《有限長單位脈沖響應(yīng)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計》.ppt

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1、本 章 主 要 內(nèi) 容 線 性 相 位 FIR數(shù) 字 濾 波 器 的 特 點 用 窗 函 數(shù) 法 設(shè) 計 FIR濾 波 器 用 頻 率 采 樣 法 設(shè) 計 FIR濾 波 器第 六 章 有 限 長 脈 沖 響 應(yīng) (FIR)數(shù) 字 濾 波 器 的 設(shè) 計 方 法 1： 設(shè) 計 滿 足 幅 度 指 標 要 求 的 IIR濾 波 器 ， 再 加 線 性 相 位 校 正 網(wǎng) 絡(luò)（ 如 全 通 網(wǎng) 絡(luò) ） ； 設(shè) 計 復(fù) 雜 ， 成 本 高 ；方 法 2： 用 FIR濾 波 器 的 設(shè) 計 方 法 ， 幅 度 特 性 滿 足 技 術(shù) 要 求 ， 又 保 證 嚴格 的 線 性 相 位 。線 性 相 位 數(shù)

2、 字 濾 波 器 的 實 現(xiàn) h(n)是 FIR濾 波 器 的 單 位 脈 沖 響 應(yīng) ， 長 度 為 N， 則 其 系 統(tǒng) 函 數(shù) 為 ：10 ( )( ) ( )( ) ( )Nj j nnj jgH e h n eH e H e H(z)= z-n o 收 斂 域 包 括 單 位 圓 ；o z平 面 上 有 N-1個 零 點 ；o z=0是 N-1階 極 點 ;特 點 ： FIR濾 波 器 永 遠 穩(wěn) 定 和 容 易 實 現(xiàn) 線 性 相 位6.1 線 性 相 位 FIR數(shù) 字 濾 波 器 的 特 點 對 于 長 度 為 N的 h(n)， 傳 輸 函 數(shù) 為 ：注 意 ： H ()為 的

3、實 函 數(shù) ， 可 能 取 負 值 ； |H(e j)|稱 為 幅 度 響 應(yīng) ， 總 是 正 值H ()稱 為 幅 度 函 數(shù) ， ()稱 為 相 位 函 數(shù) 一 、 線 性 相 位 條 件 10 ( )( ) ( )( ) ( )Nj j nnj j gH e h n eH e H e 10 ( )( ) ( )( ) ( )Nj j nnj jgH e h n eH e H e 10 ( )( ) ( )( ) ( )Nj j nnj jgH e h n eH H = () 但 上 兩 種 情 況 都 滿 足 群 時 延 是 一 個 常 數(shù) 第 一 類 線性 相 位第 二 類 線性 相

4、位() = , 為 常 數(shù) ；()=0 ， 0是 起 始 相 位線 性 相 位 是 指 ( )是 的 線 性 函 數(shù) ， 即 ：1、 什 么 是 線 性 相 位 ( )dd ( )dd - = h(n)是 以 (N-1)/2偶 對 稱 實 序 列 ， 即 ： h(n) = h(Nn1)2、 第 一 類 線 性 相 位 條 件N為 奇 數(shù) 的 情 況 n2 1N 0h(n) N為 偶 數(shù) 的 情 況 n2 1N 0h(n) h(n)是 以 (N-1)/2奇 對 稱 實 序 列 ， 即 ： h(n) = h(Nn1)3、 第 二 類 線 性 相 位 條 件 N為 偶 數(shù) 的 情 況N為 奇 數(shù) 的

5、 情 況 n2 1N 0h(n) n2 1N 0h(n) 4、 第 一 類 線 性 相 位 特 點1010( ) ( )( ) ( 1)N nnN nnH z h n zH z h N n z 1010( ) ( )( ) ( 1)N nnN nnH z h n zH z h N n z 1 1( 1) ( 1)0 0( 1) 1( ) ( ) ( )( ) ( )N NN m N mm mNH z h m z z h m zH z z H z 令 ： m=N-n-1,則 有1 1( 1) ( 1)0 0 ( 1) 1( ) ( ) ( )( ) ( )N NN m N mm mNH z h

6、m z z h m zH z z H z 1 1( 1) ( 1)0 0( 1) 1( ) ( ) ( )( ) ( )N NN m N mm mNH z h m z z h m zH z z H z 1( 1) 1 ( 1)01 1 11( )2 2 201 1( ) ( ) ( ) ( ) 2 21( ) 2 NN n N nnN N NN n nnH z H z z H z h n z z zz h n z z 1( 1) 1 ( 1)01 1 11( )2 2 201 1( ) ( ) ( ) ( ) 2 21( ) 2 NN n N nnN N NN n nnH z H z z H

7、z h n z z zz h n z z 1( 1) 1 ( 1)01 1 11( )2 2 201 1( ) ( ) ( ) ( ) 2 21( ) 2 NN n N nnN N NN n nnH z H z z H z h n z z zz h n z z 將 z=e j代 入 上 式 ， 得 到 ：1 1( )2 0 10 1( ) ( )cos( ) 21( ) ( )cos( ) 21( ) ( 1)2N Njj nNg n NH e e h n nNH h n nN 1 1( )2 010 1( ) ( )cos( ) 21( ) ( )cos( ) 21( ) ( 1)2N Nj

