《函數(shù)極限》PPT課件.pptx

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1、函 數(shù) 極 限 關(guān)于函數(shù)的極限，根據(jù)自變量的變化過程，我們主要研究以下兩種情況：一、當(dāng)自變量x的絕對值無限增大時(shí)，f(x)的變化趨勢，的極限時(shí)即)(, xfx 二、當(dāng)自變量x無限地接近于x0時(shí)，f(x)的變化趨勢的極限時(shí)即)(,0 xfxx 一 、 自 變 量 趨 向 無 窮 大 時(shí) 函 數(shù) 的 極 限.sin時(shí)的變化趨勢當(dāng)觀察函數(shù)xxx 播 放 問 題 :函數(shù))(xfy在x的過程中, 對應(yīng)函數(shù)值)(xf無限趨近于確定值A(chǔ).通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察: .0sin)(,無限接近于無限增大時(shí)當(dāng)xxxfx 問題:如何用精確的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近”. ;)()(任意小表示AxfAxf .的過程

2、表示 xXx :.1定義 定 義 1 如 果 對 于 任 意 給 定 的 正 數(shù) (不 論 它 多 么 小 ), 總 存 在 著 正 數(shù) X,使 得 對 于 適 合 不 等 式 Xx 的 一 切 x ,所 對 應(yīng) 的 函 數(shù) 值 )(xf 都 滿 足 不 等 式 Axf )( , 那 末 常 數(shù) A就 叫 函 數(shù) )(xf 當(dāng) x 時(shí) 的 極 限 ,記 作 )()()(lim xAxfAxfx當(dāng)或 定義 X Axfx )(lim .)(,0,0 AxfXxX恒有時(shí)使當(dāng) 2.另兩種情形: :.10情形x Axfx )(lim .)(,0,0 AxfXxX恒有時(shí)使當(dāng):.20情形x Axfx )(l

3、im .)(,0,0 AxfXxX恒有時(shí)使當(dāng) Axfx )(lim:定理.)(lim)(lim AxfAxf xx 且 3.幾何解釋: xxy sinA XX .2, )(,的帶形區(qū)域內(nèi)寬為為中心線直線圖形完全落在以函數(shù)時(shí)或當(dāng) Ay xfyXxXx 例1 證明2112 1lim xxx證|12| 1232112 1 xxx x故不妨設(shè)|x|1，而當(dāng)|x|1時(shí)|1|2|12| xxx |12| 1232112 1 xxx |3|123 xx 0 2112 1xx要使同時(shí)成立和只須3|1| xx 3,1max X令時(shí)，便有則當(dāng)Xx |12| 1232112 1 xxx |3x2112 1lim x

4、xn . )(,)(lim:的圖形的水平漸近線是函數(shù)則直線如果定義xfycycxfx 二 、 自 變 量 趨 向 有 限 值 時(shí) 函 數(shù) 的 極 限先看一個(gè)例子的變化趨勢函數(shù)時(shí)考察1 )1(2)(,1 2 xxxfx 這個(gè)函數(shù)雖在x=1處無定義，但從它的圖形上可見，當(dāng)點(diǎn)從1的左側(cè)或右側(cè)無限地接近于1時(shí)， f(x)的值無限地接近于4，我們稱常數(shù)4為f(x)當(dāng)x1 時(shí)f(x)的極限。1 xyo4 問 題 :函數(shù))(xfy在0 xx的過程中,對應(yīng) 函數(shù)值)(xf無限趨近于確定值A(chǔ). ;)()(任意小表示AxfAxf .0 00的過程表示xxxx x0 x0 x 0 x ,0鄰域的去心點(diǎn)x .0程度接

