西北工業(yè)大學彈性力學課件

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1、附錄 彈性力學數(shù)學基礎 目錄 附錄 1 張量基礎 附錄 2 復變函數(shù)數(shù)學基礎 附錄 3 變分法概要 附錄 1 張量基礎 i1 張量 1 張量特征 笛卡兒張量下標 求和定約 偏導數(shù)下標記法 特殊張量 張量 簡化縮寫記號表達物理量的集合 顯著優(yōu)點 基本方程以及其數(shù)學推導簡潔 張量的特征 整體與描述坐標系無關 分量需要通過適當?shù)淖鴺讼刀x 笛卡兒 （ Descartes） 張量定義 一般張量 曲線坐標系定義 i1 張量 1 三維 Descartes坐標系中，一個含有 3個與坐標相 關獨立變量集合，通常可以用一個 下標 表示。 位移分量 u， v， w 縮寫記為 ui（ i=1, 2, 3） 表示為

2、u1, u2, u3 9個獨立變量的集合，兩個下標來表示 ij和 ij 9個應力分量或應變分量 ij,k 27個獨立變量的集合用三個下標表示 i 下標 i1 張量 2 求和定約 張量表達式的某一項內(nèi)的一個下標出現(xiàn)兩次， 則對此下標從 1到 3求和。 A jiija z kk k a z 3 1 i j jiija z kka z 啞標 ： 出現(xiàn)兩次的下標 求和后消失 A jiji ycx 3332321313 3232221212 3132121111 ycycycx ycycycx ycycycx 自由標 ： 非重復下標 自由標個數(shù)表 示張量表達式 代表的方程數(shù) i1 張量 3 偏導數(shù)的下標

3、記法 縮寫張量對坐標 xi偏導數(shù)的表達式 逗號約定 逗號后面緊跟一個下標 i時，表示某 物理量對 xi求偏導數(shù)。 )()( , i i x 利用偏導數(shù)下標記法，偏導數(shù)均可縮寫為 j i ji x uu , i1 張量 4 k ij kij x , k ij kij x , kj i iki xx uu , lk ij klij xx , lk ij klij xx , 張量的偏導數(shù)集合仍然是張量 證明 ： ui， j如果作坐標變換 , jiu l j l k lkki l x xun , )( k jkki un , )( l j l k lkki x xun , )( jiji xnx ij

4、 j i n x x l ljki k l kji nnuu , 由此可證， ui, j服從二階張量的變換規(guī)律 由于 因此 i1 張量 5 特殊的張量符號 克羅內(nèi)克爾 （ Kronecker Delta） 記號 ij ji ji ij 0 1 顯然 100 010 001 333231 232221 131111 ij 克羅內(nèi)克爾記號是二階張量 運算規(guī)律 ijmjim imim ii TT aa 3332211 i1 張量 6 置換符號 eijk 有相等下標時 的奇排列，為， 的偶排列，為， 0 3211 3211 kji kji e ijk 偶排列 有序數(shù)組 1， 2， 3逐次對換兩個相鄰的

5、數(shù)字而 得到的排列 奇排列 1 1 2 1 33 2 11 3 2 3 1 22 3 11 2 3 eee eee i1 張量 8 二階對稱張量 反對稱張量 jiij TT jiij TT 任意一個二階張量，總是可以分解為一個對 稱張量和一個分對稱張量之和。 張量的對稱和反對稱性質(zhì)，可以推廣到二階 以上高階張量。 i1 張量 9 附錄 2 復變函數(shù)數(shù)學基礎 復變函數(shù)定義 解析函數(shù) 保角變換 柯西積分 復變函數(shù) 定義 復數(shù) 兩個實數(shù) x， y確定的數(shù) z=x+iy 1i 虛數(shù)單位 實部 虛 部 模 幅角 zy Im 22| yxz x ya r c t a n 復變函數(shù)基礎 i2 復變函數(shù) 1

6、zx Re 函數(shù) f（ z） 在某區(qū)域 上的每一點導數(shù)存在， 稱為區(qū)域 上的 解析函數(shù) 。 解析函數(shù) w=u（ x， y） +iv（ x， y） 柯西黎曼條件 解析函數(shù) x v y u y v x u , 解析函數(shù)的實部和虛部都是 調(diào)和函數(shù) i2 復變函數(shù) 2 復變函數(shù)的可導性 02 2 2 2 y ux u02 2 2 2 y vx v 保角變換 i2 復變函數(shù) 3 通過函數(shù) w=f（ z） 將平面點的集合 g轉(zhuǎn)換為另 一個平面（ w平面）點的集合 G 。 變換 映射 解析函數(shù) w=f（ z） 在點 zo所實現(xiàn)的變換 點 zo處的 所有線素皆按同一比例伸長 任意兩個曲線之間的交角保持不變 柯

7、西積分公式 )(d)( i2 1 zft zt tf c z為 C外的任一點， 則 0d)( i2 1 c t zt tf f（ t） 在區(qū)域 S內(nèi)處處解析， C為 S內(nèi)的任一閉 曲線，它的內(nèi)部完全屬于 S， z為包含在 C內(nèi)的 任一點 ，則 i2 復變函數(shù) 4 如 f（ t）在區(qū)域 S外，包括無窮遠點處處解析， C為 S內(nèi)的任一閉曲線，它的內(nèi)部完全屬于 S， z 為包含在 C內(nèi)的任一點， )(d)( i2 1 ft zt tf c i2 復變函數(shù) 5 附錄 3 變分法概要 泛函與泛函極值 歐拉方程 自然邊界條件 泛函運算 泛函和泛函的極值 泛函 其值倚賴于其它一個或者幾個函數(shù) 函數(shù)的函數(shù) 變

8、分法 泛函極值 泛函極值條件 J=0 2J0，則 J 0，泛函 J y為極小值； 2J0，則 J 0，泛函 J y為極大值。 i3 變分法 1 泛函極值的必要條件 歐拉方程 0d)( 2 1 x x xyyFyyFJ 變分 y和 y不是獨立無關的，因此 2 1 2 1 2 1 2 1 d) ( d d d) d d d x x x x x x x x xy y F x y y Fxy xy Fxy y F （ 2 1 2 1 d)(dd x x x x xyy F xy Fy y FJ 在 x=x1和 x=x2時， J=0 2 1 d)(dd x x xyyFxyFJ i3 變分法 2 0)(

