系為 1=(1,1,0)T, 2=(0,0,1)T. 21 xx 得同解方程 : 1 1 0 1 1 0 1 1 0 EA 000 000 011 設(shè)方陣 A可逆 , 且 是 A的特征值 , 證明 1/ 是 A-1 的特征值 . 例 3 證 首先證明 0. 用反證法 : 假設(shè) =0 是 A的特征 值 , 則 再設(shè) 是 A對應(yīng)特征值 的特征向量 , 則 A= A-1 =1/ 所以 1/ 是 A-1的特征值 , 而且與 A有相同的特征向

6、量 . 類似地 , 若 是 A的特征值 , 則 k是 Ak的特征值 . 0E - A=-A=0 , 這與 A可逆矛盾 , 故 0. 一般地 , 若 是 A的特征值 ,則 ()=a 0+a1+ +amm 是 (A)=a0E+a1A+ +amAm的特征值 . 解 由于 因此 A*必有特征值： 1 所以， A*= A 1 *1 | 1 AA AA 故，應(yīng)選 “ B”。 二 . 特征值和特征向量的性質(zhì) 由于 =n-(a11+a22+ +ann)n-1+ +(-1)n|A| 利用多項式方程根與系數(shù)的關(guān)系可得 : 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 12 d e t( ) n n n n n n a

7、a a a a a a a a E - A 定理 5.1 設(shè) 1,2, ,n是 n階方陣 A 的全部特征值 , 則 1+2+ +n=a11+a22+ +ann 12 n=detA 定理 5.2 設(shè) 1, 2, , s是方陣 A 的互異特征值 , 1, 2, , s是分別屬于它們的特征向量 , 那么 1, 2, , s線性 無關(guān) . 證明 設(shè) x11+x22+ +xss=0 類似地有 : 則 , A(x11+x22+ +xss)=0, 即 1x11+2x22+ +sxss=0 1kx11+2kx22+ +skxss=0 (k=0,1, ,s-1), 即 1 11 1 22 1 1 2 2 1 1

8、 1 ( , , . . . , ) ( ) 1 s s ss s ss x x x 0 , 0 , , 0 所以有 (x11, x22, , xss)=(0, 0, , 0) 定理 5.3 設(shè) 1, 2是 A 的兩個互異特征值 , 1, 2, , s 和 1, 2, , t分別是屬于 1, 2的線性無關(guān)的特征向量 , 則 1, 2, , s, 1, 2, , t線性無關(guān) . 即 , xjj=0, 但 j0, 故 xj=0, (j=1,2, ,s) 所以向量組 1, 2, ,s線性無關(guān) . 證明 設(shè) k11+k22+ +kss+l11+l22+ +ltt=0 若 =k11+k22+ +kss

9、0, =l11+l22+ +ltt0 則 +=0, 而 , 分別是屬于 1, 2的特征向量 , 矛盾 . 所以 =0, 即 k1=k2= =ks=l1=l2= =lt=0, 線性無關(guān) . 例 4 解 由于 A的特征值都不為 0, 故 A可逆 . 而 |A|=-2 于是 A*=AA-1=-2A-1. 于是 設(shè) 3階方陣 A的特征值為 1, -1, 2, 求 |A*+3A-2E|. A*+3A-2E=-2A-1 +3A-2E=(A) (A)的 3個特征值為 : (1)=-1, (-1)= -3, (2)=3, 于是 |A*+3A-2E|=|(A)|=(-1)(-3)3=9 對 A進行運算 P-1A

10、P=B稱為對 A進行 相似變換 , 可逆矩陣 P稱為把 A 變成 B 的 相似變換矩陣 . 2 相 似 矩 陣 定義 5.3 設(shè) A ,B都是 n階方陣 , 若存在可逆矩陣 P, 使 一 . 相似矩陣的定義和性質(zhì) 矩陣的相似關(guān)系具有下述性質(zhì) : ( ) 反身性 : AA; ( ) 對稱性 : 若 AB, 則 BA; ( ) 傳遞性 : 若 AB, BC, 則 AC. P-1AP=B 則稱 B是 A的 相似矩陣 , 或說矩陣 A與 B相似 . A與 B相似記作 AB. 定理 5.4 相似矩陣有相同的特征多項式 , 因此也有相 同的特征值 . 證 若矩陣 A與 B相似 , 則存在矩陣 P, 使 P