8、j nNg n NH e e h n nNH h n nN 相 位 函 數(shù) 幅 度 函 數(shù)1 1( )2 01 0 1( ) ( )cos( ) 21( ) ( )cos( ) 21( ) ( 1)2N Njj nNg n NH e e h n nNH h n nN H 第 二 類 線 性 相 位 條 件 證 明1 10 01 1( 1) ( 1)0 0( 1) 1( ) ( ) ( 1)( ) ( ) ( )( ) ( )N Nn nn nN NN m N mn nNH z h n z h N n zH z h m z z h m zH z z H z 1 10 01 1( 1) ( 1)0

9、 0( 1) 1( ) ( ) ( 1)( ) ( ) ( )( ) ( )N Nn nn nN NN m N mn nNH z h n z h N n zH z h m z z h m zH z z H z 1( 1) 1 ( 1)01 1 112 2 201 1( ) ( ) ( ) ( ) 2 21( ) 2 NN n N nnN N NN n nnH z H z z H z h n z z zz h n z z 1( 1) 1 ( 1)01 1 112 2 201 1( ) ( ) ( ) ( ) 2 21( ) 2 NN n N nnN N NN n nnH z H z z H z

10、h n z z zz h n z z 1( 1) 1 ( )01 1 112 2 201( ) ( ) ( ) ( ) 2 1( ) 2 NN n N nnN N NN n nnH z H z z H z h n z z zz h n z z 1 12 01 1 2 2 0 1( ) ( ) ( )sin ( )21( )sin ( )2j N Njj z e nN Nj j n NH e H z je h n nNe h n n 將 z=e j 代 入 上 式 ， 得 到 ：1 12 01 12 2 0 1( ) ( ) ( )sin ( )21( )sin ( )2j N Njj z e

11、nN Nj j n NH e H z je h n nNe h n 1 12 01 12 2 0 1( ) ( ) ( )sin ( )21( )sin ( )2j N Njj z e nN Nj j n NH e H z je h n nNe h n n 1 12 01 12 2 0 1( ) ( ) ( )sin ( )21( )sin ( )2j N Njj z e nN Nj j n NH e H z je h n nNe h n n 相 位 函 數(shù)10 1( ) ( )sin ( )21( ) ( )2 2Ng n NH h n nNQ 1 1( )2 010 1( ) ( )cos

12、( ) 21( ) ( )cos( ) 21( ) ( 1)2N Njj nNg n NH e e h n nNH h n nN 幅 度 函 數(shù) 1 10 01 1( 1) ( 1)0 0( 1) 1( ) ( ) ( 1)( ) ( ) ( )( ) ( )N Nn nn nN NN m N mn nNH z hn z h N n zH z hm z z hm zH z z H z 1 10 01 1( 1) ( 1)0 0( 1) 1( ) ( ) ( 1)( ) ( ) ( )( ) ( )N Nn nn nN NN m N mn nNH z h n z h N n zH z h m z

13、 z h m zH z z H z m=0 1 1( )2 010 1( ) ( )cos( ) 21( ) ( )cos( ) 21( ) ( 1)2N Njj nNg n NH e e h n nNH h n nN 第 一 類 相 位 函 數(shù) 條 件 :h(n)偶 對 稱 )(0 2)1N( - 第 二 類 相 位 函 數(shù) 條 件 :h(n)奇 對 稱10 1( ) ( )sin ( )21( ) ( )2 2Ng n NH h n nNQ 1 1( )2 010 1( ) ( )cos( ) 21( ) ( )cos( ) 21( ) ( 1)2N Njj nNg n NH e e h

14、n nNH h n nN )()23( N 0 22 1、 h(n)=h(N-n-1)， N=奇 數(shù) 由 前 面 推 導(dǎo) 的 幅 度 函 數(shù) H ()為 ：二 、 線 性 相 位 FIR濾 波 器 幅 度 函 數(shù) 的 特 點特 點 ：l h(n)對 (N-1)/2偶 對 稱 ， 余 弦 項 也 對 (N-1)/2偶 對 稱 ；l 以 (N-1)/2為 中 心 ， 把 兩 兩 相 等 的 項 進 行 合 并 ， 因 N為 奇 數(shù) ， 余 下 中 間 項n=(N-1)/2 10 1( ) ( )cos( ) 2Ng n NH h n n () ( 3)/20( 1)/20( 1)/2 0 1 1(

15、 ) ( ) 2 ( )cos( ) 2 21 1( ) ( ) 2 ( )cos2 2( ) ( )cosNg nNg nN g n N NH h hn nN NH h h m nH an n ( 3)/20( 1)/20( 1)/20 1 1( ) ( ) 2 ( )cos( ) 2 21 1( ) ( ) 2 ( )cos2 2( ) ( )cosNg nNg nNg nN NH h h n nN NH h h m nH a n n m=1令 m=(N-1)/2-n( 3)/20( 1)/20( 1)/20 1 1( ) ( ) 2 ( )cos( ) 2 21 1( ) ( ) 2 (

16、 )cos2 2( ) ( )cosNg nNg nNg nN NH h h n nN NH h h m nH a n n () 1(0) ( )2 1 1 ( ) 2 ( ), 1,2,3, ,2 2Na h N Na n h n n 1(0) ( )2 1 1( ) 2 ( ), 1,2,3, ,2 2Na h N Na n h n n 其 中， 幅 度 函 數(shù) 特 點 ：(1) 式 中 cos n 項 對 =0, , 皆 為 偶 對 稱 ， 則 幅 度 特 性 對 =0, , 是 偶 對 稱 的 。(2) 可 實 現(xiàn) 所 有 濾 波 特 性 （ 低 通 、 高 通 、 帶 通 、 帶 阻

