精細辛有限元方法研究

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1、精細辛有限元方法研究 精細辛有限元方法研究 2016/05/13 《力學學報》2016年第二期 摘要 哈密頓系統(tǒng)是一類重要的動力系統(tǒng)，針對哈密頓系統(tǒng)，設計出多類辛方法：SRK、SPRK、辛多步法、生成函數(shù)法等.長久以來數(shù)值方法在求解哈密頓系統(tǒng)過程中辛特性和保能量特性不能得到同時滿足，近年來提出的有限元方法，對于線性系統(tǒng)具有保辛和保能量的優(yōu)良特性.但是，以上方法都存在相位漂移(軌道偏離)現(xiàn)象，長時間仿真，計算效果會大打折扣.提出精細辛有

2、限元方法(HPD-FEM)求解哈密頓系統(tǒng)，該方法繼承時間有限元方法求解哈密頓系統(tǒng)所具有的保哈密頓系統(tǒng)的辛結(jié)構和哈密頓函數(shù)守恒性的優(yōu)良特性，同時，通過精細化時間步長極大地減小了時間有限元方法的相位誤差.HPD-FEM相較與針對相位誤差專門設計的計算格式FSJS、RKN以及SRPK方法具有更好的糾正效果，幾乎達到機器精度，誤差為O(1013),同時，HPD-FEM克服了FSJS、RKN和SPRK方法不能保證哈密頓函數(shù)守恒的缺點.對于高低混頻系統(tǒng)和剛性系統(tǒng)，常規(guī)算法很難在較大步長下，同時實現(xiàn)對高低頻精確仿真，HPD-FEM通過精細計算時間步長，在大步長情況下，實現(xiàn)高低混頻的精確仿真.HPD-FEM方

3、法在計算過程中精細方法沒有額外增加計算量，計算效率高.數(shù)值結(jié)果顯示本文提出的方法切實有效. 關鍵詞 哈密頓系統(tǒng)，辛算法，相位誤差，精細積分，時間有限元 辛性質(zhì)是哈密頓系統(tǒng)重要的性質(zhì)，有人[1-3]針對哈密頓系統(tǒng)提出了辛積分方法.辛算法的優(yōu)異的穩(wěn)定性和長時間跟蹤能力有著重要的應用前景,許多計算領域,如:分子電子計算、經(jīng)典力學、流體力學等.辛算法解決了在長期計算過程中幅值誤差的積累問題，但相位誤差積累問題仍然存在.還有人[4-6]給出了辛算法誤差分析和修正，文中的方法是一種后驗誤差修正，根據(jù)單步辛算法的誤差進行時間修正，并得到：相位誤差不影響系統(tǒng)的能

4、量而只影響位移和速度等物理量的幅值變化規(guī)律和跟蹤精度的結(jié)論.陳璐等[7]對幾種常見的保結(jié)構方法(AVF、Pade´對角逼近、生成函數(shù)法)的相位誤差及修正給出詳盡的分析，但是文中對缺乏對哈密頓函數(shù)守恒性的討論，文中的算例顯示12階相位誤差的算法能量誤差僅有O(106).近年來，辛方法相位誤差現(xiàn)象越來越引起國內(nèi)外學者關注，RKN方法[8-9]和SPRK方法[10-12]，都是通過泰勒展開研究相位誤差，推導出很多相位誤差較小的計算格式，這些方法需要優(yōu)化求解出合適的參數(shù)使得相位誤差最小,所得參數(shù)也比較復雜.劉曉梅等[13]提出FSJS方法，該方法巧妙的利用向前和向后差分方法引起的相位誤差分

5、別是正方向和負方向的性質(zhì)，提出分數(shù)步計算方案，該方法極大的減小了相位誤差，但是每一步計算過程中都要計算分數(shù)步數(shù)步，從而增加了計算量. 顏娜[14]則對引起辛算法的漂移的原因，以及幾種傳遞矩陣的相位誤差進行了分析.文獻[15]指出時間有限元方法求解ODE在有些情況下和有限差分方法是等價的，論文同時指出C-TFE求解哈密頓系統(tǒng)可以保證哈密頓函數(shù)的守恒.陳傳淼等[16-18]提出有限元方法求解哈密頓系統(tǒng)，該方法顯示對線性哈密頓系統(tǒng)連續(xù)有限元方法可以保證哈密頓系統(tǒng)的辛結(jié)構以及哈密頓函數(shù)的守恒.有限元方法求解哈密頓系統(tǒng)有著保能量守恒和保辛結(jié)構的優(yōu)勢，但是對有限元方法求解哈密頓系統(tǒng)的相位誤

