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1、第 20講 矩形、菱形與正方形 山西專用 1 矩形、菱形、正方形的性質 矩形 菱形 正方形 邊 兩組對邊 分別 . 兩組對邊分別 ____， 四條邊都 ____ 兩組對邊分別 ____， 四條邊都 ____ 角 四個角都是 ____ 對角相等 ， 鄰角____ 四個角都是 ____ 對角 線 互相平分； 相等 互相平分； 互相垂直； 每 條對角線平分一 組對角 互相平分； 互相垂直； 相 等； 每條對角 線平分一組對角 平行且相等 平行 相等 平行 相等 直角 互補 直角 對稱性 中心對稱； 軸對稱且 有 2 條對
2、稱軸 中心對稱； 軸對稱且 有 2 條對稱軸 中心對稱； 軸 對稱且有 4 條對 稱軸 面積 S ab(a 、 b 表 示長與寬 ) S 1 2 mn(m 、 n 表示兩條對 角線的長 ) S a 2 (a 表示邊 長 ) 2.矩形、菱形、正方形的判定 矩形 有一個角是直角的 ； 對角線 ____的平行四邊形； 有三個角是 ____的四邊形 菱形 有一組鄰邊 ____的平行四邊形； 對角線 的平行四邊形； 四條邊都相等的四邊形 正方形 一組鄰邊相等的 ____； 有一個角是直角的菱形；
3、 對角線 且 ____的平行四邊形 平行四邊形 相等 直角 相等 互相垂直 矩形 互相垂直 相等 3.平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關系 命題點 1 ：矩形的性質與判定 1 ( 2013 山西 17 題 3 分 ) 如圖 ， 在矩形紙片 ABCD 中 ， AB 12 ， BC 5 ， 點 E 在 AB 上 ， 將 DAE 沿 DE 折疊 ， 使點 A 落在對角線 BD 上的點 A 處 ， 則 AE 的長為 __ __ . ( 導學號 020523 37 ) 10 3 2 ( 2012 山西 18 題 3 分 ) 如圖 ， 在平面直角
4、坐標系中 ， 矩 形 OABC 的對角線 AC 平行于 x 軸 ， 邊 OA 與 x 軸正半軸的夾角為 30 ， OC 2 ， 則點 B 的坐標是 (2 ， 2 3 ) 命題點 2 ：菱形的性質與判定 1 ( 2012 山西 11 題 2 分 ) 如圖 ， 已知菱形 ABC D 的對角線 AC 、 BD 的長分別 為 6 cm 、 8 cm ， AE BC 于點 E ， 則 AE 的長是 ( ) A 5 3 cm B 2 5 cm C . 48 5 cm D . 24 5 cm ( 導學號 0205 2338) D 命題點 3 ：正
5、方形的性質與判定 1 ( 2014 山西 10 題 3 分 ) 如圖 ， 點 E 在正方形 ABCD 的對角線 AC 上 ， 且 CE 2 AE ， 直角三角形 FE G 的兩直角邊 EF 、 EG 分別交 BC ， DC 于點 M ， N ， 若正方形 AB CD 的邊長為 a ， 則重疊部分四邊形 EMC N 的面積為 ( ) A . 2 3 a 2 B . 1 4 a 2 C . 5 9 a 2 D . 4 9 a 2 ( 導學號 0205 2339) D 2 ( 2015 山西 16 題 3 分 ) 如圖 ， 將正方形紙片 ABCD 沿 MN 折疊 ， 使點 D
6、 落在邊 AB 上 ， 對應點為 D ， 點 C 落在 C 處 ， 若 AB 6 ， AD 2 ， 則折痕 MN 的長為 . ( 導學號 020 52340) 2 10 【例 1 】 ( 2016 威海 ) 如圖 ， 在矩形 ABCD 中 ， AB 4 ， BC 6 ， 點 E 為 BC 的中點 ， 將 ABE 沿 AE 折疊 ， 使點 B 落在矩形內點 F 處 ， 連接 CF ， 則 CF 的長為 ( ) A . 9 5 B . 12 5 C . 16 5 D . 18 5 【分析】 連接 BF 交 AE 于點 M ， 構造 BCF . 根據(jù)已知條件易
7、求得 AE 的長在 Rt ABE 中 ， 利用面積公式求出 BM 的長 ， 由折疊的性質知 EF BE 且 BE EC ， 根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半可得 BCF 是直角三角形 ， 最后由勾 股定理即可求解 D 解析：如圖 ， 連接 BF 交 AE 于點 M ， 由折疊的性質可知 ABE AFE, B 、 F 關于 AE 對稱 ， AE 垂直平分 BF ， 即 BF 2B M ， 由勾股定理得： AE AB 2 BE 2 4 2 3 2 5 ， S ABE 1 2 AB BE 1 2 AE BM ， 即 4 3 5 BM, BM 12