9、dd yFxyF 歐拉方程僅僅是泛函極值存在的必要條件 確定泛函 J為極大值或者極小值，還需要判斷 其二階變分 2J大于 0還是小于 0。 由于 在區(qū)間（ x1， x2）是 x的任意函數(shù)，所以上 式成立的必要條件為積分函數(shù)在區(qū)間（ x1， x2） 內(nèi)為零。 i3 變分法 3 自然邊界條件 如自變函數(shù)在邊界的數(shù)值不能確定，則 0)(,0)( 21 xyxy 對于可變邊界問題，首先必須滿足邊界不變 的極值條件。 為滿足極值條件，歐拉方程仍舊必須滿足。 邊界變化的泛函極值問題 0 ,0 21 xxxx y F y F i3 變分法 4 泛函變分的基本運算法則 泛函變分運算與微分運算法則基本相同 21

10、21 )( FFFF 211221 )( FFFFFF )( 1 )( 21122 22 1 FFFF FF F FnFF nn 1)( i3 變分法 5 第二章 應力狀態(tài) 研究對象 三維彈性體 微分單元體入手 超靜定問題 靜力平衡、幾何變形和本構(gòu)關系等三方面 的條件 本章從靜力學觀點出發(fā)，討論一點的應力 狀態(tài)，建立平衡微分方程和邊界條件。 目錄 2.1 體力和面力 2.2 應力與應力張量 2.3 二維應力狀態(tài)與平衡微分方程 2.4 應力狀態(tài)的描述 2.5 邊界條件 2.6 主應力與應力主方向 2.7 應力球張量和球應力偏張量 2.1 體力和面力 物體外力 分為兩類 體力 面力 體力和面力分別

11、為物體單位體積或者單位面 積的載荷。 2.2 應力與應力張量 內(nèi)力 外界因素作用下，物體內(nèi)部各個部 分之間的相互作用力。 附加內(nèi)力 應力 應力矢量 pn隨截面的法線方向 n的方向改變而變化 SS Fp lim 0 n 應力狀態(tài) 一點所有截面應力矢量的集合。 顯然，彈性體內(nèi)某確定點各個截面的應力 應力狀態(tài)必然存在一定的關系。 應力狀態(tài)分析 討論一點截面方位改變引起 的應力變化趨勢。 應力狀態(tài)對于結(jié)構(gòu)強度是十分重要的。 準確描述應力狀態(tài)，合理的應力參數(shù)。 為了探討各個截面應力的變化趨勢，確定可以 描述應力狀態(tài)的參數(shù)，通常將應力矢量分解 。 2.2 應力 2 應力矢量 沿坐標分解 沒有工程意義 正應

12、力和切應力 正應力 n與 切應力 n 與結(jié)構(gòu)強度關系密切 根據(jù)截面方位不能完全確定切應力 應力分量 應力張量 應力張量 可以描述一點 應力狀態(tài) 2.2 應力 3 333231 232221 131211 zzyzx yzyyx xzxyx ij 應力張量 應該注意 應力分量是標量 箭頭僅是說明方向 2.2 應力 4 2.3 平衡微分方程 平衡 物體整體平衡，內(nèi)部任 何部分也是平衡的。 對于彈性體，必須討論 一點的平衡。 微分平行六面體單元 平衡微分方程 切應力互等定理 jiij 0, bjiij F 0 bxzxyxx Fzyx 0 0 bz zyzz by zyyxy F zyx F zyx

13、 2.5 平衡方程 2 2.4 應力狀態(tài) 如果應力張量能夠描述一點的應力狀態(tài)，則 1.應力張量可以描述其它應力參數(shù)； 2. 坐標變換與應力張量關系； 3. 最大應力及其方位的確定。 公式表明：已知應力張量，可以確定任意方位 微分面的應力矢量。 當然可以確定正應力 n與切應力 n。 jiji np 應力矢量與應力分量的關系 2.4 應力狀態(tài) 2 應力不僅隨位置改變而 變化，而且隨截面方位 改變而變化。 同一點由于截面的法線 方向不同，截面上的應 力也不同。 討論應力分量 在坐標變 換時的變化規(guī)律 。 2.4 應力狀態(tài) 3 任意斜截面的應力 轉(zhuǎn)軸公式 應力分量 滿足 張量 變化規(guī)則 應力張量 為二

14、階對稱張量 轉(zhuǎn)軸公式表明：新坐標系下的六個應力分 量可通過原坐標系的應力分量確定。 應力張量 可以確定一點的 應力狀態(tài) 。 坐標軸轉(zhuǎn)軸后，應力分量發(fā)生改變。但是 作為整體所描述的 應力狀態(tài)沒有變化 。 2.4 應力狀態(tài) 4 jjiiijji nn 平面應力狀態(tài)轉(zhuǎn)軸公式 彈性力學以坐標系定義應力分量； 材料力學以變形效應定義應力分量。 正應力二者定義沒有差異 而切應力定義方向不同 2.4 應力狀態(tài) 5 )s i n( c o ss i nc o s)( )s i n( c o s2c o ss i n )s i nc o s2s i nc o s 22 1 22 22 xyyxyx xyyxy

15、xyyxx 2.5 邊界條件 彈性體的表面，應力分量必須與表面力滿足面 力邊界條件，維持彈性體表面的平衡。 邊界面力已知 面力邊界 S iijsj nF 面力邊界條件 確定的是彈性體表面外力與彈性體內(nèi)部趨近于 邊界的應力分量的關系。 2.5 邊界條件 2 面力邊界條件 描述彈性體表面的平衡， 平衡微分方程 描述彈性體內(nèi)部的平衡。 這種平衡只是 靜力學可能的平衡 。 真正處于平衡狀態(tài)的彈性體，還必須滿足 變形連續(xù)條件 。 2.5 邊界條件 3 位移邊界條件 邊界位移已知 位移邊界 Su 位移邊界條件 就是彈性體表面的 變形協(xié)調(diào) 彈性體臨近表面的位移與已知邊界位移相等 wwuvuu 2.5 邊界條

16、件 4 混合邊界條件 彈性體邊界 S S Su 部分邊界位移已知 位移邊界 Su 部分邊界面力已知 面力邊界 S 不論是 面力邊界條件 ， 位移邊界條件 ， 還是 混合邊界條件 ，任意邊界的邊界條件 數(shù)必須等于 3個。 2.6 主應力與應力主方向 轉(zhuǎn)軸公式 描述了應力隨坐標轉(zhuǎn)動的變化規(guī)律 結(jié)構(gòu)強度分析需要簡化和有效的參數(shù) 最大正應力 、 最大切應力 以及 方位 主應力 和 主平面 應力狀態(tài)分析重要參數(shù) 應力不變量 進一步探討 應力狀態(tài) 主應力 和 主平面 主應力分析 0)( 0)( 0)( nml nml nml zyzxz yzyxy xzxyx 關于 l， m， n的 齊次線性 方程組 ，