11、-1AP=B , 故 注意 : 定理 6.4的逆命題不成立 . 例如矩陣 E - B=P-1(E)P- P-1AP=P-1(E - A)P =P-1E - AP=E -A 1 0 1 1 0 1 0 1 和 的特征多項式都是 (-1)2, 但它們不相似 . 二 . 與對角矩陣相似的條件 假設(shè) n階方陣 A與對角矩陣 相似 . 也就是存在可逆矩陣 P, 使得 1 2 n P-1AP= 即 AP=P 記 P=(1, 2, , n), 則有 (A1, A2, , An)=(11, 22, , nn) 即 可見 , 矩陣 A與對角矩 陣相似 , 則 A有 n個線性無關(guān)的特征向量 . Ai=ii , i

12、=1,2, ,n 因為矩陣 P可逆 , 所以 1, 2, , n線性無關(guān) , 故 i0, 于是 i 是矩陣 A屬于特征值 i的特征向量 . 反之 , 設(shè) A有 n個線性無關(guān)的特征向量 1, 2, , n, 且 Ai=ii , i=1,2, ,n, 令 P=(1, 2, , n), 則 P可逆 , 且 AP=(A1, A2, , An)=(11, 22, , nn)=P 即 , P-1AP=, 也就是說矩陣 A與對角矩陣相似 . 定理 5.5 n階矩陣 A與對角矩陣相似的充分必要條件 是矩陣 A有 n個線性無關(guān)的特征向量 . 可見 , 前面的分析不但證明了定理 5.5, 還給出了相似 變換矩陣

13、P和對角矩陣 的求法 . 例如例 1中的矩陣 沒有 3個線性無關(guān)的特征向量 , 故 A不與對角矩陣相似 . 131 021 012 A 而例 2中的矩陣 111 021 012 A 由于其 3個特征值為 1=2=1, 3=3. 對應(yīng)的特征向量 : 1=(1,1,0)T, 2=(0,0,1)T, 3=(1, -1, 1)T線性無關(guān) , 所以 取相似變換矩陣 P=(1, 2, 3)= 可求得 P的逆矩陣為 1 0 1 1 0 - 1 0 1 1 與 A相似的對角矩陣為 -1 = P A P 1 1 1 0 1 1 1 2 2 1 1 0 P 1 1 0 2 1 0 1 0 1 1 1 1 2 1

14、2 0 1 0 1 2 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 3 解 由于 所以，應(yīng)選 “ A”. 2 3 1 231231 ),(),( A 推論 若 n階矩陣 A有 n個互異特征值 , 則 A與對角矩陣 相似 . 若 A= P-1P, 則有 : 注意 , 若矩陣 A與對角矩陣 相似 , 則 的對角線元素 恰是 A的 n個特征值 , 故如不計對角線上元素的順序 , 則與 A相似的對角矩陣是唯一的 . Ak=P-1 k P, (A)=P-1( )P 而且有 : k n k k k 2 1 n , 2 1 例 5 設(shè) 5 3 0 6 4 0 2 1 1 A 求 A50. 解 矩陣 A的特征

15、多項式為 =(+1) 2( -2) 5 3 0| 6 4 0 2 1 1 E - A | 可見 , A的特征值是 1= 2=-1, 3=2. 對于特征值 1= 2=-1, 由于 6 3 0 6 3 0 2 1 0 - E - A 2 1 0 0 0 0 0 0 0 所以 , 齊次線性方程組 (-E-A)x=0的一個基礎(chǔ)解系為 : 1=(1, 2, 0)T, 2=(0, 0, 1)T. 1, 2就是屬于 特征值 1= 2=-1的線性無關(guān)的特征向量 . 可見屬于特征值 3=2的一個特征向量為 3=(3, 3, 1)T. 對于特征值 3=2, 由于 330 660 2 1 3 2E - A 1 0