8、5 ， BF 24 5 ， E 為 BC 的中點 ， 又 EF BE 1 2 BC ， BFC 是直角三角形 ， CF BC 2 BF 2 6 2 （ 24 5 ） 2 18 5 ， 故選 D 【 方法指導 】 與矩形有關的計算： (1)若題目中涉及矩形的折疊 ， 要注意 折疊前后對應線段相等、對應角相等 ， 即被折疊的角折疊之后在任何位置 依舊是直角； (2)因為矩形四個角都是直角 ， 則想到將所求或涉及的線段放在直角三角形 中 ， 常用到勾股定理 ， 特殊角三角函數(shù)的計算； (3)常結合矩形對角線相等且互相平分的性質 ， 故可根據(jù)矩形對角線的關系 應用全等三
9、角形的判定和性質或等腰三角形的性質進行求解 對應訓練 1 如圖 ， 四邊形 ABCD的對角線互相平分 ， 要使它成為矩形 ， 那么需要添 加的條件是 ( ) A AB CD B AD BC C AB BC D AC BD D 2 ( 2016 蘇州改編 ) 矩形 OAB C 在平面直角坐標系中的位置如圖所示 ， 點 B 的坐標為 (3 ， 4 ) ， D 是 OA 的中點 ， 點 E 在 AB 上 ， 當 CDE 的周長最小時 ， 點 E 的坐標為 ( 導學號 0205 2341) (3， 43) 【例 2 】 如圖 ， 菱形 ABCD 中 ， 點 O 是對角線 AC
10、 的三等分點 ， 連接 OB 、 OD ， 且 OB OC OD. 已知 AC 3 ， 那么菱形的邊長為 ( ) A . 3 B 2 C . 5 1 2 D . 3 2 【分析】 由菱形的性質易得 CAB ACB ， 根據(jù)已知條件得 OB OC 1 3 AC ， 由等腰三角形的性質得 BOC ABC ， 根據(jù)對應邊成比例列比例式即可求出線段的長 A 【 方法指導 】 1.菱形判定的一般思路：首先判定四邊形是平行四邊形 ， 然 后根據(jù)平行四邊形的鄰邊相等判定是菱形 ， 這是判定菱形的最基本思路 ， 同時也可以考慮其他判定方法 ， 例如若能判定平行四邊形對
11、角線垂直即可 判定為菱形等； 2 應用菱形性質計算的一般思路：菱形四邊相等；菱形對角線相互垂直 ：常借助勾股定理和銳角三角函數(shù)來求線段的長 ， 有一個角為 60 的菱 形 ， 60 所對的對角線將菱形分成兩個全等的等邊三角形也可以根據(jù) 菱形既是軸對稱圖形 ， 又是中心對稱圖形 ， 結合它的對稱性得出的一些結 論 對應訓練 1 (2016遵義 )如圖 ， 在 ABCD中 ， 對角線 AC與 BD交于點 O， 若增加 一個條件 ， 使 ABCD成為菱形 ， 下列給出的條件不正確的是 ( ) A AB AD B AC BD C AC BD D BAC DAC C 2. 如圖 ， 菱形
12、AB CD 的對角線 AC 、 BD 相交于點 O ， AC 8 ， BD 6 ， 過點 O 作 OH AB ， 垂足為 H ， 則點 O 到邊 AB 的距離 OH 等于 ( ) A 2 B . 9 4 C . 7 3 D . 12 5 ( 導學號 0205 2342) D 【 例 3】 (2016畢節(jié) )如圖 ， 正方形 ABCD的邊長為 9， 將正方形折疊 ， 使 頂點 D落在 BC邊上的點 E處 ， 折痕為 GH.若 BE EC 2 1， 則線段 CH的長 是 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 【 分析 】 設 CH為 x， 則可得 DH、 EH的長由
13、正方形邊長為 9.BE EC 2 1可得 CE的長在 Rt ECH中根據(jù)勾股定理列方程求解即可 B 對應訓練 1 如圖 ， 正方形 ABC D 和正方形 CE FG 中 ， 點 D 在 CG 上 ， BC 1 ， CE 3 ， H 是 AF 的中點 ， 那么 CH 的長是 __ __ . ( 導學號 020523 43 ) 5 2 如圖為正三角形 ABC 與正方形 DEFG 的重疊情形 ， 其中 D 、 E 兩點分別 在 AB 、 BC 上 ， 且 BD BE. 若 AC 18 ， GF 6 ， 則 F 點到 AC 的距離為 ( 導學號 0205 2344) 6 3 6
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