17、 非零解的條件為方程組的 系數(shù)行列式等于零，即 0 zzyzx yzyyx xzxyx 2.6 主應力 2 展開 032213 III 032213 III zyxI 1 其中： 主元之和 ij 222 2 xzyzxyxzzyyxI 代數(shù)主子式之和 zzyzx yzyyx xzxyx I 3 應力張量元素 構(gòu)成的行列式 主應力特征方程 2.6 主應力 3 應力狀態(tài)特征方程 確定彈性體內(nèi)部任意一點主應力和應力 主軸方向 。 主應力和應力主軸方向取決于載荷 、 形狀和 邊界條件等 ， 與坐標軸的選取無關 。 因此 ， 特征方程的根是確定的 ， 即 I1、 I2、 I3 的值是不隨坐標軸的改變而變

18、化的 。 I1、 I2、 I3 分別稱為應力張量的 第一 、 第二 和第三 不變量 。 2.6 主應力 4 特征方程有三個實數(shù)根 1， 2， 3分別表示這三個根 ， 代表某點三個 主應力 。 對于 應力主方向 ， 將 1， 2， 3分別代入 和 l2+m2+n2=1 則可求應力主方向 。 0)( 0)( 0)( nml nml nml zyzxz yzyxy xzxyx 2.6 主應力 5 主應力 和 應力主方向 取決于結(jié)構(gòu)外 力和約束條件，與坐標系無關。 因此特征方程的三個根是確定的。 特征方程的三個根，即一點的三 個主應力均為 實數(shù) 。 根據(jù)三次方程性質(zhì)可以證明。 任意一點三個應力主方向是

19、相互 垂直的 三個應力主軸正交的。 應力不變量性質(zhì) 坐標系的改變導致應力張量各分量變化，但應 力狀態(tài)不變。 應力不變量 正是對應力狀態(tài)性質(zhì)的描述 。 2.6 主應力 6 不變性 實數(shù)性 正交性 主應力正交性證明： 下面證明下述結(jié)論： 1. 若 1 2 3， 特征方程無重根； 應力主軸必然相互垂直 ； 2. 若 1 2 3， 特征方程有兩重根； 1和 2的方向必然垂直于 3的方向 。 而 1和 2的方向可以是垂直的 ， 也可以不垂直； 3. 若 1=2=3， 特征方程有三重根； 三個應力主軸可以垂直 ， 也可以不垂直 ， 任何方向都是應力主軸 。 2.6 主應力 7 設 1， 2， 3 的方向分

20、別為 （ l1， m1， n1） ， （ l2， m2， n2） 和 （ l3， m3， n3） ，則 0)( 0)( 0)( 1111 1111 1111 nml nml nml zyzxz yzyxy xzxyx 0)( 0)( 0)( 2222 2222 2222 nml nml nml zyzxz yzyxy xzxyx 0)( 0)( 0)( 3333 3333 3333 nml nml nml zyzxz yzyxy xzxyx 分別乘以 l2， m2， n2 分別乘以 -l1,-m1,-n1 六式相加，可得 0)( 21212121 nnmmll 0)( 0)( 31313113

21、 33323232 nnmmll nnmmll 2.6 主應力 8 0)( 21212121 nnmmll 0)( 0)( 31313113 33323232 nnmmll nnmmll 如果 1 2 3 0 0 0 313131 323232 212121 nnmmll nnmmll nnmmll 3個應力 主方向相 互垂直 如果 1=2 3 0 0 313131 323232 nnmmll nnmmll 212121 nnmmll 可以等于零，也 可以不等于零。 3與 1和 2的方向垂直 ， 而 1和 2的方向可以垂直或不垂直 。 3的垂直方向都是 1和 2的應力主向 。 2.6 主應力

22、9 如果 1=2=3 則 l1l2+m1m2+n1n2 l2l3+m2m3+n2n3 l1l3+m1m3+n1n3 均可為零或者不為零。 任何方向都是應力主方向。 因此問題可證 。 1.若 1 2 3， 應力主軸必然相互垂直； 2.若 1 2 3， 1和 2必然垂直于 3。 而 1 和 2可以是垂直的 ， 也可以不垂直； 3. 若 1=2=3， 任何方向都是應力主軸 。 2.6 主應力 10 主應力是一點所有微分面上最大或最小的 正應力。 主應力和主平面分析確定最大正應力及其 作用方位； 最大切應力的確定。 討論任意截面正應力和切應力的變化趨 勢 應力圓 。 最大切應力以及方位的確定。 2.6

23、 主應力 11 正應力和切應力 分析 1 2 3 應力圓 最大切應力方位 2.6 主應力 12 2.7 應力球張量和應力偏張量 應力張量的分解 應力球量改變單元 體體積， 應力偏量改變單元 體形狀。 ijiiij s m m m m m 00 00 00 ii 333231 232221 131211 sss sss sss s mzzyzx yzmyyx xzxymx ij )(31m zyx 八面體單元 1 321 2 8 3 1 )( 3 1 )( 3 1 I n zyx ii 2 2 1 133221 2 321 2 13 2 32 2 218 62 3 1 )(6)(2 3 1 )(

24、)()( 3 1 II 43 2 rd 2.7 應力分解 2 第三章 應變狀態(tài) 物體變形 位移與應變的基本關系幾何方程 應變狀態(tài)分析 位移的單值連續(xù)性質(zhì) 目錄 3.1 變形與應變概念 3.2 主應變與主應變方向 3.3 應變協(xié)調(diào)方程 3.1 變形與應變概念 由于 外部因素 物體內(nèi)部各點空間位置發(fā)生變化 位移形式 剛體位移 ： 物體內(nèi)部各點位置變化，但仍保 持初始狀態(tài)相對位置不變。 變形位移 ： 位移不僅使得位置改變，而且改 變了物體內(nèi)部各個點的相對位置。 載荷或溫度變化 位移 位移 u， v， w是 單值連續(xù)函數(shù) 進一步分析位移函數(shù)具有連續(xù)的三階導數(shù) 一點的變形 通過 微分六面體單元 描述 微

25、分單元體的變形 ， 分為兩部分討論 正應變 棱邊的伸長和縮短 切應變 棱邊之間夾角 （ 直角 ） 改變 3.1 變形 2 x w z u z v y w y u x v z w y v x u zxyzxy zyx 幾何方程 位移分量和應變分量之間的關系 幾何方程 又稱 柯西方程 微分線段伸長 正應變大于零 微分線段夾角縮小 切應變分量大于零 3.1 變形 3 幾何方程 位移導數(shù)表示的應變 應變描述一點的變形，但還不足以完全描述 彈性體的變形 原因是沒有考慮單元體位置的改變 單元體的 剛體轉(zhuǎn)動 剛性位移可以分解為平動與轉(zhuǎn)動 剛性轉(zhuǎn)動 變形位移的一部分 ，但是不產(chǎn) 生變形。 3.1 變形 4 z

