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1、1,無(wú)窮小的性質(zhì),極限的四則運(yùn)算法則,1.5 極限運(yùn)算法則,2,證明,設(shè)及是當(dāng)xx0時(shí)的兩個(gè)無(wú)窮小,則 0,10,當(dāng)0|xx0|1 時(shí) 有| ,20,當(dāng)0|xx0|2 時(shí) 有| ,取 min1 2,則當(dāng)0|xx0|時(shí) 有,這說(shuō)明 也是當(dāng)xx0時(shí)的無(wú)窮小,|2 ,定理1 有限個(gè)無(wú)窮小的和也是無(wú)窮小,無(wú)窮小的性質(zhì),僅就兩個(gè)xx0時(shí)的無(wú)窮小情形證明,舉例:,當(dāng)x0時(shí) x與sin x都是無(wú)窮小 所以xsin x也是當(dāng)x0時(shí)的無(wú)窮小,3,設(shè)函數(shù)u在x0的某一去心鄰域x|0|xx0|1內(nèi)有界 即M0 使當(dāng)0|xx0|1時(shí) 有|u|M,又設(shè)是當(dāng)xx0時(shí)的無(wú)窮小 即0 存在20 使當(dāng)0|xx0|2時(shí) 有| 取
2、min1 2 則當(dāng)0|xx0| 時(shí) 有 |u|u|M 這說(shuō)明u 也是當(dāng)xx0時(shí)的無(wú)窮小,證明,定理2 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小,定理1 有限個(gè)無(wú)窮小的和也是無(wú)窮小,無(wú)窮小的性質(zhì),4,舉例:,推論2 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小,定理2 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小,定理1 有限個(gè)無(wú)窮小的和也是無(wú)窮小,無(wú)窮小的性質(zhì),推論1 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小,5,(2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB,推論1 如果lim f(x)存在 而c為常數(shù) 則 limcf(x)=climf(x),推論2 如果limf(x)存在 而n是正整數(shù) 則 limf(x)n=limf(
3、x)n ,定理3 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 那么,極限的四則運(yùn)算法則,(1)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB ,6,數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則,定理5 如果j(x)y(x) 而limj(x)=a limy(x)=b 那么ab,不等式,定理4 設(shè)有數(shù)列xn和yn 如果,那么,7,求極限舉例,討論,提示,解,解,例2 求,例1 求,8,解,解,根據(jù)無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系得,因?yàn)?例4,例3 求,9,討論,提示,當(dāng)Q(x0)P(x0)0時(shí) 約去分子分母的公因式(xx0) ,10,先用x3去除分子及分母 然后取極限,解,先用x2去除分子及分母 然后取極限,解
4、:,例6,例5 求,11,討論,提示,解,所以,例7,12,解 當(dāng)x時(shí) 分子及分母的極限都不存在 故關(guān)于商的極限的運(yùn)算法則不能應(yīng)用,是無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積,例8,13,定理6(復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則),說(shuō)明,設(shè)函數(shù)yfg(x)是由函數(shù)yf(u)與函數(shù)ug(x)復(fù)合而成 fg(x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義 若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0) 且在x0的某去心鄰域內(nèi)g(x)u0 則,把定理中g(shù)(x)u0(xx0)換成g(x)(xx0或x) 而把f(u)A(uu0)換成f(u)A(u)可類(lèi)似結(jié)果,14,定理6(復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則),設(shè)函數(shù)yfg(x)是由函數(shù)yf(u)與函數(shù)ug(x)復(fù)合而成 fg(x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義 若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0) 且在x0的某去心鄰域內(nèi)g(x)u0 則,例9,是由,與,復(fù)合而成的,.,解,15,總結(jié),1、極限的四則運(yùn)算法則及其推論;,2、極限求法;,a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限; b.消去零因子法求極限; c.無(wú)窮小因子分出法求極限; d.利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限; e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.,3、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則,
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