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1、第四章線性方程組 4.1齊次線性方程組 解向量的概念 設(shè)有齊次線性方程組 0 0 0 2211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 若記 （ 1） 一、齊次線性方程組的解 , aaa aaa aaa A mnmm n n 21 22221 11211 n x x x x 2 1 則上述方程組（ 1）可寫成向量方程 .Ax 0 1212111 nnx,x,x 若 為方程 的 0Ax 解，則 1 21 11 1 n x 稱為方程組 (1) 的 解向量 ，它也就是向量方程 (2)的解 齊次線性方程組解的性質(zhì) （ 1）若 為 的解，則 21
2、 x,x 0Ax 21 x 0Ax也是 的解 . 證明 02121 AAA 00 21 A,A .Axx 的解也是故 021 （ 2）若 為 的解， 為實(shí)數(shù)，則 也是 的解 1x 0Ax k 1kx 0Ax 證明 .kkAkA 0011 由以上兩個(gè)性質(zhì)可知，方程組的全體解向量 所組成的集合，對(duì)于加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的， 因此構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱此向量空間為齊次線 性方程組 的 解空間 0Ax 證畢 . 如果解系 的基礎(chǔ)稱為齊次線性方程組 , 0 , 21 Axt ; 0,)1( 21 的解的一組線性無關(guān)是 Axt . ,0)2( 21 出 線性表的任一解都可由 tAx 3基礎(chǔ)解系的定義 的通解
3、可表示為那么的一組基礎(chǔ)解系 為齊次線性方程組如果 0 Ax Axt , 0, 21 ttkkkx 2211 ., 21 是任意常數(shù)其中 rnkkk 是它的基礎(chǔ)解系。個(gè)線性無關(guān)的解向量都的任意）（ 個(gè)數(shù)為的基礎(chǔ)解系中的解向量）（ 則）（矩陣，是設(shè)定理 rnAx rnAx rArnmA 02 ;01 ,1.1.4 .0A0 x A ;0A0Ax ,)2( .,0, . 0,;)(0 ;0,;)(0 )1 有非零解 只有零解 階矩陣時(shí)是當(dāng) 解系因此必有無窮多個(gè)基礎(chǔ)必有非零解時(shí)當(dāng) 礎(chǔ)解系 有無窮多個(gè)基此時(shí)有非零解 沒有基礎(chǔ)解系此時(shí)只有零解 矩陣，則是設(shè)推論（ nA Axnm AxnArAx AxnAr
4、Ax nmA .0)(;0Anr ( A ) 2 0,m i n)( ).( 0)(d i m0V 0 A x ).( 0)(d i m001 AnAr nA AxnmnmArnm Arn ArnV Arn ArnVVAx 階方陣，所以，是）因?yàn)椋?非零解。 必有此時(shí)時(shí)，必有當(dāng) 非零解有 只有零解）證（ 證 直接驗(yàn)證它們構(gòu)成基礎(chǔ)解系的三個(gè)條件。首先， 它們的個(gè)數(shù)與已給的基礎(chǔ)解系 .0 02 21 3312321 321 的基礎(chǔ)解系一定是 ，基礎(chǔ)解系，證明： 的是某個(gè)齊次線性方程組，設(shè)例 Ax Ax .0)( ,0)(,0)( .33 213 312321 AA AAAA rn 有 其次，顯然，
5、即的個(gè)數(shù)相同，都為 . 011 101 110 321321 ），（），（ 以寫出矩陣等式最后，根據(jù)題設(shè)條件可 321 ， 的基礎(chǔ)解系。必是，必線性無關(guān)。所以， ，這說明是可逆矩陣，所以， ， 因?yàn)楸沓鼍仃嚨男辛惺桨阉洖?0 ,3)()( 02 011 101 110 P . 321 321 Ax ArBrP APB .0 2,23, 03 2 133212321 321 的基礎(chǔ)解系一定是 解系，證明： 的基礎(chǔ)是某個(gè)齊次線性方程組，設(shè)例 Ax Ax ,0)2( A ,0)23( A ,0)( A ,. ,3)()( 02 020 131 211 P . 020 131 211 213 321
6、2 321 321 321321 A A A ArBrP AB 顯然有另外必線性無關(guān) ，這說明是可逆矩陣，所以， ， 因?yàn)楸沓鼍仃嚨男辛惺接洖?，），（），（ 矩陣等式：根據(jù)已知條件可以寫出證 .齊次線性方程組的通解的求法 00 00 10 01 ,1 ,111 rnrr rn bb bb A 設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為 ，并不妨 設(shè) 的前 個(gè)列向量線性無關(guān) r 于是 通過初等變換可化為 A A A 的基礎(chǔ)解系。證畢。 一定是的三個(gè)線性無關(guān)的解所以， 0,0 321 AxAx 0 00 00 10 01 2 1 ,1 ,111 n rnrr rn x x x bb bb nrn,rrrr n