26、 y x z y x w v u zzyzx yzyyx xzxyx xy xz yz d d d 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 d d d 0 0 0 d d d 微分單元體的剛性轉(zhuǎn)動與協(xié)調(diào)相關 )(21,)(21,)(21 yuxvxwzuzvyw zyx 轉(zhuǎn)動矢量 描述微分單元體的剛性轉(zhuǎn)動 轉(zhuǎn)動分量 剛體轉(zhuǎn)動 位移增量 變形位移增量 位移增量是由兩部分組成的 3.1 變形 5 變形通過應變描述 坐標變換時，應變分量是 隨之坐標改變而變化 。 應變分量的轉(zhuǎn)軸公式 應變張量 3.2 主應變與主應變方向 應變狀態(tài) ijjjiiji nn 333231 232221 13121

27、1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 zzyzx yzyyx xzxyx ij 應變張量一旦確定，則任意坐標系下的應變 分量均可確定。因此應變狀態(tài)就完全確定。 坐標變換后各應變分量均發(fā)生改變，但作為 一個整體，所描述的應變狀態(tài)并未改變。 主應變 與 應變主軸 切應變?yōu)?0的方向 應變主軸方向的正應變 應變主軸 主應變 3.2 主應變 2 0)( 2 1 2 1 0 2 1 )( 2 1 0 2 1 2 1 )( nml nml nml zyzxz yzyxy xzxyx 應變狀態(tài)特征方程 l， m， n齊次線性方程組 非零解的條件 為方程系 數(shù)行列式的值為零 0 2 1 2 1

28、2 1 2 1 2 1 2 1 zzyzx yzyyx xzxyx 032213 JJJ 展開 3.2 主應變 3 主應變確定 應變主軸方向變形 應變不變量 ij zxyzxyxzxyyx zyxii J J J 3 222 2 1 )( 4 1第一，第二和第三應變不變量 一點的應變狀態(tài)與坐標系選取無關，因此坐 標變換不影響應變狀態(tài)是確定的。 應變不變量就是應變狀態(tài)性質(zhì)的表現(xiàn) 3.2 主應變 4 應力張量 應變張量 應力不變量 應變不變量 主應變和應變主軸與主應力和應力主軸的特性 類似 各向同性材料，應力主軸和應變主軸是重合的 公式比較 3.2 主應變 5 體積應變 彈性體一點 體積的改變量

29、引入體積應變有助于 簡化公式 解釋 3.2 主應變 6 .zwyvxu zyxV VV * 3.3 應變協(xié)調(diào)方程 數(shù)學意義 ： 幾何方程 6個應變分量通過 3個位移分量 描述 力學意義 變形連續(xù) 彈性體任意一點的變形必須受到其相鄰單元 體變形的約束 例 3-1 設 x 3x, y 2y, xy xy, z xz yz 0, 求其位移 。 解 ： )(23 2 yfxu 顯然該應變分量沒有對應的位移。 要使這一方程組不矛盾，則六個應變分量必 須滿足一定的條件。以下我們將著手建立這 一條件。 xxux 3 yyvy 2 )(2 xgyv xyxgyfyuxvxy )()( 3.3 應變協(xié)調(diào) 2 要

30、使幾何方程求解位移時方程組不矛盾， 則六個應變分量必須滿足一定的條件。 從幾何方程中消去位移分量， 第一式和第 二式分別對 y和 x求二階偏導數(shù)，然后相加 可得 )( 2 2 2 2 2 y u x v yxyx xy yx xy 2 3.3 應變協(xié)調(diào) 3 將幾何方程的四，五，六式分別對 z， x， y求一階偏導數(shù) 前后兩式相加并減去中間一式，則 zy u zyx xyxzyz 22 對 x求一階偏導數(shù)，則 zyzyxx xxyxzyz 22)( 分別輪換 x,y,z，則可得如下六個關系式 3.3 應變協(xié)調(diào) 4 將幾何方程的四，五，六式分別對 z， x， y求一階偏導數(shù) 前后兩式相加并減去中間

31、一式，則 yxzyxz zxzyxy zyzyxx zxxz zyzy yxyx z xy xz yz yxy xz yz x xy xz yz xzzx yzy z xy x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)( 2)( 2)( 應變協(xié)調(diào)方程 圣維南 （ Saint Venant） 方程 3.3 應變協(xié)調(diào) 5 變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學意義 使 3個位移為未知函數(shù)的六個幾何方程不相 矛盾。 變形協(xié)調(diào)方程的物理意義 物體變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，如 變形不滿足一定的關系，變形后的單元體將 不能重新組合成連續(xù)體，其間將產(chǎn)生縫隙或 嵌入現(xiàn)象。 為使變形后

32、的物體保持連續(xù)體，應變分量必 須滿足一定的關系。 3.3 應變協(xié)調(diào) 6 證明 應變協(xié)調(diào)方程是變形連續(xù)的 必要和 充分條件 。 變形連續(xù)的物理意義 ， 反映在數(shù)學上則要求位 移分量為單值連續(xù)函數(shù) 。 目標 如果應變分量滿足應變協(xié)調(diào)方程 ， 則 對于 單連通域 ， 就可以通過幾何方程積分求得 單值連續(xù)的位移分量 。 利用位移和轉(zhuǎn)動分量的全微分 ， 則 zzyyxx xxxx dddd zyxzzuyyuxxuu yxzzxyx d)21(d)21(ddddd 輪換 x , y, z，可得 du， dv和 dy， dz 3.3 應變協(xié)調(diào) 7 如通過積分，計算出 z z y y x x z z y y

33、 x x z z y y x x zyxww zyxvv zyxuu zzz PP zz yyy PP yy xxx PP xx xxyzyxz PP xyzyzxy PP yxzzxyx PP 0 ddd ddd ddd dd) 2 1 (d) 2 1 ( d) 2 1 (dd) 2 1 ( d) 2 1 (d) 2 1 (d 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 是單值連續(xù)的，則問題可證。 保證單值連 續(xù)的條件是 積分與積分 路徑無關 3.3 應變協(xié)調(diào) 8 ) 2 1 () 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 () 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( )

