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1、高等數(shù)學（下）主講楊益民 2021年 4月 11日星期日 1 高等數(shù)學 北京工商大學 楊益民 高等數(shù)學（下）主講楊益民 2021年 4月 11日星期日 2 第三節(jié) 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 一般地，若曲面 S與三元方程 F(x,y,z)=0 滿足： （ 1）曲面 S上任一點的坐標都滿足方程 F(x,y,z)=0 ； （ 2）不在曲面 S上的點的坐標都不滿足方程 F(x,y,z)=0 ； 則稱：方程 F(x,y,z)=0是曲面 S的方程，而曲面 S就叫做方程 F(x,y,z)=0的圖像。 兩個基本問題 ： （ 2）已知 F(x, y, z) = 0 ，問它表示什么曲面？ （ 1）已知曲面
2、 S，求曲面方程 F(x, y, z) = 0 ？ 高等數(shù)學（下）主講楊益民 2021年 4月 11日星期日 3 一些特殊平面 例 3 方程 表示 什么圖形？ 2 2 2 2 2 4 1 0 0 x y z x y z 用截痕法討論幾種特殊曲面（特別二次曲面） 例 1 求球心在點 半徑為 R的球面方程。 ),( 0000 zyxM 例 2 已知空間兩點 A(1,2,3)， B(2,-1,4)，求線段 AB的垂直平分 面的方程。 一般地，三元二次方程（不含交叉項且平方項系數(shù)相同） 2 2 2 0A x A y A z B x C y D z E 表示空間的一張球面。 高等數(shù)學（下）主講楊益民 2
3、021年 4月 11日星期日 4 z x yo 例 4 方程 的圖形是怎樣的？ 1)2()1( 22 yxz 根據(jù)題意有 1z 用平面 cz 去截圖形得圓： )1(1)2()1( 22 ccyx 當平面 cz 上下移動時，得 到一系列圓 。 圓心在 ),2,1( c ，半徑為 c1 。 半徑隨 c 的增大而增大 。 圖形上不封頂，下封底。 解 c 高等數(shù)學（下）主講楊益民 2021年 4月 11日星期日 5 二、旋轉(zhuǎn)曲面 定義： 以一條平面曲 線繞其平面上的一條 直線旋轉(zhuǎn)一周所成的 曲面稱為 旋轉(zhuǎn)曲面 。 這條曲線和定直線一 次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的 母 線 和 旋轉(zhuǎn)軸 。 播放 高等數(shù)學（下）主講楊
4、益民 2021年 4月 11日星期日 6 例 5 證明以 oz軸為旋轉(zhuǎn)軸， yoz坐標面上的已知曲線 ( , ) 0C: 0 f y z x 為母線所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)曲面 S的方程為： 22( , ) 0f x y z x o z y 證明： 旋轉(zhuǎn)曲面如圖 設 M(x, y, z)為旋轉(zhuǎn)曲面 S上任意一點， 顯然， M一定是由母線 C上某點 M1(0, y1, z1)旋轉(zhuǎn)得到， 1(1 ) ,zz 221( 2 ) | |y x y (0, 0, z) 代入母線方程即得證明。 ( , , )M x y z ),0( 111 zyM 即 ( , ) 0 0 f y z x 高等數(shù)學（下）主講楊益民 2
5、021年 4月 11日星期日 7 22( , ) 0f y x z 注意： ( , ) 0C: 0 f y z x 1. yoz平面上的母線 繞 oz軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面 22( , ) 0f x y z ( , ) 0C: 0 f y z x 2. yoz平面上的母線 繞 oy軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面 ( , ) 0C: 0 f x y z 3. xoy平面上的母線 繞 ox軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面 22( , ) 0f x y z 高等數(shù)學（下）主講楊益民 2021年 4月 11日星期日 8 例 6 求 xoz坐標面的上 雙曲線 C： 分別繞 x軸和 z軸 繞 x 軸旋轉(zhuǎn) 繞 z 軸旋轉(zhuǎn) 12 22 2 2
6、c zyax 12 2 2 22 cza yx 旋 轉(zhuǎn) 雙 曲 面 解： 22 22 1 0 xz ac y 一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。 直線 L繞另一條與 L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面叫 圓錐面 ，兩直線的交點叫圓錐面的 頂點 ，兩直線的夾角叫 圓錐面的 半頂角 。 高等數(shù)學（下）主講楊益民 2021年 4月 11日星期日 9 o x z y 解 : c ot: 0 zyC x 圓錐面方程 c o t22 yxz 例 7 試建立頂點在坐標原點，旋轉(zhuǎn)軸為 z軸，半頂角為 的圓錐面方程。 圓錐面的母線方程為 ( 0 , , )M y z 高等數(shù)學（下）主講楊益民 2021年 4月 11日星
