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1、第 26講 幾何作圖 1 尺規(guī)作圖的作圖工具限定只用圓規(guī)和沒有 刻度的直尺 2 基本作圖 (1)作一條線段等于已知線段； (2)作一個角等于已知角； (3)作角的平分線； (4)作線段的垂直平分線； (5)過一點作已知直線的垂線 3 利用基本作圖作三角形 (1)已知三邊作三角形； (2)已知兩邊及其夾角作三角形； (3)已知兩角及其夾邊作三角形； (4)已知底邊及底邊上的高作等腰三角形； (5)已知一直角邊和斜邊作直角三角形 4 與圓有關的尺規(guī)作圖 (1)過不在同一直線上的三點作圓 (即三角形的外接圓 ) ； (2)作三角形的內(nèi)切圓； (3)作圓的內(nèi)接正方
2、形和正六邊形 5 有關中心對稱或軸對稱的作圖以及設計圖案是中 考的常見類型 1 兩種畫圖方法 對于一個既不屬于尺規(guī)基本作圖 ， 又不屬于已知條件為邊角邊 、 角邊角 、 角角邊 、 邊邊邊 、 斜邊直角邊的三角形的作圖題 ， 可以分 析圖形中是否有屬于上述情況的三角形 ， 先把它作出來 ， 再發(fā)展成 整個圖形 ， 這種思考方法 ， 稱為三角形奠基法；也可以按求作圖形 的要求 ， 一步一步地直接畫出圖形 ， 這時 ， 關鍵的點常常由兩條直 線 (或圓弧 )相交來確定 ， 稱為交會法 事實上 ， 往往把三角形奠基 法和交會法結(jié)合使用 2 三點注意 (1)一般的幾何作圖 ， 初中階
3、段只要求寫出已知 、 求作 、 作法三個 步驟 ， 完成作圖時 ， 需要注意作圖痕跡的保留 ， 作法中要注意作圖 語句的規(guī)范和最后的作圖結(jié)論 (2)根據(jù)已知條件作幾何圖形時 ， 可采用逆向思維 ， 假設已作出圖 形 ， 再尋找圖形的性質(zhì) ， 然后作圖或設計方案 (3)實際問題要理解題意 ， 將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題 3 六個步驟 尺規(guī)作圖的基本步驟： (1)已知：寫出已知的線段和角 ， 畫出圖形； (2)求作：求作什么圖形 ， 它符合什么條件 ， 一一具體 化； (3)作法：應用 “ 五種基本作圖 ” ， 敘述時不需重述基 本作圖的過程 ， 但圖中必須保留基本作圖的痕跡；
4、 (4)證明：為了驗證所作圖形的正確性 ， 把圖作出后 ， 必須再根據(jù)已知的定義 、 公理 、 定理等 ， 結(jié)合作法來證 明所作出的圖形完全符合題設條件； (5)討論：研究是不是在任何已知的條件下都能作出圖 形；在哪些情況下 ， 問題有一個解 、 多個解或者沒有解 ； (6)結(jié)論：對所作圖形下結(jié)論 1 ( 201 6 信陽模擬 ) 如圖所示的尺規(guī)作圖的痕跡表示的是 ( ) A 尺 規(guī)作線段的垂直平分線 B 尺 規(guī)作一條線段等于已知線段 C 尺 規(guī)作一個角等于已知角 D 尺 規(guī)作角的平分線 A 2 ( 201 6 曲靖 ) 下列尺規(guī)作圖 ， 能判斷 AD 是
5、 A B C 邊上的高是 ( ) B 3 ( 2 016 商丘模擬 ) 某學習小組中有甲、乙、丙、丁四位同學 ， 為解決尺規(guī)作圖： “ 過直 線 AB 外一點 M ， 作一直線垂直于直線 AB ” ， 各自提供了如下四種方案 ， 其中正確的是 ( ) A 甲 、乙 B 乙 、丙 C 丙 、丁 D 甲 、乙、丙 D 4 ( 2016 洛陽模擬 ) 如圖 ， 在 A B C 中 ， AD 平分 B A C ， 按如下步驟作圖： 分別以點 A ， D 為圓心 ， 以大于 1 2 AD 的長為半徑在 AD 兩側(cè)作 弧 ， 交于兩點 M ， N