34、2 1 () 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( yxzxyz xyz z yxz z xyzzxy zxy y xyz y zxyyxz yxz x zxy x yx zy zx xz yx yz zy xy xy 根據(jù)格林公式 zyzy zyxyxz )( 2 1 zyz zyy yzzx yyzx 2 1 2 1 )(21 zyx xyxzx 回代 3.3 應變協(xié)調(diào) 9 )()(21 yuxvzxwzuy xz v y w x x )( 2 1 zzyyzyxzy yzzyyzxyxz PP xx d)2 1(d) 2 1(d)( 2 1 0 0 回代到第四式 x單值連續(xù)的必要與

35、充分條件是 ) 2 1 () 2 1 ( ) 2 1 ()( 2 1 zyzzyy zyxzyy yyzyzz yyzxyxz zxzyxy zyzy yxyxyzyz yzyz 2 2 2 2 2 2 2)( 同理討論 y， z的單值連續(xù)條件，可得其它 4 式 變形協(xié)調(diào)方程。 由此可證變形協(xié)調(diào)方程是單連通域位移單值連 續(xù)的必要和充分條件。 3.3 應變協(xié)調(diào) 10 變形協(xié)調(diào)方程 單連通域位移單值連續(xù)的必要和充分條件 多連通域位移單值連續(xù)的必要條件 充分條件是位移的連續(xù)補充條件 3.3 應變協(xié)調(diào) 11 位移邊界條件 應變滿足 變形協(xié)調(diào)方程 ，保證彈性體內(nèi)部 的變形單值連續(xù)。 邊界變形協(xié)調(diào)要求邊界

36、位移滿足 位移邊界 條件。 位移邊界條件 臨近表面的位移或和變 形與已知邊界位移或變形相等 。 3.3 應變協(xié)調(diào) 12 如果物體表面的位移已知 ， 稱為位移邊界 位移邊界用 Su表示 。 如果物體表面的位移 已知 邊界條件 為 , wvu 稱為位移邊界條件 wwvvuu 3.3 應變協(xié)調(diào) 13 設物體表面為 S 位移已知邊界 Su 面力已知邊界 S 則 S Su S 彈性體的整個邊界，是由面力邊界和位移邊 界構(gòu)成的。 任意一段邊界，可以是面力邊界，或者位移 邊界。 面力邊界和位移邊界在一定條件下是可以轉(zhuǎn) 換的，例如靜定問題。 3.3 應變協(xié)調(diào) 14 某些問題 ， 邊界部分位移已知 ， 另一部分

37、面 力已知 ， 這種邊界條件稱為 混合邊界條件 。 不論是面力邊界條件 ， 位移邊界條件 ， 還是 混合邊界條件 ， 彈性體任意邊界的邊界條件 數(shù)目不能超過或者少于 3個 ， 必須等于 3個 。 3.3 應變協(xié)調(diào) 15 第四章 應力應變關系 靜力平衡和幾何變形 通過具體物體的材料性質(zhì)相聯(lián)系 材料的應力應變的內(nèi)在聯(lián)系 材料固有特性，因此稱為物理方程 或者本構(gòu)關系 目錄 4.1 廣義胡克定理 4.2 拉梅常量與工程彈性常數(shù) 4.3 彈性體的應變能函數(shù) 應力應變關系屬于材料性能 稱為 物理方程 或者 本構(gòu)方程 單向拉伸或者扭轉(zhuǎn)應力應變關系可以通過 實驗確定 復雜應力狀態(tài) 難以通過實驗確定 4.1 廣

38、義胡克定義 廣義胡克定理 材料 應力應變一般關系 xzyzxyzyxxz xzyzxyzyxyz xzyzxyzyxxy xzyzxyzyxz xzyzxyzyxy xzyzxyzyxx CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC 666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 工程材料，應力應變關系受到一定的限制 一般金屬材料為各向同性材料 復合材料 在工程中的應用日益廣泛 4.1 胡克定理 2 彈性體變形過程的功與能 能量守恒是一個物理學重要原

39、理 利用能量原理可以使得問題分析簡化 能量原理的推導是多樣的，本節(jié)使用熱力 學原理推導。 外力作用 彈性體變形 變形過程外力作功 彈性體內(nèi)的能量也發(fā)生變化 4.1 胡克定理 3 根據(jù)熱力學概念 絕熱過程 格林公式 等溫過程 彈性體的 應變能函數(shù) 表達式 內(nèi)能等于應變能 4.1 胡克定理 4 xz xz yz yz xy xy z z y y x x UUUUUU 000000 , )(210 xzxzyzyzxyxyzzyyxxU 工程材料 各向同性材料 各向異性材料 金屬材料 完全各向異性 彈性對稱面 一個彈性對稱面 21個彈性常數(shù) xzxyxz yzzyxyz xzxyxy yzzyxz

40、yzzyxy yzzyxx CC CCCC CC CCCC CCCC CCCC 6664 55535251 4644 35333231 25232221 15131211 13個彈性常數(shù) 4.1 胡克定理 5 兩個彈性對稱面 xzxz yzyz xyxy zyxz zyxy zyxx C C C CCC CCC CCC 66 55 44 333231 232221 131211 9個彈性常數(shù) 相互垂直的 3個平面中有 兩個彈性對稱面， 第三個必為彈性對稱面 拉壓與剪切變形 不同平面內(nèi)的剪切之間 稱為 正交各向異性 正應力僅與正應變有關； 切應力僅與對應的切應變 有關。 沒有耦合作用 4.1 胡

41、克定理 6 物理意義 物體各個方向上的彈性性質(zhì) 完全相同，即物理性質(zhì)的完全對稱。 數(shù)學反映 應力和應變關系在所有方位 不同的坐標系中都一樣。 金屬材料 各向同性彈性體，是最常見 的工程材料。 彈性力學主要討論各向同性材料。 各向同性彈性體 4.1 胡克定理 7 根據(jù) 正交各向異性本構(gòu)關系 1. 各向同性材料沿 x， y和 z座標軸的的彈性性 質(zhì)相同； 2. 彈性性質(zhì)與座標軸的任意變換方位也無關 各向同性材料廣義胡克 （ Hooke） 定理 xzxzzz yzyzyy xyxyxx ,2 ,2 ,2 ijijkkij 2 , 稱為 拉梅 （ Lame） 彈性常數(shù) 4.1 胡克定理 8 應力表示本

42、構(gòu)方程 G G G vv E v E vv E v E vv E v E xz xz yz yz xy xy zyxzz yzxyy xzyxx )1( 1 )( 1 )1( 1 )( 1 )1( 1 )( 1 E為 彈性模量 G為 剪切彈性模量 v為 橫向變形系數(shù) 泊松比 4.2 拉梅常量與工程彈性常數(shù) 楊 泊松 4.2 彈性常數(shù) 2 工程彈性常數(shù)與拉梅彈性常數(shù)之間的關系為 GvE ,)(2,)22( 兩個獨立的彈性常數(shù) )1(2 v EG 實驗測定： 單向拉伸實驗可以測出彈性模量 E 薄壁管扭轉(zhuǎn)實驗可以測定剪切彈性模量 G 4.2 彈性常數(shù) 3 各向同性材料 主應力狀態(tài) 對應的切應力分量均