7、期日 10 播放 定義 三、柱面 觀察柱面的 形成過程 : 沿定曲線 C 移動的動直線 L 所形成的曲面稱為 柱面 。 這條定曲線 C 叫柱面的 準線 ，動直線 L叫柱面的 母線 。 高等數(shù)學（下）主講楊益民 2021年 4月 11日星期日 11 柱面舉例 x o z y x o z y 2 2 0 yx z 拋物柱面 0yxz 平面 高等數(shù)學（下）主講楊益民 2021年 4月 11日星期日 12 一般地，已知準線方程 ( , ) 0C: 0 f x y z 母線平行于 z 軸的 柱面方程為： ( , ) 0f x y 注意 ： 方程 中缺 z，表示 z可以任意取值，所以 方程 表示母線平行于
8、 z軸的柱面。 ( , ) 0f x y ( , ) 0f x y 一般地，在空間直角坐標下 ( , ) 0f x y （缺 z）， 表示母線 ？，準線為？的柱面。 ( , ) 0f x z （缺 y）， 表示母線 ？，準線為？的柱面。 ( , ) 0f y z （缺 x）， 表示母線 ？，準線為？的柱面。 高等數(shù)學（下）主講楊益民 2021年 4月 11日星期日 13 問： 12 2 2 2 czby（ 1） 表示什么曲面？ 22 22 1 xz ac （ 2） 表示什么曲面？ 回顧 1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空間的一張曲面 S。 2. 表示一張球面。 2 2 2 0A x A
9、 y A z B x C y D z E Ax By Cz D 0 3. 表示空間的一張平面。 ( , ) 0C: 0 f y z x 4. yoz平面上的母線 繞 oz軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面 高等數(shù)學（下）主講楊益民 2021年 4月 11日星期日 14 四、二次曲面 三元二次方程所表示的曲面稱為 二次曲面 。 目的： 利用 截痕法 討論二次曲面的形狀。 即：用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線 （即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌。 22( , ) 0f x y z 5. xoy平面上的準線方程 母線平行于 z 軸的 ( , ) 0 C: 0f x yz 柱面方程為：
10、 ( , ) 0f x y 高等數(shù)學（下）主講楊益民 2021年 4月 11日星期日 15 （一）橢球面 12 2 2 2 2 2 czbyax 橢球面與三個 坐標面的交線： 22 22 1 , 0 xy ab z 橢球面與平面 的交線為橢圓 1zz 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 )()( zz zc c b y zc c a x 同理與平面 x=x1 和 y=y1 的交線也 是橢圓 22 22 1 , 0 xz ac y 22 22 1 , 0 yz bc x 高等數(shù)學（下）主講楊益民 2021年 4月 11日星期日 16 橢球面的幾種特殊情況： ,)1( ba 2
11、 2 2 22 1 x y z ac 旋轉(zhuǎn)橢球面 22 22 1 0 xz ac y 由橢圓 或 繞 z軸旋轉(zhuǎn)而成。 22 22 1 0 yz bc x ,)2( cba 12 2 2 2 2 2 azayax 球面 2 2 2 2x y z a 方程可寫為 高等數(shù)學（下）主講楊益民 2021年 4月 11日星期日 17 （二）拋物面 zqypx 22 22 （ p與 q同號） （ 1）橢圓拋物面 用截痕法討論： （ 1）用坐標面 xoy (z=0) 去截； 設 p與 q都大于零。 （ 2）用平面 去截； 11( 0 )z z z （ 3）用坐標面 xoz 或 yoz 去截； （ 4）用平面
12、去截； 11x x y y或 y o x z 高等數(shù)學（下）主講楊益民 2021年 4月 11日星期日 18 z x y o 橢圓拋物面的圖形如下： 0,0 qp x y z o 0,0 qp 特殊地：當 p=q時，方程變?yōu)?zp y p x 22 22 旋轉(zhuǎn)拋物面 高等數(shù)學（下）主講楊益民 2021年 4月 11日星期日 19 （ 2）雙曲拋物面（馬鞍面） zq y p x 22 22 ( p與 q同號 ) 用截痕法討論： 設 0,0 qp x z y o 高等數(shù)學（下）主講楊益民 2021年 4月 11日星期日 20 （三）雙曲面 單葉雙曲面 12 2 2 2 2 2 czbyax x y o z （ 1） z o x y . 高等數(shù)學（下）主講楊益民 2021年 4月 11日星期日 21 雙葉雙曲面 12 2 2 2 2 2 czbyax x y o （ 2） x o y z 高等數(shù)學（下）主講楊益民 2021年 4月 11日星期日 22 習題 8 3 4， 5， 7， 8， 9， 10， 11
曲面及其方程、二次曲面