16、3 0 1 3 0 0 0 令 1 0 3 2 0 3 0 1 1 1 2 3P = ( , , )= 則有 所以有 即 3 3 0 5 3 0 1 0 3 1 2 1 3 6 4 0 2 0 3 3 2 1 0 2 1 1 0 1 1 -1P A P 1 0 0 0 1 0 0 0 2 -1A P P 50 1 0 0 0 1 0 0 0 2 50 - 1A P P 51 50 51 50 50 5021 33 2 1 1 2 0 2 2 2 2 0 ( 2 1 ) ( 1 2 ) 1 1 0 0 0 1 0 0 0 2 定理 5.6 設(shè) 0是 n階矩陣 A的 k重特征值 , 則屬于 0的

17、線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)不大于 k. 令 P=(1, 2, , n), 則 P可逆 , 而且有 證明 設(shè) 1, 2, , t是 屬于 0的線性無關(guān)的特征向量 . 則存在向量 t+1, t+2, , n使 1, 2, , n線性無關(guān) . AP=(01, 02, , 0t, At+1, At+2, , An) 由于 1, 2, , n線性無關(guān) , 所以 At+1, At+2, , An都能由 1, 2, , n線性表示 , 所以可以令 AP=(01, 02, , 0t, At+1, At+2, , An) 0 11 21 1 0 12 22 2 0 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1

18、2 2 2 2 12 ( , , , , , , ) nt nt t t n tt t t t n t t n tt t t n tt n n n tn c c c c c c c c c c c c c c c c c c 11 2 C 0C P PB 即矩陣 A與 B相似 . 所以 , A與 B有相同的特征多項式 , 即 1 11 22 E C 0 E C 因此 , 0的重數(shù) kt. |E-A|=|E-B| 1 1 2 2E EC 0 t 22EC 推論 矩陣 A與對角矩陣相似的充分必要條件是 , 對 A 的任意特征值 0(重數(shù)為 k), 屬于 0的線性無關(guān)的特征向量 必有 k個 . 也就

19、是 R(0E-A)=n-k. 3 實對稱矩陣的相似對角化 一 . 實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì) 設(shè)矩陣 A=(aij), 用 aij表示 aij的共軛復(fù)數(shù) , 記 A=(aij ) 稱 A為 A的共軛矩陣 . 顯然 , A為實矩陣時 ,A=A. 共軛矩陣具有下列性質(zhì) : ( 1 ) ;_A + B = A + B _( 2 ) ,A = A 其中 是常數(shù) ; ( 3 ) ;_A B = A B ( 4 ) ;TT _ A = A 定理 5.7 實對稱矩陣的特征值都是實數(shù) . 證 設(shè) 為實對稱矩陣 A的特征值 , 是屬于 的特征 向量 , 則有 由于 AT=A,A=A, 故有 , T T

20、T A = ()T T T A = A _ T(A ) T 于是 有 ( ) 0T 由于 0, 所以 T0, 因此 , 即 是實數(shù) . 顯然 , 實對稱矩陣的特征向量都可以取為實向量 . 定理 5.8 實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量 是正交的 . 證 設(shè) 1, 2是實對稱矩陣 A的特征值 , 1, 2分別 是 屬于它們的特征向量 , 則有 而且 由于 12, 所以 2T1=0, 即 1, 2正交 . 1 1 1TT22 A = 11T T T22 A = A 21() T=A 2 2 1 T= 于是 1 2 2 1( ) 0 T = 二 . 實對稱矩陣正交相似于對角矩陣 定理 5.9 設(shè)