43、為零。 所有的切應變分量也為零。 所以，各向同性彈性體 應力主軸同時又是應變主軸 應力主方向和應變主方向是重合的 4.2 彈性常數(shù) 4 以應力主軸為坐標軸，則對應的切應力分量均應為零。 應變能 4.3 彈性體的應變能函數(shù) )(210 xzxzyzyzxyxyzzyyxxU )( 2 )()(2( 2 1 222 222 0 xzyzxy zxzyyxzyxU 應變表示的應變能函數(shù) )(1(2 )(2 2 1 222 222 0 xzyzxy zxzyyxzyxEU 應力表示的應變能函數(shù) 泊松比 恒小于 1，所以 U0恒大于零。 單位體積的應變能總是正的。 4.3 應變能 2 第五章 彈性力學邊

44、值問題 本章任務 總結(jié)對彈性力學基本方程 討論求解彈性力學問題的方法 目錄 5.1 彈性力學基本方程 5.2 問題的提法 5.3 彈性力學問題的基本解法 解的唯一性 5.4 圣維南局部影響原理 5.5 疊加原理 總結(jié)彈性力學基本理論； 討論已知物理量、基本未知量；以及物 理量之間的關系 基本方程和邊界條 件。 5.1 彈性力學基本方程 彈性力學基本方程 1. 平衡微分方程 0 0 0 bz zyzz by zyyxy bx zxyxx F zyx F zyx F zyx 0, bjiij F 2. 幾何方程 x w z u z v y w y u x v z w y v x u zxyzxy

45、zyx , , ),(21 ijjiij uu 5.1 基本方程 2 3. 變形協(xié)調(diào)方程 yxzyxz zxzyxy zyzyxx zxxz zyzy yxyx z xy xz yz yxy xz yz x xy xz yz xzzx yzy z xy x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)( 2)( 2)( 位移作為基本未知 量時，變形協(xié)調(diào)方 程自然滿足。 5.1 基本方程 3 3.本構(gòu)方程 廣義胡克定律 應力表示 應變表示 G G G vv E v E vv E v E vv E v E xz xz yz yz xy xy zyxzz yzxy

46、y xzyxx )1( 1 )( 1 )1( 1 )( 1 )1( 1 )( 1 xzxz yzyz xyxy zz yy xx 2 2 2 基本方程： 平衡微分方程 ； 幾何方程 和 本 構(gòu)方程 以及 變形協(xié)調(diào)方程 。 5.1 基本方程 4 邊界條件 若物體表面的面力分量為 Fsx、 Fsy和 Fsz已知 則 面力邊界條件 為： nmlF nmlF nmlF zyzxzsz zyyxysy xzxyxsx jijsi nF 若物體表面的位移 已知 ， 則 位移邊界 條件 為 wvu , wwvvuu , 若物體部分表面面力和部分表面位移已知 ， 則 為 混合邊界條件 5.1 基本方程 5 總

47、結(jié)： 彈性力學 基本方程和邊界條件 5.1 基本方程 6 彈性力學的任務就是在給定的邊界條件下 ， 就十五個未知量求解十五個基本方程 。 求解彈性力學問題時 ， 并不需要同時求解十 五個基本未知量 ， 可以做必要的簡化 。 為簡化求解的難度 ， 僅選取部分未知量作為 基本未知量 。 5.2 問題的提法 在給定的邊界條件下 ， 求解偏微分方程組 的問題 ， 數(shù)學上稱為偏微分方程的邊值問題 。 按照不同的邊界條件 ， 彈性力學有三類邊 值問題 。 第一類邊值問題 ： 已知彈性體內(nèi)的體力和 其表面的面力分量為 Fsx、 Fsy和 Fsz， 邊界條 件為 面力邊界條件 。 第二類邊值問題 ： 已知彈性

48、體內(nèi)的體力分 量以及表面的位移分量 ， 邊界條件為 位移邊 界條件 。 5.2 問題提法 2 第三類邊值問題 ： 已知彈性體內(nèi)的體力分 量，以及物體表面的部分位移分量和部分面 力分量，邊界條件在面力已知的部分，為面 力邊界條件，位移已知的部分為位移邊界條 件。稱為 混合邊界條件 。 以上三類邊值問題，代表了一些簡化的實 際工程問題。 若不考慮物體的剛體位移，則三類邊值問 題的解是唯一的。 5.2 問題提法 3 位移解法 以位移函數(shù)作為基本未知量 應力解法 以應力函數(shù)作為基本未知量 混合解法 以部分位移和部分應力分量作為基 本未知量 5.2 問題提法 4 5.3 彈性力學問題基本解法 解的唯一性

49、 選取 位移函數(shù) 作為基本未知量求解的方法 稱為 位移解法 。 主要工作： 利用位移函數(shù) u,v,w表達其他未知量； 推導位移函數(shù)描述的基本方程 位移表達的平衡微分方程 wwvvuu , 位移解法的基本未知量為 3個 位移函數(shù) 基本方程為 3個 拉梅方程 對于位移邊界條件，位移解法是十分的合 適的。 0)( 0)( 0)( b 2 b 2 b 2 z y x Fw z Fv y Fu x 0)( b2, iiikk Fu 5.3 基本解法 2 )()( )()( )()( n z w m y v l z u n z w m y w l x w nF n y w m y v l y u n z

50、v m y v l x v mF n x w m x v l x u n z u m y u l x u lF sz sy sx iijjjiikkbi nununF , 但是位移函數(shù)表達的面力邊界條件十分繁雜 這一邊界條件幾乎不可能實現(xiàn) 5.3 基本解法 3 總之，位移解法以位移為基本未知函數(shù)， 歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解位移表示 的平衡微分方程，即 拉梅方程 。 位移分量求解后，可通過幾何方程和物理 方程求出相應的應變分量和應力分量。 5.3 基本解法 4 應力函數(shù)作為基本未知量求解的方法 稱為 應力解法 應力解法的基本方程 1. 平衡微分方程 2. 變形協(xié)調(diào)方程 應力解法綜述 5.3