6、； 連接 MN 分別 交 AB ， AC 于點 E 、 F ； 連接 DE ， D F . 若 BD 6 ， AF 4 ， CD 3 ， 則 BE 的長是 ( ) A 2 B 4 C 6 D 8 D 5 ( 201 6 麗水 ) 用直尺和圓規(guī)作 Rt A B C 斜邊 AB 上的高線 CD ， 以下四個作圖中 ， 作法 錯誤的是 ( ) D 畫三角形 【例 1 】 ( 2015 杭州 ) “ 綜合與實踐 ” 學習活動準備制作一組三角形 ， 記這些三角形的 三邊分別為 a ， b ， c ， 并且這些三角 形三邊的長度為大于 1 且小
7、于 5 的 整數(shù)個單位長 度 ( 1 ) 用記號 ( a ， b ， c )( a b c ) 表示一個滿足條件的三角形 ， 如 ( 2 ， 3 ， 3 ) 表示邊長分別為 2 ， 3 ， 3 個單位長度的一個三角 形 請 列舉出所有滿足條件的三角 形 ( 2 ) 用直尺和圓規(guī)作出三邊滿足 a b c 的三角形 ( 用給定的單位長度 ， 不寫作法 ， 保留作 圖痕跡 ) 解： ( 1 ) 共 9 種： ( 2 ， 2 ， 2 ) ， ( 2 ， 2 ， 3 ) ， ( 2 ， 3 ， 3 ) ， ( 2 ， 3 ， 4 ) ， ( 2 ， 4 ， 4 ) ， ( 3
8、 ， 3 ， 3 ) ， ( 3 ， 3 ， 4 ) ， ( 3 ， 4 ， 4 ) ， ( 4 ， 4 ， 4 ) ( 2 ) 由 ( 1 ) 可知 ， 只有 ( 2 ， 3 ， 4 ) ， 即 a 2 ， b 3 ， c 4 時滿足 a b c. 如圖的 A B C 即為滿足條件的三角形 【 點評 】 (1)作三角形包括： 已知三角形的兩邊及其 夾角 ， 求作三角形； 已知三角形的兩角及其夾邊 ， 求作 三角形； 已知三角形的三邊 ， 求作三角形； (2)求作三角形的關鍵是確定三角形的頂點；而求作直角 三角形時 ， 一般先作出直角 ， 然后根據(jù)條件作出所求的圖 形
9、 對應訓練 1 ( 20 15 南京 ) 如圖 ， 在邊長為 4 的正方形 A B C D 中 ， 請畫出以 A 為一個頂點 ， 另外兩 個頂點在正方形 A B C D 的邊上 ， 且含邊長為 3 的所有大小不同的等腰三角 形 ( 要求：只要 畫出示意圖 ， 并在所畫等腰三角形長為 3 的邊上標注數(shù)字 3 ) 解：滿足條件的所有圖形如圖所示： 應用角平分線 、 線段的垂直平分線性質(zhì)畫圖 【例 2 】 ( 2016 鄭州模擬 ) 兩個城鎮(zhèn) A ， B 與兩條公路 ME ， MF 位置如圖所示 ， 其中 ME 是東西方向的公 路 現(xiàn) 電信部門需在 C 處修建一座信號發(fā)射塔
10、， 要求發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn) A ， B 的距離必須相等 ， 到兩條公路 ME ， MF 的距離也必須相等 ， 且在 F ME 的內(nèi) 部 ( 1 ) 那么點 C 應選在何處？請在圖中 ， 用尺規(guī)作圖找出符合條件的點 C. ( 不寫已知、求作、 作法 ， 只保留作圖痕跡 ) ( 2 ) 設 AB 的垂直平分線交 ME 于點 N ， 且 MN 2 ( 3 1 ) km ， 在 M 處測得點 C 位于點 M 的北偏東 60 方向 ， 在 N 處測得點 C 位于點 N 的北偏西 45 方向 ， 求點 C 到公路 ME 的距 離 解： ( 1 ) 如圖 ( 2 ) 作 CD MN 于點
11、D ， 由題意得： C M N 30 ， C N D 4 5 ， 在 Rt C M D 中 ， CD MD t an C M N ， MD CD 3 3 3 CD ； 在 Rt C N D 中 ， CD DN t an C N M ， ND CD 1 CD ； MN 2 ( 3 1 ) km ， MN MD DN CD 3 CD 2 ( 3 1 ) km ， 解得： CD 2 km . 點 C 到公路 ME 的距離為 2 km . 對應訓練 2 ( 201 5 濟寧 ) 如圖 ， 在 A B C 中 ， AB