7、rn,r xbxbx xbxbx 11 11111 0Ax 現(xiàn)對(duì) 取下列 組數(shù)： nr x,x 1 rn n r r x x x 2 1 nrn,rrrr nrn,r xbxbx xbxbx 11 11111 分別代入 ., 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 依次得 rx x 1 , b b r 0 0 1 1 11 1 , 0 1 0 2 12 2 r b b . b b rn,r rn, rn 1 0 0 1 從而求得原方程組的 個(gè)解： rn . b b , rn,r rn, 1 , b b r 2 12 , b b r 1 11 , 可以看出 是齊次線性方程組解空 間的一個(gè)基
8、rn, 21 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 由于 個(gè) 維向量 rn rn 線性無關(guān)， 所以 個(gè) 維向量 亦線性無關(guān) . rn n rn, 21 .,)1( 21 線性無關(guān)證明 n 說明 解空間的基不是唯一的 解空間的基又稱為方程組的 基礎(chǔ)解系 .kkkx rnrn 2211 若 是 的基礎(chǔ)解系，則 其 通解 為 rn, 21 0Ax ., 21 是任意常數(shù)其中 rnkkk . ,2)( 21 線性表示 可由證明解空間的任一解都 rn 例 1 求齊次線性方程組 0377 ,02352 ,0 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 的基礎(chǔ)解系與通解 . 解 , 0
9、000 747510 737201 1377 2352 1111 A 對(duì)系數(shù)矩陣 作初等行變換，變?yōu)樾凶詈喚?陣，有 A . 7 4 7 5 , 7 3 7 2 432 431 xxx xxx 便得 ,1001 4 3 及令 x x , 74 73 75 72 2 1 及對(duì)應(yīng)有 x x , 1 0 74 73 , 0 1 75 72 21 即得基礎(chǔ)解系 ).,(, 1 0 74 73 0 1 75 72 2121 4 3 2 1 Rcccc x x x x 并由此得到通解 例 2 解線性方程組 07653 023 05532 034 54321 54321 54321 54321 xxxxx
10、xxxxx xxxxx xxxxx 解 76513 12311 55312 34111 A 對(duì)系數(shù)矩陣施 行初等行變換 00000 00000 13110 34111 ,rn,n,rAR 352 即方程組有無窮多解， 其基礎(chǔ)解系中有三個(gè)線性無關(guān)的解向量 . 5432 54321 3 34 xxxx xxxxx代入 26220 26220 13110 34111 5 4 3 x x x 令 , 0 1 0 , 0 0 1 . 1 0 0 所以原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 , 0 0 1 1 2 1 故原方程組的通解為 .kkkx 332211 .k,k,k 為任意常數(shù)其中 321 ,xx 1 2 2
11、 1依次得 . 1 2, 3 1 , 0 1 0 3 1 2 . 1 0 0 1 2 3 例 3 ).()( ARAAR T 證明 證 ., 維列向量為矩陣為設(shè) nxnmA ;0)( ,0)(,0 xAA AxAAxx T T 即則有滿足若 .0,0)()( ,0)(,0)( AxAxAx xAAxxAAx T TTT 從而推知 即則滿足若 ,0)(0 同解與綜上可知方程組 xAAAx T ).()( ARAAR T 因此 見書上例題 6、 7、 8（ P115-116） 齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法 00 00 10 01 1 111 rn,rr rn, bb bb A 四、小結(jié) （ 1）對(duì)系數(shù)矩陣 進(jìn)行初等變換，將其化為 最簡形 A nrn,rrrr nrn,r xbxbx xbxbx Ax 11 11111 0 由于 令 ., x x x n r r 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 （ 2）得出 ，同時(shí)也可知方程組的一 個(gè)基礎(chǔ)解系含有 個(gè)線性無關(guān)的解向量 rAR rn , b b r 0 0 1 1 11 1 , b b r 0 1 0 2 12 2 . b b , rn,r rn, rn 1 0 0 1 故 , b b , b b , b b x x rn,r rn, rrr 1 2 12 1 111 得 為齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 .
《齊次線性方程組》PPT課件