51、基本解法 5 應力解法的基本未知量為 6個應力分量； 基本方程為 3個平衡微分方程和 6個變形協(xié) 調(diào)方程。 應力解法適用于面力邊界條件。 總而言之，在以應力函數(shù)作為基本未知量 求解時，歸結(jié)為在給定的邊界條件下，求 解平衡微分方程和應力表達的變形協(xié)調(diào)方 程所組成的偏微分方程組。 5.3 基本解法 6 混合解法 根據(jù)問題性質(zhì)和邊界條件，選擇不同的基本 未知量求解稱為 混合解法 。 5.3 基本解法 7 解的唯一性原理 彈性體受已知體力作用。在物體的邊界上， 或者面力已知；或者位移已知；或者一部分 面力已知，另一部分位移已知。則彈性體平 衡時，體內(nèi)各點的應力和應變是唯一的，對 于后兩種情況，位移也是

52、唯一的。 證明 1 2 5.3 基本解法 8 彈性力學的基本未知量位移、應力和應變 等在體力為常量時具有一些特性。 掌握這些特性，可以幫助我們分析彈性力 學問題。 物理量特性 體力為常量時一些物理量的特性 5.3 基本解法 9 02 02 022 iu 00 2222 ijij 體力為常量，體積應力和體積應變均 滿足拉普拉斯（ Laplace)方程。 體積應力函數(shù)和體積應變函數(shù)為調(diào)和 函數(shù)。 位移分量，應變分量和應力分量均滿 足雙調(diào)和方程， 位移分量，應變分量和應力分量為雙 調(diào)和函數(shù)。 5.3 基本解法 10 局部影響原理 物體任意一個小部分作用 一個平衡力系，則該平衡 力系在物體內(nèi)部所產(chǎn)生的

53、 應力分布，僅局限于力系 作用的附近區(qū)域。在距離 該區(qū)域相當遠處，這種影 響便急劇減小。 證明 1 2 5.4 圣文南原理 解的疊加原理 小變形線彈性條件下，作用于物體的若 干組載荷產(chǎn)生的總效應（應力和變形等）， 等于每組載荷單獨作用效應的總和。 5.5 疊加原理 逆解法 根據(jù)問題的性質(zhì) ， 確定基本未知量 和相應的基本方程 ， 并且假設一組滿足 全部基本方程的應力函數(shù)或位移函數(shù) 。 然后在確定的坐標系下 ， 考察具有確定 的幾何尺寸和形狀的物體 ， 其表面將受 什么樣的面力作用或者將有什么樣的位 移 。 5.5 疊加原理 2 半逆解法 對于給定的彈性力學問題 ， 根據(jù)彈性 體的幾何形狀 ，

54、受力特征和變形特點 ， 或 已知簡單結(jié)論 ， 如材料力學解 ， 假設部分 應力分量或者部分位移分量的函數(shù)形式為 已知 ， 由基本方程確定其他的未知量 ， 然 后根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系 數(shù) 。 5.5 疊加原理 3 逆解法和半逆解法的應用將在以后的章節(jié)中 介紹，其求解過程帶有 “ 試算 ” 的性質(zhì)。 偏微分方程邊值問題求解困難 難以確定彈性力學問題的解析解 顯然彈性力學解的唯一性定理是逆解法和半 逆解法的理論依據(jù)。 5.5 疊加原理 4 第六章 平面問題 直角坐標解 工程結(jié)構(gòu)的某些特殊形式，經(jīng)過適 當簡化和力學模型的抽象處理，可 以歸結(jié)為彈性力學的平面問題。 例如水壩，受拉薄板等。

55、平面問題的特點是某些基本未知量 被限制在平面內(nèi)發(fā)生的。 目錄 6.1 平面問題的基本方程 6.2 應力函數(shù)逆解法與半 逆解法 6.3 梁的平面彎曲 6.4 三角級數(shù)解 6.1 平面問題的基本方程 平面問題 0)(2 yx 萊維 （ Lvy） 方程 平面應變 平面應力 變形與應力 基本方程 應力解法 基本方程 平衡微分方程 ， 幾何方程 ， 變形協(xié)調(diào)方程以 及面力邊界條件相同 。 平面應力與平面應變的不同主要在本構(gòu)方程 ， 注意到 v v v v E E 1 1 1 21 二者之間的差別只是一個常數(shù)。 因此，不論平面應力還是平面應變問題，若 物體截面形狀及側(cè)面受力相同，則基本方程 和邊界條件相同

56、。 平面問題基本方程 6.1 基本方程 2 v v v v E E 1 1 1 21 注意到 二者未知應力應變關系表 達式只是常數(shù)的不同。 平面應變與平面應力問題的差別 z向位移 w z向正應力 z 正應變分量 )( yxz v w=0 w0 0 )( 1 )( 1 z zxyy zyxx v E v E )( )( 1 )( 1 yxz xyy yxx E v v E v E 0z 6.1 基本方程 3 平面應力問題的近似性 如果物體截面形狀及側(cè)面受力相同，平面 應力和平面應變問題的基本方程和邊界條 件也相同。 因此具有相同的應力解。 但是二者 z方向的正應力不同； 應變和位移表達式不同。

57、平面應力問題 解的近似性 。 6.1 基本方程 4 誤差與板厚的平方成正比。 薄板 問題誤差可以忽略不計 平面應力問題 解的近似性 的理解 無奈的選擇 6.1 基本方程 5 ),(),( f yxzyx f 2 2 )1(2 z 誤差項 6.2 應力函數(shù) 逆解與半逆解法 平面問題應力解的未知函數(shù)為 3個應力分量 求解 2個平衡微分方程和 1個變形協(xié)調(diào)方程 利用 應力函數(shù) 可以簡化為一個未知應力函 數(shù)對應一個 基本方程 yxxy xyyx f2 2 f 2 2 f 2 yx xFyF bb 體力為 0 體力為常數(shù) 應力函數(shù) 使得平面問題歸結(jié)為在給定的邊界 條件下求解 雙調(diào)和方程 。 f（ x,

58、y)稱 艾雷 （ Airy） 應力函數(shù) ， 簡稱 應力函數(shù) 。 6.2 應力函數(shù) 2 02 4 f 4 22 f 4 4 f 4 f 22 yyxx 基本方程 逆解法 基本思想 對于某些矩形邊界并不計體力的平面問 題 ， 分別選用冪次不同的多項式 ， 令其滿足 基本方程雙調(diào)和方程 ， 求出應力分量 ， 并 由邊界條件確定這些應力分量對應邊界上的 面力 ， 從而該應力函數(shù)所能解決的問題 。 利用逆解法了解應力函數(shù)性質(zhì) 。 6.2 應力函數(shù) 3 線性函數(shù) 二次函數(shù) 三次函數(shù) 四次函數(shù) 應 力 函 數(shù) 0應力狀態(tài) 可以刪除 均勻應力狀態(tài) 線性應力狀態(tài) 二次應力狀態(tài) 只有 4個系數(shù)獨立 逆解法 6.2