17、 ） 。 H ()= 2、 h(n)=h(N-n-1)， N=偶 數(shù) 推 導(dǎo) 情 況 和 前 面 N為 奇 數(shù) 相 似 ， 不 同 點 是 由 于 N為 偶 數(shù) ， Hg()中 沒 有 單 獨 項 ， 相 等 的 項 合 并 成 N/2項 。 /21/21 1( ) 2 ( )cos ( )2 21( ) ( )cos ( )2( ) 2 ( ), 1,2, , )2 2Ng mNg n NH h m mH b n nN Nb n h n n /21/21 1( ) 2 ( )cos ( )2 21( ) ( )cos ( )2( ) 2 ( ), 1,2, , )2 2Ng mNg n NH

18、 h m mH b n nN Nb n h n n /21/21 1( ) 2 ( )cos ( )2 21( ) ( )cos ( )2( ) 2 ( ), 1,2, , )2 2Ng mNg n NH h m mH b n nN Nb n h n n 其 中 ：令 m=N/2-n 1012 0 1( ) ( )cos( ) 2 12 ( )cos ( )2Ng nNn NH h n n Nh n n 1012 0 1( ) ( )cos( ) 2 12 ( )cos ( )2Ng nNn NH h n n Nh n n H 幅 度 特 點 ：(1) 當 =時 ， 故 H ()=0， 即 H

19、(z)在 z= 1處 ， 有 一 零 點 ；(2) 由 于 cos(n)對 w=奇 對 稱 ， 所 以 H()在 =呈 奇 對 稱 ；(3) 用 這 種 濾 波 器 設(shè) 計 方 法 不 能 實 現(xiàn) 高 通 、 帶 阻 濾 波 器 ；H () 3、 h(n)=-h(N-n-1)， N=奇 數(shù)由 前 面 推 導(dǎo) 的 幅 度 函 數(shù) 可 得 ： ( 1)/21( ) ( )sin1 1( ) 2 ( ), 1,2, ,2 2Ng nH c n nN Nc n h n n ( 1)/21( ) ( )sin1 1( ) 2 ( ), 1,2, ,2 2Ng nH c n nN Nc n h n n )

20、 -(-=-=- 21Nh)121NN(h)21N(h由 于 h(n)=-h(N-n-1)， 當 n=(N-1)/2時 ：h(n)和 正 弦 項 都 對 (N-1)/2奇 對 稱 ， 相 同 項 合 并 ， 共 合 并 (N-1)/2項 。h(N-1)/2=0( 1)/21( ) ( )sin1 1( ) 2 ( ), 1,2, ,2 2Ng nH c n n Nc n h n n ( ) / 21( ) ( ) sin1 1( ) 2 ( ), 1, 2 , , 2Ng nH c n nN Nc n h n n n 0(N-3)/22h(n)Si ( - )( 1)/21( ) ( )sin

21、1 1( ) 2 ( ), 1,2, ,2 2Ng nH c n nN Nc n h n n 令 m=(N-1)/2-n10 1( ) ( )sin ( )2Ng n NH h n n ) 幅 度 特 點 ：(1) 幅 度 函 數(shù) H()在 =0, , 呈 奇 對 稱 。(2) H()在 =0、 、 2處 值 為 0， 即 H(z)零 點 在 z=1處 ， 只 能實 現(xiàn) 帶 通 濾 波 器 ;H () 4 h(n)= h(N-n-1)， N=偶 數(shù)令 ： m=N/2-n， 則 有 ： /21/21 1( ) 2 ( )sin ( )2 21( ) ( )sin ( )2( ) 2 ( ), 1

22、,2,3 ,2 2Ng mNg n NH h m mH d n nN Nd n h n n /21/21 1( ) 2 ( )sin ( )2 21( ) ( )sin ( )2( ) 2 ( ), 1,2,3 ,2 2Ng mNg n NH h m mH d n nN Nd n h n n 11 20 01 1( ) ( )sin ( ) 2 ( )sin )2 2NNg n nN NH h n n h n n /21/21 1( ) 2 ( )sin ( )2 21( ) ( )sin ( )2( ) 2 ( ), 1,2,3 ,2 2Ng mNg n NH h m mH d n nN N

23、d n h n n () 幅 度 特 點 ：(1)由 于 sin(n-)在 =0、 2處 都 為 0， 因 此 H ()在 =0， 2處 也為 0， H(z)在 z=1處 為 零 點 ； 不 能 實 現(xiàn) 低 通 、 帶 阻 濾 波 器 。(2)由 于 sin(n )在 =0、 2處 都 呈 奇 對 稱 ， 對 =呈 偶 對 稱 ，故 幅 度 函 數(shù) H()在 =0, 也 呈 奇 對 稱 ， 在 =處 呈 偶 對 稱 。H () 第 一 類 和 第 二 類 線 性 相 位 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) 綜 合 起 來 用 下 式 表 示 ：三 、 零 點 位 置表 明 ：l 如 果 z=zi是 H(z)的