21、 A是實對稱矩陣 , 則必存在正交矩陣 Q, 使 得 Q-1AQ=QTAQ為對角矩陣 . 證 n=1時顯然成立 , 設(shè)對 n-1階矩陣定理結(jié)論成立 . 于是有 再取 2, 3, , n 使 1, 2, , n為 Rn的一組規(guī)范正交基 . 取 n階實對稱矩陣 A的任一特征值 1, 和屬于 1的特征向量 1, (取 1為單位向量 ). A(1, 2, , n )=(11, A2, , An) =(1, 2, , n ) 1 C 0B 0 記 Q1=(1, 2, , n) , 則 Q1為正交矩陣 , 且有 B是 n-1階實對稱矩陣 , 由假設(shè) , 存在 n-1階正交矩陣 P, 使得 取 n階正交矩陣

22、 1 0 0B Q1-1AQ1= 2 3 n -1 P BP 1 2 0Q 0P 則有 即 , Q2-1 Q1-1AQ1Q2=Q2T Q1TAQ1Q2為對角矩陣 . 只要取 Q=Q1Q2是正交矩陣 , 定理結(jié)論成立 . 1 21 n T 22 0 QQ 0B 推論 設(shè) 0是實對稱矩陣 A的 k重特征值 , 則屬于 0的 線性無關(guān)的特征向量恰有 k個 , 也即 R(0E-A)=n-k. 三 . 實對稱矩陣正交相似對角化的方法 用正交矩陣化實對稱矩陣為對角矩陣的步驟如下 : (1) 求出 A的全部特征值 ; (2) 對每個特征值 , 若其重數(shù)為 k, 求出其 k個線性無 關(guān)的特征向量 . (5)

23、寫出對角矩陣 . (3) 將求出的 k個線性無關(guān)的特征向量規(guī)范正交化 . (4) 用求出的 n個規(guī)范正交的特征向量構(gòu)造正交矩陣 . 例 6 設(shè) 1 2 4 2 1 4 4 4 7 A 求一個正交矩陣 Q, 使 Q-1AQ為對角矩陣 . 解 先求 A的所有特征值 1 2 4 2 1 4 4 4 7 得特征值 1= 2=-1, 3=11. 1 1 4 2 1 4 4 0 7 det(E-A) 3 0 8 2 1 4 4 0 7 =(+1)(2-10-11)=(+1)2(2-11) 對 1= 2=-1, 由于 所以方程組 (-E-A)x=0等價于 x1+x2+2x3=0, 一基礎(chǔ)解系為 224 -

24、E - A 2 2 4 4 4 8 再單位化得 : 1=(-1, 1, 0)T, 2=(-2, 0, 1)T, 1 1 2 0 0 0 0 0 0 1=1=(-1, 1, 0)T, 1= 1/| 1 | 將其正交化得 : 2=2-(2T 1/ 1T1)1=2-1=(-1, -1, 1)T, 11= , , 0 22 T , 2= 2/| 2 | 1 1 1 = , , 3 3 3 T 對 3=11, 由于 所以方程組 (11E-A)x=0的一個基礎(chǔ)解系為 3= (1, 1, 2)T, 1 0 2 4 1 1 E - A 2 1 0 4 4 4 4 所以得正交矩陣 : Q=(1, 2, 3) 1

25、 2 1 2 1 0 - 0 1 - 0 0 0 將其單位化得 : 3= 3/| 3 | 1 1 2 = , , 666 T 1 1 1 2 3 6 1 1 1 2 3 6 12 36 = 0 而且 , QTAQ=diag(-1, -1, 11). 2 1 , = - 2 5 注意 :方程組 x1+x2+2x3=0的基礎(chǔ)解系可直接取為 : 再如 , 方程組 x1-2x2-x3=0的基礎(chǔ)解系可直接取為 : 1 2 1 1 2 - = 0 這樣 , 就不需要再進行規(guī)范正交化了 . 1 3 1 2 3 1 3 ,= - 2 5 1 1 5 = 0 1 30 2 2 30 5 30 , = - 習(xí)題五 第 117頁 6， 8， 9， 10， 14， 16， 17， 18， 20， 22 作 業(yè)