59、 應力函數(shù) 4 應力函數(shù)的物理意義及邊界條件表示 平面問題的求解有賴于應力函數(shù) 選取應力函數(shù)是求解問題的關鍵 應力函數(shù)的 邊界性質(zhì) 應力函數(shù)與邊界面力 應力函數(shù)的物理意義 6.2 應力函數(shù) 5 B A xB B A yBB sFyysFxx d)(d)( ssf sF x sF y B A yB B A xB d)( d)( s f s f 應力函數(shù)對 y的偏導數(shù)等于邊界由定點到該動 點的 x方向合力。 應力函數(shù)對 x的偏導數(shù)等于邊界由定點到該動 點的 -y方向合力。 邊界上任意點的應力函數(shù)等于由任一定點到該 點的合力對該點的力矩； 上述關系來源于面力邊界條件，因此應力函數(shù) 表達的 3個關系式

60、中只有兩個是獨立的。 6.2 應力函數(shù) 6 6.3 梁的平面彎曲 半逆解法 力學模型 應力函數(shù) 懸臂梁應力 位移與變形 1 2 3 4 5 彈性基礎 對于實際工程問題的邊界條件處理需要考慮 彈性基礎。 懸臂梁 力學模型 應力函數(shù) 應力分析 應力與邊界條件 1 2 彎曲應力分析 簡支梁 6.3 平面彎曲 2 6.4 平面問題 的三角級數(shù)解 多項式應力函數(shù) 連續(xù)的應力 邊界條件的限制 0)( )()()( )()(2)( )( )4()2()2()4( yY yYyYxX yYxXxX xX 對 y求一 階偏導數(shù) 0)( )()( )()( )(2 )4()2()2( yY yYyY yYxX x

61、X 若上式成立，則 2 )2( )4( )2( )( )( 2 )( )( )( )( yY yY yY yY xX xX 其中， 為任意常數(shù) 0)()( 2)2( xXxX 0)( )(2)( )( )2(2)4( yY yYyY yY xKxKxX s inc o s)( 21 K1， K2為任意常數(shù) 6.4 三角級數(shù) 2 三角形水壩 6.4 三角級數(shù) 3 力學模型 邊界條件與應力 水壩應力分析 第六章 平面問題 極坐標解 本質(zhì)上坐標系的選擇并不影響彈性 力學問題的求解。 但是影響邊界條件的描述和表達， 從而關系問題的求解難易程度。 圓形，楔形，扇形等物體，采用極 坐標系求解比較方便。 目

62、錄 6.5 極坐標表示的基本方程 6.6 軸對稱問題 6.7 半無限平面體 6.8 壩體應力 6.9 圓孔孔口應力集中 幾何方程 1 2 6.5 極坐標表示的基本方程 平衡微分方程 1 2 uuu uu u 1 1 0 21 0 1 b b F F 極坐標系位移、應力和應變 應力應變關系 E v G v E v E )1(2 )( 1 )( 1 由于物體是各向同 性的，因此物理方 程與直角坐標的表 達形式相同，只要 將其中的 x和 y換成 和 即可。 平面 應力 問題 平面應變問題，將上式 中的 E， v分別換為 v vv E vE 1 ,1 1 2 1 6.5 極坐標基本方程 2 在直角坐標

63、系中，平面問題以應力形式表達 的變形協(xié)調(diào)方程為 0)(2 yx yx 應力不變量 2 2 2 2 2 yx 轉(zhuǎn)換 Laplace算符 因為 x= cos y= sin x yyx a r c t a n22 c o s 1 1 11 s i n 1 1 1 s i nc o s 2 2 2 22 2222 x yxy x yx y x y yx y y x yx x x c o s 1 s i n s i n 1 c o s yyy xxx 6.5 極坐標基本方程 3 )s i n1) ( c o ss i n1( c o s2 2 x 兩式相加，可得 6.5 極坐標基本方程 4 2 2 2

64、2 2 22 2 2 2 s i nc o ss i n2 s i nc o ss i n2 c o s 2 2 22 22 222 2 2 2 2 c o ss i ns i nc o s c o ss i ns i nc o s c o ss i n y 極坐標系下平面問題的變形協(xié)調(diào)方程變換為 0)(11()( 2 2 22 2 2 f（ ， ） 極坐標形式的應力函數(shù) ) 1 ( 11 11 ff 22 f 2 2 f 2 2 f 2 2 f 如果體力為零，下列應力滿足平衡微分方程 2 2 22 2 2 2 2 2 2 11 yx 6.5 極坐標基本方程 5 0)11)(11( 2 f 2

65、 22 f 2 2 2 22 2 總之，極坐標求解彈性力學平面問題歸結(jié)為在 給定的邊界條件下求解雙調(diào)和方程。 在應力函數(shù)解出后，可以求解應力，應變和位 移分量。 極坐標形式的雙調(diào)和方程 將應力表達式代入變形協(xié)調(diào)方程，有 6.5 極坐標基本方程 6 6.6 軸對稱問題 軸對稱力學模型 展開 0dddddd2dd f2 f 2 2 3 f 3 3 4 f 4 4 引入變換 te 應力軸對稱 應力與 無關 0)dd1dd)(d d1d d( f2 f 2 2 2 變換為 常系數(shù)的微分方程 歐拉方程 0dd4dd4dd 2 f 2 3 f 3 4 f 4 ttt 通解為 DCeB t eAt tt 2

66、2f 注意到 t =ln，則 DCBA 22f lnln 應力分量 0 2)ln23( d d 2)ln21( d d1 22 f 2 2 f CB A CB A 關于原點對稱 軸對稱應力 6.6 軸對稱問題 2 考察軸對稱應力的變形和位移 0 )1(2ln)1(2)3()1( 1 )1(2ln)1(2)31()1( 1 2 2 CvBvBv A v E CvBvBv A v E 應變 軸對稱 0 1 )1(2ln)1(2)3()1( 11 )1(2ln)1(2)31()1( 1 2 2 uuu CvBvBv A v E uu CvBvBv A v E u 代入幾何方程 6.6 軸對稱問題 3 )()1(2 )31()1( l n)1(2)1( 1 fCv BvBv A v E u f（ ） 為 的任意函數(shù) )(4 fEBu )(d)( 4 gfE Bu g（ ） 為 的任意函數(shù) 0d)(1)(d )(dd )(d1 fggf d)(d )(dd )(d)( ffgg 1. 2. 3. 或?qū)懽?6.6 軸對稱問題 4 Ff f F g g d)( d )(d d )(d )( d)(d