24、 零 點 ， 則 z=zi-1也 是 H(z)的 零 點 。l 由 于 h(n)為 實 序 列 ， 零 點 必 定 共 軛 成 對 。 則 z i*和 (zi-1)*也 是 H(z)的 零 點 ； 即 H(z)的 零 點 必 定 互 為 倒 數(shù) 的 共 軛 對 。 0 1 Re(z)jIm(z) Zi-1ZiZi* (Zi-1)*(1)分 析 ：(1) 當 zi不 在 實 軸 上 ， 不 在 |z|=1上 ， 則 零 點是 互 為 倒 數(shù) 的 兩 組 共 軛 對 ； 確 定 了 一 個 零點 ， 其 它 三 個 確 定 了 。(2) 當 zi不 在 實 軸 上 ， 但 在 |z|=1上 ， 由

25、 于 共軛 對 的 倒 數(shù) 是 它 們 本 身 ， 故 此 時 零 點 是一 組 共 軛 對 ； Re(z)jIm(z)Zi0 1Z I*(2) (3) zi在 實 軸 上 ， 不 在 |z|=1上 ， 則 零 點 是互 為 倒 數(shù) 兩 個 實 數(shù) 零 點 ； -1 (4)0 1jIm(z)Re(z)(4) zi在 實 軸 上 ， 也 在 |z|=1上 ， 則 零 點 只 有一 個 ， 或 位 于 z=1， 或 位 于 z = 1。 ZI1 0 1jIm(z)Zi (3) Re(z) 例 ： 如 果 系 統(tǒng) 的 單 位 脈 沖 響 應(yīng) 為(1) 判 斷 該 系 統(tǒng) 是 否 具 有 線 性 相

26、位 ， 說 明 理 由 。(2) 求 出 該 系 統(tǒng) 的 頻 率 響 應(yīng) ， 畫 出 幅 度 、 相 位 和 群 時 延 特 性 曲 線 。,( ) 0, j a cjd ceH e h(n 1，0n 50， 其 他 n 一 、 設(shè) 計 思 想 設(shè) 希 望 設(shè) 計 的 濾 波 器 傳 輸 函 數(shù) 為 Hd(ej )， hd(n)是 與 其 對 應(yīng) 的單 位 脈 沖 響 應(yīng) ， 因 此 ： 6.2 用 窗 函 數(shù) 法 設(shè) 計 FIR濾 波 器n問 題 ： 一 般 情 況 下 H d(ej )是 逐 段 恒 定 的 ， 在 邊 界 頻 率 處 有 不 連 續(xù)點 ， 所 以 hd(n)是 無 限 時

27、 寬 ， 且 為 非 因 果 ， 這 樣 的 系 統(tǒng) 不 能 實 現(xiàn) 。 例 ： 一 理 想 低 通 濾 波 器 的 傳 輸 函 數(shù) Hd(ej)為,( ) 0, j a cjd ceH e 相 應(yīng) 的 單 位 脈 沖 響 應(yīng) hd(n) 為)( )(sin)(2121)( )( an anwanjedweenh Cwwanjwjwnww jwad C CCC hd(n) nhd(n)是 無 限 時 寬 ， 非 因 果 序 列0 c- c |Hd(ej )|1 要 求 : (1) 得 到 一 因 果 序 列 h(n)； (2) 構(gòu) 造 一 個 長 度 為 N的 線 性 相 位 濾 波 器 ；

28、將 hd(n)截 取 一 段 ， 并 保 證 截 取 的 一 段 對 (N-1)/2對 稱 (線 性 相 位 )。設(shè) 截 取 的 一 段 用 h(n)表 示 ， 即 h(n)=hd(n)RN(n)R N(n) n0 N-1hd(n) nh (n) na (N-1)/2 矩 形 窗 的 長 度 為 N， 且a (N-1)/2時 ， 滿 足上 述 兩 個 要 求 。10( ) ( )N nnH z h n z 1 sin( ( )( ) 2 ( )cc j a j n cd n ah n e e d n a 1 sin( ( )( ) 2 ( )cc j a j n cd n ah n e e d

29、 n a 二 、 加 窗 處 理 對 FIR濾 波 器 幅 頻 特 性 的 影 響 設(shè) 計 過 程 中 ， 加 窗 后 的 單 位 響 應(yīng) 序 列 為 h(n)= hd(n)RN(n)。 即用 一 個 有 限 長 的 序 列 h(n)去 代 替 一 個 無 限 長 的 序 列 hd(n)， 會 產(chǎn) 生誤 差 ， 時 域 中 是 截 斷 處 理 ， 在 頻 域 表 現(xiàn) 出 的 現(xiàn) 象 就 是 通 帶 和 阻 帶 中有 波 動 ， 也 稱 為 吉 布 斯 效 應(yīng) (截 斷 效 應(yīng) )。 這 樣 設(shè) 計 出 來 的 頻 響 H(ejw) 只 能 是 盡 量 逼 近 要 求 的 Hd(ejw)h(n)

30、= h d(n)RN(n) (1( ) ( ) ( )2j j jd NH e H e R e d (1( ) ( ) ( )2j j jd NH e H e R e d (1 ( ) ( )2 j jd NH H e R e d (1( ) ( ) ( )2j j jd NH e H e R e d * (1( ) ( ) ( )2j j jd NH H e R e d (1( ) ( ) ( )2j j jd NH e H e R e d 分 析 ： 頻 域 卷 積 定 理 11 1 ( 1)20 0 sin( /2( ) ( ) ( )sin( /2)N N j Nj j n j n j