12、 AC ， DAC 是 A B C 的一個外 角 實驗與操作： 根據(jù)要求進行尺規(guī)作圖 ， 并在圖中標明相應字母 ( 保留作圖痕跡 ， 不寫作法 ) ( 1 ) 作 D A C 的平分線 AM ； ( 2 ) 作線段 AC 的 垂直平分線 ， 與 AM 交于點 F ， 與 BC 邊交于點 E ， 連接 AE ， C F . 猜想并證明： 判斷四邊形 A E C F 的形狀并加以證 明 解：如圖所示，四邊形 A EC F 的形狀為菱形理由如下： AB AC ， A B C A C B ， AM 平分 D A C ， D A M C A M ，而 D
13、AC A B C A C B ， C A M A C B ， EF 垂直平分 AC ， OA OC ， AOF C O E ，在 A O F 和 C O E 中， F A O ECO ， OA OC ， A O F C O E ， A O F C O E( A SA ) , OF OE ，即 AC 和 EF 互相垂直平分， 四邊形 A E C F 的形狀為 菱形 通過畫圖確定圓心 【例 3 】 ( 2 015 孝感 ) 如圖 ， 一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧 ( AB ) ( 1 ) 用直尺和圓規(guī)作出 AB 所在圓的圓
14、心 O ； ( 要求保留作圖痕跡 ， 不寫作法 ) ( 2 ) 若 AB 的中點 C 到弦 AB 的距離為 20 m ， AB 80 m ， 求 AB 所在圓的半 徑 解： ( 1 ) 如圖 ， 點 O 為所求 ( 2 ) 連接 OA ， OC ， OC 交 AB 于 D ， 如圖 ， C 為 AB 的中點 ， OC AB ， AD BD 1 2 AB 40 ， 設 O 的半徑為 r ， 則 OA r ， OD OC CD r 20 ， 在 Rt OAD 中 ， OA 2 OD 2 AD 2 ， r 2 ( r 20 ) 2 4
15、0 2 ， 解得 r 50 ， 即 AB 所在圓的半徑是 50 m . 對應訓練 3 ( 2016 青島 ) 已知：線段 a 及 A C B .求作： O ， 使 O 在 A C B 的內(nèi)部 ， CO a ， 且 O 與 A C B 的兩邊分別相 切 解： 作 A C B 的平分線 CD 在 CD 上截取 CO a 作 OE CA 于 E ， 以 O 為圓心 ， OE 長為半徑作圓 如圖所示： O 即為所 求 試題 尺規(guī)作圖 ， 已知頂角和底邊上的高 ， 求作等腰三角 形 已知： ， 線段 a. 求作： A B C ， 使
16、 AB AC ， B A C ， AD BC 于 D ， 且 AD a. 錯解 如圖 ， ( 1 ) 作 E A F ； ( 2 ) 作 AG 平分 E A F ， 并在 AG 上截取 AD a ； ( 3 ) 過 D 畫直線 MN 交 AE ， AF 分別于 C ， B ， A B C 為所求作的等腰三角 形 剖析 上述畫法考慮 AD 平分 B A C ， 等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高重合 ， 但 是畫法 ( 3 ) 沒有注意到要使 AD BC ， 也 難以使 AB A C . 正解 如圖 ， ( 1 ) 作 E A F ( 2 ) 作 AG 平分 E A F ， 并在 AG 上截取 AD a ( 3 ) 過 D 作 MN AG ， MN 與 AE ， AF 分別交于 B ， C. 則 A B C 即為所求作的等腰三角形
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