6、差，尚沒有文章進行分析.鐘萬勰[19-20]提出精細積分方法通過積累計算小量的技巧，有效地避免了計算機實現(xiàn)的過程中“大數(shù)吃小數(shù)”現(xiàn)象.曾進等[21]針對哈密頓系統(tǒng)提出精細辛幾何算法，該克服了算法對積分時間步長的依賴性，同時保證哈密頓系統(tǒng)的性質(zhì).徐明毅等[22]則對精細辛幾何算法的誤差進行詳盡分析.本文提出的求解哈密頓系統(tǒng)精細辛有限元方法，這種方法結(jié)合有限元方法和精細方法的特點.不增加計算工作量就能保證哈密頓系統(tǒng)的性質(zhì)(辛結(jié)構和哈密頓函數(shù)守恒)同時極大的減少相位誤差.對高低混頻和剛性系統(tǒng)在大步長下實現(xiàn)對高頻信號的精確仿真.數(shù)值結(jié)果令人滿意. 1哈密頓系統(tǒng) 考慮如下

7、哈密頓正則方程方程(1)對應的哈密頓函數(shù) 2時間有限元的精細辛積分方法 2.1時間有限元方法的保辛和保能量特性利用時間有限元方法求解，線性哈密頓系統(tǒng)(2)正則方程及初始條件可以證明連續(xù)有限元方法是辛方法[15-16].同時，連續(xù)時間有限元方法同時可以保證能量守恒[15-16]. 2.2精細辛有限元方法的相位誤差及辛特性時間有限元方法求解(2)，能夠保持系統(tǒng)原有的辛性質(zhì)，因而在長期定量計算中顯示出傳統(tǒng)算法不可比擬的優(yōu)點：守恒性和長期跟蹤能力.但時間有限元方法都不可避免的產(chǎn)生相位誤差.雖然系統(tǒng)守恒性得到保持，但是，長時間的計算相位誤差仍舊不理想.為了

8、進一步提高計算精度，減少相位誤差，可以將精細辛積分方法[21]引入時間有限元的計算格式中.為了表述方便,記,時間一次元、二次元分別為TFE1和TFE2;本文提出的精細化時間有限元分別為HPD-FEM1和HPD-FEM2. 3數(shù)值算例 3.1橢圓型哈密頓系統(tǒng)因為算例的精確解是個周期函數(shù)，單純的比較指定時刻的誤差值，比較片面.表1和表2所列誤差均是指在[0,1000s]內(nèi)所有單元節(jié)點誤差絕對值的最大值.從表1和表2可以看出本文提出的TFE1-HPD,TFE2-HPD和TFE[16]方法一樣可以保持哈密頓系統(tǒng)的能量守恒，但本文的方法具有極高的點態(tài)數(shù)值精度，即，漂移誤差

9、極小.相較FSJS[13],RKN[8-9]和SPRK[12]等設計的糾漂或者相位誤差極小化的方法，本文方法的相位誤差更小，而且本文算法克服了糾漂方法FSJS,RKN以及SPRK方法不能保證哈密頓系統(tǒng)的能量守恒的弱點. 3.2高低混頻哈密頓系統(tǒng)對于高低混頻系統(tǒng)，文獻[23]指出數(shù)值方法的計算步長和系統(tǒng)頻率之間必須滿足CFL條件，即hw≈1.這意味著對于高頻信號的仿真，數(shù)值上必須采用極小的步長.圖1和圖2是高頻信號的計算誤差圖，圖3和圖4是低頻信號誤差圖.從時域誤差圖可以看出HPD-FEM在大步長下同時對高頻和低頻信號的精確仿真，計算誤差均在1012以下.這是現(xiàn)有方法所無法比擬的

10、.圖5是哈密頓函數(shù)的誤差圖，HPD-FEM方法同樣可以在大步長的情況下，實現(xiàn)算法的保能量特性.精細化參數(shù)N,是HPD-FEM方法設計過程中引入的參量.圖6是不同的精細化參數(shù)，時域上計算誤差最大值.從圖6，對于高頻信號p1q1,較小的參數(shù)N，對于計算精度提高不大.可以看出參數(shù)N越大，計算的精度越高，但N>60，N的增加對計算誤差的影響極小.同時較大的參數(shù)也會引入計算機舍入誤差以及較多的計算量.所以，在計算過程中，需要選擇合適的N.根據(jù)計算經(jīng)驗，參數(shù)N和系統(tǒng)的剛性有關，剛性越大，N就越大.表3可以看出HPD-FEM方法可以在大步長下實現(xiàn)對剛性系統(tǒng)的精確仿真.這是其他方法所沒有的特性. 4結(jié)論 精細辛有限元方法繼承了有限元方法在求解哈密頓系統(tǒng)中保辛和保能量的優(yōu)良特性，同時，極大的減少相位漂移誤差，幾乎達到機器精度.對于高低混頻或者剛性系統(tǒng)，HPD-FEM方法可以在較大步長下實現(xiàn)對高低頻信號的精確仿真.數(shù)值結(jié)果令人滿意，具有廣泛的工程實踐價值.