31、aN N Nn n NR e R n e e e R e 11 1 ( 1)20 0 i( ) ( )N N j Nj j n j n jN Nn nR e R n e e e )( ) ( )j j ad dH e H e ( ) ( )j j ad dH e H e ( ) ( )j j ad dH e H e 1,( ) 0, cd cH 矩 形 窗 的 幅 度 函 數(shù)理 想 低 通 濾 波 器 的 幅 度 特 性( )1( ) ( ) ( )2 1 ( ) ( )2j j a j ad Nj a d NH e H e R e de H R d ( )1( ) ( ) ( )2 1 (

32、) ( )2j j a j ad Nj a d NH e H e R e de H R d ( ) ( )1( ) ( ) ( )2j j ad NH e H eH H R d ( ) ( )j j ad dH e H e sin( /2 1( ) ,sin( /2) 2N N NR *( ) ( )1( ) ( ) ( )2j j ad NH e H eH H R d 結(jié) 論 ： 設(shè) 計 出 來 的 濾 波 器 的 幅 度 特 性 等 于 理 想 低 通 濾 波 器 的 幅 度特 性 Hd( )與 矩 形 窗 幅 度 特 性 Rd( )的 卷 積 。 Hd()與 Rd()卷 積 形 成 H(

33、)的 過 程 ( )1( ) ( ) ( )2 1 ( ) ( )2j j a j ad Nj a d NH e H e R e de H R d ( ) ( )( ) ) ( )j j ad NH e H eH d Wc+2/NWc 2/NH(w)最 大 的 正 峰 與 最 大 的 負 峰 對 應(yīng) 的頻 率 相 差 4 /N H()與 原 理 想 低 通 Hd()差 別 有 以 下 2點 ： H()在 =C附 近 形 成 過 渡 帶 ， 過 渡 帶 寬 度 B=4/N， 近 似 于 矩形 序 列 幅 度 譜 RN()的 主 瓣 寬 度 ； 通 帶 內(nèi) 增 加 了 波 動 ， 最 大 的 峰

34、值 在 =C2/N 處 ， 阻 帶 內(nèi) 產(chǎn) 生了 余 振 ， 最 大 的 負 峰 值 在 =C+2/N 處 。 幅 度 譜 RN()波 動 越 快(N加 大 )， 通 帶 、 阻 帶 內(nèi) 波 動 越 快 ， 其 旁 瓣 的 大 小 直 接 影 響 H()波動 的 大 小 。 H d()在 加 窗 后 在 頻 域 中 的 現(xiàn) 象 稱 為 吉 布 斯 效 應(yīng)影 響 : (1)通 帶 內(nèi) 的 波 動 影 響 濾 波 器 通 帶 的 平 穩(wěn) 性 ；(2)阻 帶 內(nèi) 波 動 影 響 阻 帶 的 衰 減 ， 可 使 最 小 衰 減 不 滿 足 技 術(shù) 要 求 ； 減 小 吉 布 斯 效 應(yīng) 措 施1、 增

35、 加 N值l 可 減 小 過 渡 帶 寬 度 ， 由 于 主 瓣 與 旁 瓣 幅 度 也 增 加 ， 且 主 瓣 和 旁瓣 的 相 對 值 不 變 ， H(w)的 波 動 幅 度 沒 有 改 變 。l 帶 內(nèi) 最 大 肩 峰 比 H(0)高 8.95%， 阻 帶 最 大 負 峰 比 零 值 超 過 8.95% 。使 阻 帶 最 小 的 衰 減 只 有 21dB。l 譜 間 干 擾 未 減 小 ， 波 動 更 明 顯 ， 因 此 加 大 N并 不 是 減 少 吉 布 斯效 應(yīng) 的 有 效 方 法 ； 2、 改 善 窗 函 數(shù) 的 形 狀 減 少 帶 內(nèi) 波 動 以 及 加 大 阻 帶 的 衰 減

36、 只 能 從 窗 函 數(shù) 的 形 狀 找 出 解決 方 法 ， 主 要 考 慮 以 下 2點 因 素 ：(1) 盡 量 減 小 主 瓣 寬 度 ， 以 獲 得 較 窄 的 過 渡 帶 ；(2) 盡 量 使 窗 函 數(shù) 的 最 大 副 瓣 相 對 于 主 瓣 要 小 ， 使 設(shè) 計 出 來 的 濾 波器 幅 度 特 性 中 肩 峰 和 余 振 較 小 ， 阻 帶 衰 減 較 大 。 三 、 幾 種 常 見 的 窗 函 數(shù)1、 矩 形 窗 (Rectangle Window) wR(n)=RN(n) 其 頻 率 響 應(yīng) 為 1( 1)2sin( /2)( ) sin( /2) j NjR NW e

37、 e 05.00.1 )(nw 1N n2 1N WR(ejw)主 瓣 寬 度 為 4/N， 第 一 副 瓣 比 主 瓣 低 13dB。dB0 80 60 20 40 0 )e(Wlg20 jN2 w 2、 三 角 窗 (Bartlett Window)， 巴 特 利 特 窗2 1, 0 ( 1)1 2( ) 2 12 , ( 1) 11 2Br n n NNn n N n NN 05.00.1 n)(nw 1N2 1N WBr(ejw)主 瓣 寬 度 為 8/N； 第 一 副 瓣 比 主 瓣 低 26dB。 dB0 20406080 0 N2 )e(Wlg20 j w1( )2 2sin(