5、近體現(xiàn)xx :.1定義 定 義 2 如 果 對 于 任 意 給 定 的 正 數(shù) (不 論 它 多 么 小 ),總 存 在 正 數(shù) ,使 得 對 于 適 合 不 等 式 00 xx 的 一 切 x,對 應(yīng) 的 函 數(shù) 值 )(xf 都 滿 足 不 等 式 Axf )( ,那 末 常 數(shù) A就 叫 函 數(shù))(xf 當(dāng) 0 xx 時(shí) 的 極 限 ,記 作 )()()(lim 00 xxAxfAxfxx 當(dāng)或 定義 .)( ,0,0,0 0 Axf xx恒有時(shí)使當(dāng) 注定義習(xí)慣上稱為極限的定義其三個(gè)要素：10。正數(shù)，20。正數(shù)，30。不等式)|0(|)(| 0 xxAxf定義中 |0 0 xx 0 xx

6、表示所以x x0時(shí)，f(x) 有無極限與 f(x)在x0處的狀態(tài)并無關(guān)系，這是因?yàn)槲覀兯P(guān)心的是f(x) 在x0附近的變化趨勢，即 x x0時(shí)f(x) 變化有無終極目標(biāo)，而不是f(x) 在x 0這一孤立點(diǎn)的情況 。約定x x0但 xx0 0反映了x充分靠近x0的程度，它依賴于，對一固定的而言，合乎定義要求的并不是唯一的。由不等式 |f(x) A| 來選定，一般地，越小，越小2.幾何解釋: .2 ,)(, 0的帶形區(qū)域內(nèi)寬為為中心線線圖形完全落在以直函數(shù)域時(shí)鄰的去心在當(dāng) Ay xfyxx 0 xAA A 0 x 0 x )(xfy xyo .,越小越好后找到一個(gè)顯然 例2 證明5)13(lim2

7、 xx證|2|3|5)(| xxf |2|3|5)(| xxf要使3|2| x只須于是0 )3( 時(shí)當(dāng) |2|0 x恒有 |5)(| xf 5)13(lim2 xx例3 設(shè)x 00 證明00lim xxxx 證000 | xx xxxx 00 | xxx 000 |,| xxxxx 只須為使0 ,min 00 xx取時(shí)當(dāng) |0 0 xx恒有 000 | xxxxx例4 證明)1(1lim0 aaxx證0（不妨設(shè)1） |1| xa要使 11 xa只須)1(log)1(log aa x又只須)1(log,11minlog aa令時(shí)當(dāng) |0 x )1(log11log aa x 11 xa |1|

8、xa即1lim0 xx a 例5 證明212 1lim1 xxx證|12| |1|3212 1 xxxx不妨設(shè)41|1|0 x |)1(21|12| xx |1|21 x214121 |1|6|12| |1|3212 1 xxxxx故0 6,41min 取 有時(shí)當(dāng),|1|0 x 212 1xx 212 1lim1 xxx注 在利用定義來驗(yàn)證函數(shù)極限時(shí)，也可考慮對|f(x) A|進(jìn)行放大，放大的原則與數(shù)列時(shí)的情形完全相同。此外還須注意此時(shí)是在x=x0的附近考察問題的，對于“附近”應(yīng)如何理解，請揣摩一下。 3.單側(cè)極限:例如, .1)(lim 0,1 0,1)( 0 2 xf xx xxxf x證

9、明設(shè)yo x1xy 1 12 xy兩種情況分別討論和分00 xx ,0 xx從左側(cè)無限趨近; 0 xx記作,0 xx從右側(cè)無限趨近;0 xx記作 左 極 限 .)( ,0,0 00 Axf xxx恒有時(shí)使當(dāng).)()(lim 00 AxfAxfxx 或記作右 極 限 .)( ,0,0 00 Axf xxx恒有時(shí)使當(dāng).)()(lim 00 AxfAxfxx 或記作00 0: 000 xxxxxx xxx 注意 .)()()(lim: 000 AxfxfAxfxx 定理例 6 .lim0不存在驗(yàn)證xxx證 xxxx xx 00 limlim 1)1(lim 0 x xxxx xx 00 limlim

