三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及推導(dǎo)

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1、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式：所謂三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，就是將角n(π/2)α的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角α的三角函數(shù)。 常用公式：公式一： 設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等： sin（2kπ+α）=sinα （k∈Z） cos（2kπ+α）=cosα （k∈Z） tan（2kπ+α）=tanα （k∈Z） cot（2kπ+α）=cotα（k∈Z） 公式二： 設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（π+α）=－sinα cos（π+α）=－cosα tan（π+α）= tanα cot（π+α）=cotα 公式三： 任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系

2、： sin（－α）=－sinα cos（－α）= cosα tan（－α）=－tanα cot（－α）=－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（π－α）= sinα cos（π－α）=－cosα tan（π－α）=－tanα cot（π－α）=－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（2π-α）=－sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）=－tanα cot（2π-α）=－cotα 公式六： π/2α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（π

3、/2+α）=cosα sin（π/2－α）=cosα cos（π/2+α）=－sinα cos（π/2－α）=sinα tan（π/2+α）=－cotα tan（π/2－α）=cotα cot（π/2+α）=－tanα cot（π/2－α）=tanα 推算公式：3π/2 α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（3π/2+α）=－cosα sin（3π/2－α）=－cosα cos（3π/2+α）=sinα cos（3π/2－α）=－sinα tan（3π/2+α）=－cotα tan（3π/2－α）=cotα cot（3π/2+α）=－tanα cot（3π/

4、2－α）=tanα 　誘導(dǎo)公式記憶口訣：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”。 “奇、偶”指的是π/2的倍數(shù)的奇偶，“變與不變”指的是三角函數(shù)的名稱的變化：“變”是指正弦變余弦，正切變余切。（反之亦然成立）“符號(hào)看象限”的含義是：把角α看做銳角，不考慮α角所在象限，看n(π/2)α是第幾象限角，從而得到等式右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào)。以cos（π/2+α）=－sinα為例，等式左邊cos（π/2+α）中n=1，所以右邊符號(hào)為sinα，把α看成銳角，所以π/2<（π/2+α）<π，y=cosx在區(qū)間（π/2，π）上小于零，所以右邊符號(hào)為負(fù)，所以右邊為－sinα。 符號(hào)判斷口訣： 全,S,T,C,正。這五個(gè)

5、字口訣的意思就是說(shuō)：第一象限內(nèi)任何一個(gè)角的四種三角函數(shù)值都是“+”；第二象限內(nèi)只有正弦是“+”，其余全部是“-”；第三象限內(nèi)只有正切和余切是“+”，其余全部是“-”；第四象限內(nèi)只有余弦是“+”，其余全部是“-”。 也可以這樣理解：一、二、三、四指的角所在象限。全正、正弦、正切、余弦指的是對(duì)應(yīng)象限三角函數(shù)為正值的名稱?？谠E中未提及的都是負(fù)值。 “ASTC”反Z。意即為“all(全部)”、“sin”、“tan”、“cos”按照將字母Z反過(guò)來(lái)寫(xiě)所占的象限對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)為正值。 另一種口訣：正弦一二切一三，余弦一四緊相連，言之為正。 推導(dǎo)過(guò)程： 萬(wàn)能公式推導(dǎo) sin2α=2sinαcosα

6、=2sinαcosα/[cos2(α)+sin2(α)]， （因?yàn)閏os2(α)+sin2(α)=1） 再把分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/[1+tan2(α)] 然后用α/2代替α即可。 同理可推導(dǎo)余弦的萬(wàn)能公式。正切的萬(wàn)能公式可通過(guò)正弦比余弦得到。 三倍角公式推導(dǎo) tan3α=sin3α/cos3α =(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα) =[2sinαcos2(α)+cos2(α)sinα－sin3(α)]/[cos3(α)－cosαsin2(α)－2sin2(α)cosα] 上下同除以cos3

7、(α)，得： tan3α=[3tanα－tan3(α)]/[1-3tan2(α)] sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα =2sinαcos2(α)+[1－2sin2(α)]sinα =2sinα－2sin3(α)+sinα－2sin3(α) =3sinα－4sin3(α) cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα =[2cos2(α)－1]cosα－2cosαsin2(α) =2cos3(α)－cosα+[2cosα－2cos3(α)] =4cos3(α)－3cosα 即 sin3α=3sinα－4sin3

8、(α) cos3α=4cos3(α)－3cosα 和差化積公式推導(dǎo) 首先,我們知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb，sin(a-b)=sinacosb-cosasinb 我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb 同理，若把兩式相減，就得到cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2 同樣的，我們還知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb，cos(a-b)=cosacosb+sinasinb 所以，把兩式相加，我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb 同理，兩式相減我

9、們就得到sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2 這樣，我們就得到了積化和差的公式： cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2 sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2 好，有了積化和差的四個(gè)公式以后，我們只需一個(gè)變形，就可以得到和差化積的四個(gè)公式 我們把上述四個(gè)公式中的a+b設(shè)為x，a-b設(shè)為y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2 把a(bǔ),b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個(gè)公式: sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2] sinx-siny=2cos[(x+y)/2]s

10、in[(x-y)/2] cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2] cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2] 三角函數(shù) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 倒數(shù)關(guān)系 tanα cotα=1 sinα cscα=1 cosα secα=1 商的關(guān)系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方關(guān)系 sin2(α)+cos2(α)=1 1+tan2(α)=sec2(α) 1+cot2(α)=csc2(α) 同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法 構(gòu)造以“上弦、中切、

11、下割；左正、右余、中間1”的正六邊形為模型。 倒數(shù)關(guān)系 對(duì)角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù)； 商數(shù)關(guān)系 六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。（主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積，下面4個(gè)也存在這種關(guān)系。）由此，可得商數(shù)關(guān)系式。 平方關(guān)系 在帶有陰影線的三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方。 兩角和差公式 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsin

12、β tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanαtanβ) tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanαtanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2(α)－sin2(α)=2cos2(α)－1=1－2sin2(α) tan2α=2tanα/[1－tan2(α)] tan[(1/2)α]=(sin α)/(1+cos α)=(1-cos α)/sin α 半角的正弦、余弦和正切公式 sin2(α/2)=(1－cosα)/2 cos2(α/2)=(1+cosα)/2 tan2(α/2)=(1－cosα

13、)/(1+cosα) tan(α/2)=(1—cosα)/sinα=sinα/1+cosα 萬(wàn)能公式 sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)] cosα=[1－tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=[2tan(α/2)]/[1－tan2(α/2)] 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin3α=3sinα－4sin3(α) cos3α=4cos3(α)－3cosα tan3α=[3tanα－tan3(α)]/[1－3tan2(α)] 三角函數(shù)的和差化積公式 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α－β)/2] sinα－sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α－β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α－β)/2] cosα－cosβ=－2sin[(α+β)/2]sin[(α－β)/2] 三角函數(shù)的積化和差公式 sinαcosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α－β)] cosαsinβ=0.5[sin(α+β)－sin(α－β)] cosαcosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α－β)] sinαsinβ=－ 0.5[cos(α+β)－cos(α－β)]