38、)4( ) 2 sin( /2) NjjBr NNW e e 1( )2 2sin( )4( ) 2 sin( /2) NjjBr NNe e 1( )2 2sin( )4( ) 2 sin( /2) NjjBr NNW e e 1( )2 2sin( )4( ) sin( /2) NjjBr NNW e e 2 3. 漢 寧 (Hanning)窗 升 余 弦 窗 12 1 12 22( ) 0.51 cos( ) ( )1( ) ( ) ( ) 2( ) ( ) 0.5 ( ) 0.25 ( )12( ) ( )1Hn N NjjR N RjHn Hn R RN Nj jR Hnnn R n

39、NW e FT R n W eW e FT W n W W NW e W eN 頻 響 函 數(shù)2 2( ) 0.5 ( ) 0.25 ( ) ( )Hn R R RW W W WN N 其 幅 度 函 數(shù)05.00.1 )(nw 1N n2 1NWHn(ejw)主 瓣 寬 度 為 8/N， 第 一 副 瓣 比主 瓣 低 33dB。 0 N2dB020406080 w)e(Wlg20 j121 12 22( ) 0.51 cos( ) ( )1( ) ( ) ( ) 2( ) ( ) 0.5 ( ) 0.25 ( )12( ) ( )1Hn N NjjR N RjHn Hn R RN Nj jR

40、 Hnnn R nNW e FT R n W eW e FT W n W W NW e W eN 121 12 2 2( ) 0.51 cos( ) ( )1( ) ( ) ( ) 2( ) ( ) 0.5 ( ) 0.25 ( )12( ) ( )1Hn N NjjR N RjHn Hn R RN Nj jR Hnnn R nNW e FT R n W eW e FT W n W W NW e W eN | 4 哈 明 窗 (Hamming Window)改 進 的 余 弦 窗2( ) 0.54 0.46cos( ) ( )1Hm Nnn R nN 2 2( ) ( )1 1( ) 0.54

41、 ( ) 0.23 ( ) 0.23 ( )2 2( ) 0.54 ( ) 0.23 ( ) 0.23 ( )1 1j jj j N NHm R R RjHm R R RW e W e W e W eW W e W WN N 2 2( ) ( )1 1( ) 0.54 ( ) 0.23 ( ) 0.23 ( )2 2( ) 0.54 ( ) 0.23 ( ) 0.23 ( )1 1j jj j N NHm R R RjHm R R RW e W e W e W eW W e W WN N 05.00.1 )(nw n2 1N 1NWHm(ejw)主 瓣 寬 度 為 8/N， 第 一 副 瓣 比

42、主 瓣 低 40dB。 dB080602040 0 N2 )e(Wlg20 j w 5 布 萊 克 曼 窗 (Blackman Window):二 階 升 余 弦 窗2 4( ) 0.42 0.5cos 0.08cos ( )1 1Bl Nn nn R nN N 2 2( ) ( )1 1R2 2( ) ( )1 1( ) 0.42 ( ) 0.25 ( ) ( )0.04 ( ) ( )j jj j N NBl R Rj jN NR RW e W e W e W eW e W e 2 2( ) 0.42 ( ) 0.25 ( ) ( )1 14 40.04 ( ) ( )1 1Bl R R

43、R R RW W W WN NW WN N 2 1N05.00.1 n)(nw 1NWBl(ejw)主 瓣 寬 度 為 12/N， 第一 副 瓣 比 主 瓣 低 57dB。 2 2( ) ( )1 1R2 2( ) ( )1 1( ) 0.42 ( ) 0.25 ( ) ( )0.04 ( ) ( )j jj j N NBl R Rj jN NR RW e W e W e W eW e W e 0 N2dB020406080 w)e(Wlg20 j 6、 凱 塞 -貝 塞 爾 窗 (K aiser-Basel Window) ,)112(1;10,)( )()( 200 N nNnIInW k

44、 其中 1 20 )2(!11)( k kxkxI 參 數(shù) 用 以 控 制 窗 的 形 狀 ， 影 響 濾 波 器 的 性 能 參 數(shù) ， 加 大 ， 主 瓣加 寬 ， 旁 瓣 幅 度 減 小 ， 典 型 數(shù) 據(jù) 為 ： 49； 當 5.44時 ， 窗 函數(shù) 接 近 哈 明 窗 ， 7.865時 ， 窗 函 數(shù) 接 近 布 萊 克 曼 窗 。凱 塞 窗 的 幅 度 函 數(shù) 為 ： I0(x)取 1525項 ， 可滿 足 精 度 要 求 ,)112(1;1,)( )()( 200 N nIInWk 其中I0(x) 是 零 階 第 一 類 修 正 貝 塞 爾 函 數(shù) ( 1)/21( ) (0)

45、2 ( )cosNk k knW n n 凱 塞 窗 參 數(shù) 對 濾 波 器 的 性 能 影 響 六 種 窗 函 數(shù) 的 基 本 參 數(shù) 四 、 窗 函 數(shù) 法 的 設(shè) 計 步 驟1 確 定 希 望 逼 近 的 濾 波 器 的 頻 響 函 數(shù) Hd(ej)2、 根 據(jù) Hd(ej)確 定 其 對 應(yīng) 的 單 位 脈 沖 響 應(yīng) hd(n) 2 2101( ) ( )M j k j knM MM dkh n H e eM IDFT( ) ( )M drh n h n rM RM(n)1( ) ( )2 j jd dh n H e e d n(1) Hd(ej)可 封 閉 求 解 ， 則 ：(2)