10、 11lim 0 x左右極限存在但不相等, .)(lim0不存在xfx y x1 1o 三 、 函 數(shù) 極 限 的 性 質(zhì)1.局部有界性 定 理 若 在 某 個(gè) 過 程 下 , )(xf 有 極 限 ,則 存 在 過 程 的 一 個(gè) 時(shí) 刻 ,在 此 時(shí) 刻 以 后 )(xf 有 界 . 2.唯一性 定 理 若 )(lim xf 存 在 ,則 極 限 唯 一 .3.不等式性質(zhì)（局部）定 理 (保 序 性 ) .),()(),(,0 .)(lim,)(lim00 00 BAxgxfxUx BxgAxf xxxx 則有若設(shè) 推 論 ).()(),(,0 ,)(lim,)(lim 00 00 xgx

11、fxUx BABxgAxf xxxx 有則 且設(shè)定 理 (保 號(hào) 性 ) ).0)(0)(,),(,0 ),0(0,)(lim00 0 xfxfxUx AAAxfxx 或時(shí)當(dāng)則 或且若推 論 ).0(0),0)(0)( ,),(,0,)(lim 000 AAxfxf xUxAxfxx 或則或 時(shí)當(dāng)且若 4.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)定 義 . )(),(,),(),(,)( .),( ),(21 000時(shí) 的 子 列當(dāng) 為 函 數(shù)即 則 稱 數(shù) 列時(shí)使 得有 數(shù) 列 中或可 以 是設(shè) 在 過 程ax xfxfxfxfxf axnax xxxaax nn nn 定 理 .)(lim,

12、 )()(,)(lim Axf axxfxfAxf nn nax 則 有時(shí) 的 一 個(gè) 子 列 當(dāng)是數(shù) 列若 證 Axfxx )(lim0 .)( ,0,0,0 0 Axf xx恒有時(shí)使當(dāng),lim 00 xxxx nnn 且又 .0 ,0,00 xx NnNn恒有時(shí)使當(dāng)對上述,)( Axf n從而有.)(lim Axf nx 故 例如, 1sinlim0 xxx xxy sin,11sinlim nnn ,11sinlim nnn 11sin1lim 22 nnnnn函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函 數(shù) 極 限 存 在 的 充 要 條 件 是 它 的 任 何 子 列 的 極限 都 存 在 ,且 相

13、等 . H eine定理，又稱歸并原則 即AxfaxaxxAxf nnnnnax )(lim,)(lim證明設(shè)Axfax )(lim即時(shí)使當(dāng) |0,0 0 xx恒有 |)(| Axf再由axnn lim則對上述,0 N時(shí)使當(dāng)Nn有 | axn又axn |0 axn故 |)(| Axf n Axf nn )(lim 設(shè)對axaxx nnn ,都有Axf nn )(lim要證Axfax )(lim用反證法若Axfax )(lim即滿足，都有使對 x 0 |0 xx但0|)(| Axf現(xiàn)取n1有nx滿足naxn 1|0 即axax nn ,但0|)(| Axf n此與Axf nn )(lim矛盾Ax

14、fax )(lim 例 7 .1sinlim0不存在證明xx證 xy 1sin ,1 nxn取,0lim nn x ;0nx且 ,2 14 1 nxn取,0lim nn x ;0nx且nx nnn sinlim1sinlim 而2 14sinlim1sinlim nx nnn而1lim n ,1二者不相等, .1sinlim0不存在故xx 四 、 小 結(jié)函 數(shù) 極 限 的 統(tǒng) 一 定 義;)(lim Anfn ;)(lim Axfx ;)(lim Axfx ;)(lim Axfx ;)(lim0 Axfxx ;)(lim0 Axfxx .)(lim0 Axfxx .)( ,0)(lim Axf

15、Axf恒有從此時(shí)刻以后時(shí)刻(見下表) 過 程時(shí) 刻從此時(shí)刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf )(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx 00 xx過 程時(shí) 刻從此時(shí)刻以后 )(xf Axf )( 思 考 題 試問函數(shù) 0,5 0,10 0,1sin)( 2 xx xxxxxf 在0 x處 的左、右極限是否存在？當(dāng)0 x時(shí)，)(xf的 極限是否存在？ 思 考 題 解 答 )(lim0 xfx ,5)5(lim 20 xx左極限存在, )(lim0 xfx ,01sinlim0 xxx右極限存在, )(lim0 xfx )(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在.