46、 Hd(ej) 不 可 封 閉 求 解 ， 對 Hd(ej) 從 =02采 樣 M點 ， 采 樣 值為 Hd(ej2k/M)， k=0,1,M-1， 用 2/M 代 替 上 式 中 d ， 則 ： (3) 如 果 已 知 通 帶 (或 阻 帶 )衰 減 和 邊 界 截 止 頻 率 c， 選 理 想 濾 波 器 作為 逼 近 函 數(shù) ， 對 理 想 濾 波 器 頻 響 函 數(shù) 作 IFT ， 求 出 hd(n)。,( ) 0, j a cjd ceH e )( )(sin)(2121)( )( an anwanjedweenh Cwwanjwjwnww jwad C CCC )( )(sin)(

47、2121)( )( an anwanjedweenh Cwwanjwjwnww jwad C CCC 2、 選 擇 窗 函 數(shù) 根 據(jù) 過 渡 帶 與 阻 帶 衰 減 的 要 求 ， 選 擇 滿 足 條 件 的 窗 函 數(shù) 形 式 ，并 估 計 窗 口 長 度 N。 原 則 是 保 證 阻 帶 衰 減 的 前 提 下 ， 盡 量 選 主 瓣 窄的 窗 函 數(shù) 。 3、 計 算 所 要 設(shè) 計 的 濾 波 器 的 單 位 采 樣 響 應(yīng) h(n) 計 算 濾 波 器 的 單 位 取 樣 響 應(yīng) h(n)= hd(n)w(n)。 其 中 w(n)是 上 面選 擇 好 的 窗 函 數(shù) ， hd(n)

48、與 w(n)都 應(yīng) 滿 足 線 性 相 位 要 求 。 4、 驗 證 技 術(shù) 指 標 是 否 滿 足 要 求 已 設(shè) 計 出 的 濾 波 器 的 頻 率 響 應(yīng) 。 驗 算 H(ej)是 否 滿 足 設(shè) 計 要 求 ， 若 不 滿 足 要 求 ， 重 復(fù) 上 面 2， 3， 4過 程 。1 0( ) ( )Nj j nnH e h n e 窗 函 數(shù) 法 優(yōu) 點 ： 從 時 域 出 發(fā) 的 一 種 設(shè) 計 方 法 ， 設(shè) 計 簡 單 ， 方 便 ， 實 用 。缺 點 是 ： 要 求 用 計 算 機 實 現(xiàn) ， 邊 界 頻 率 不 易 控 制 。Hd(ej) h(n)hd(n)IFT 加 窗 截

49、 斷 FT比 較 ， 滿 足 設(shè) 計 要 求 ， 則 設(shè) 計 完 畢 ， 不 合 格 則 修 改 窗 函 數(shù)H (ej) 例 ： 用 矩 形 窗 設(shè) 計 法 設(shè) 計 一 個 FIR線 性 相 位 低 通 濾 波 器 ， 已 知 c =0.5， N=21， (N-1)/2， 畫 出 h(n)和 20lg|H()/H(0)|曲 線 ， 再 計算 正 、 負 肩 峰 的 位 置 和 過 渡 帶 寬 帶 度 。單 位 脈 沖 響 應(yīng) hd(n)為 :1 sin( ( )( ) 2 ( ) cc j a j n cd n ah n e e d n a )an( )an(5.0sin - -=1 si (

50、 ( )( ) 2 ( )cc j a j n cd n ah n e e d n a ,( ) 0, j a cjd ceH e ,( ) 0,j a cjd cee ,( ) 0, j a cjd cee ,( ) 0, j a cjd ceH e 解 ： 理 想 濾 波 器 的 頻 響 為 ： 計 算 得 ：hd(n) ， 0， 1/9， 0， 1/7， 0， 1/5， 0， 1/3， 0， 1/， 0.5， 1/， 0， -1/3， 0， 1/5， 0， -1/7， 0， 1/9， 0 ， n=0加 矩 形 窗 ： h(n)=hd(n).RN(n) h(n) 0，0.0354，0，-0

51、.0455，0，0.0637，0，-0.1061，0，0.3183， 0.50， 0.3183，0， -0.1061，0，0.0637，0，-0.0455，0，0.0345，0 h(n) 0， 1/9， 0， 1/7， 0， 1/5， 0， 1/3， 0， 1/， 0.5， 1/， 0， -1/3， 0， 1/5， 0， -1/7， 0， 1/9， 0 20lg|H()/H(0)|曲 線 如 下 ： 正 肩 峰 A點 ： c- 2/N 0.5- 2/21 20lg(1.0895) = 0.74dB臨 界 頻 率 B點 ： c 0.5 20lg(0.5) = -6dB負 肩 峰 C點 ： c 2

52、/N 0.5 2/21 20lg(0.0895) = -21dB過 渡 帶 AC寬 度 為 ：c 2/N (c-2/N) = 4/N = 0.19 一 、 頻 率 采 樣 法 基 本 原 理設(shè) Hd(ej) 為 所 要 設(shè) 計 的 數(shù) 字 濾 波 器 的 頻 率 響 應(yīng) ， 則 :1、 在 = 范 圍 內(nèi) 對 Hd(ej) 進 行 N點 等 間 隔 采 樣 ， 得 到 Hd(k)6.3 用 頻 率 采 樣 法 設(shè) 計 FIR濾 波 器2 210( ) ( ) , 0,1,2, , 11( ) ( ) , 0,1,2, , 1jd d kDN j knNdkH k H e k Nh n H k

53、e k NN 2 210( ) ( ) , 0,1,2, , 11( ) ( ) , 0,1,2, , 1jd d kDN j knNdkH k H e k Nh n H k e k NN 2101( ) ( ) , 0,1,2, , 1kDN j knNdkhn H ke k NN 2 210( ) ( ) , 0,1,2, , 11( ) ( ) , 0,1,2, , 1jd d kDN j knNdkH k H e k Nh n H k e k NN 2 210( ) ( ) , , ,2, , 11( ) ( ) , 0,1,2, , 1jd d kDN j knNdkH k H e

54、k Nh n H k e k NN 2 210( ) ( ) , 0,1,2, , 11( ) ( ) , 0,1,2, , 1jd d kDj knNdkH k H e k Nh n H k e k NN 2、 對 N點 Hd(K )進 行 IDFT， 得 所 設(shè) 計 的 濾 波 器 的 單 位 脈 沖 響 應(yīng) h(n) 3 對 求 出 的 h(n)進 行 z變 換 ， 得 到 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) H(z)10( ) ( )N nnH z h n z 1 20 11 ( )( ) 1N N dj kk Nz H kH z N e z 或 利 用 頻 域 內(nèi) 插 公 式 （ P88

55、） Hd(ej) Hd(k) h(n)H(ej)等 間 隔 采 樣 IDFT內(nèi) 插 函 數(shù)是 否 滿 足 指 標 二 、 線 性 相 位 的 約 束(1) 第 一 類 線 性 相 位 ： h(n)偶 對 稱 ， N為 奇 數(shù) kNNkNNk 122 1 kk jkjkNj eHekNHeHkH )2()()( 2 21)( )()()( Njjj eHeHeH特 點 ： 幅 度 函 數(shù) H()關(guān) 于 =0， ， 2偶 對 稱 ， H () = H(2 )采 樣 值 ： Hk關(guān) 于 N/2偶 對 稱 ， 即 ： Hk= HN-k 相 位 采 樣 值 ： (2) 第 一 類 線 性 相 位 ： h

56、(n)偶 對 稱 ， N為 偶 數(shù) kNNkNN k 122 1 kk jkjkNj eHekNHeHkH )2()()( 2 21)( )()()( Njjj eHeHeH特 點 ： 幅 度 函 數(shù) H()關(guān) 于 =奇 對 稱 ， H () = -H(2 )采 樣 值 ： Hk關(guān) 于 N/2奇 對 稱 ， 即 ： Hk= -HN-k ，且HN/2 =0 相 位 采 樣 值 ： (3) 第 二 類 線 性 相 位 ： h(n)奇 對 稱 ， N為 奇 數(shù) 21222 1 kNNkNN k kk jkjkNj eHekNHeHkH )2()()( 2 )221()( )()()( Njjj eH

57、eHeH特 點 ： 幅 度 函 數(shù) H()關(guān) 于 =0， ， 2奇 對 稱 ， H () = -H(2 )采 樣 值 ： Hk奇 對 稱 ， 即 ： Hk= -HN-k 相 位 采 樣 值 ： (4) 第 二 類 線 性 相 位 ： h(n)奇 對 稱 ， N為 偶 數(shù) 21222 1 kNNkNN k kk jkjkNj eHekNHeHkH )2()()( 2 )221()( )()()( Njjj eHeHeH特 點 ： 幅 度 函 數(shù) H()關(guān) 于 =偶 對 稱 ， H () = H(2 )采 樣 值 ： Hk偶 對 稱 ， 即 ： Hk=HN-k 相 位 采 樣 值 ： （ 2） h

58、(n)偶 對 稱 ， N為 偶 數(shù) 時 ：設(shè) 計 方 法 ： 用 理 想 濾 波 器 作 為 逼 近 濾 波 器 ， 截 止 頻 率 為 c， 采 樣 點 數(shù) 為 N，則 Hk和 k的 計 算 公 式 為 ：（ 1） h(n)偶 對 稱 ， N為 奇 數(shù) 時 ：Hk = HN-k = 1， k=0， 1， ， kc；Hk = 0， k= kc+1， kc+2， ， N-kc-1；kNNk 1 k=0， 1， ， N-1；Hk = 1， k=0， 1， ， kc；Hk = 0， k= kc+1， kc+2， ， N-kc-1；kNNk 1 k=0， 1， ， N-1；HN-k = -1， k=0

59、， 1， ， kc；kc取 小 于 等 于 cN /2的 最 大 整 數(shù) 對 H(k) 進 行 IDFT變 換 ， 求 出 h(n)；由 h(n)可 求 出 所 設(shè) 計 濾 波 器 的 頻 響 H(ejw)由 前 面 計 算 出 的 Hk和 k的 值 可 構(gòu) 造 出 H(k)kjkeHkH )(等 效 于 在 0， 2 上 的 N個 采 樣 值k=0，1，N-1； 三 、 誤 差 分 析 與 改 進 措 施 設(shè) 待 設(shè) 計 的 濾 波 器 為 Hd(ej)， 對 應(yīng) 的 單 位 取 樣 響 應(yīng) 為 hd(n)1( ) ( )2 j j nd dh n H e e d ( ) ( ) ( ) d

60、 Nrh n h n rN R n 1、 從 時 域 分 析 誤 差 頻 域 采 樣 定 理 ： 在 頻 域 02之 間 等 間 隔 采 樣 N點 ， 利 用 IDFT得 到 的 h(n)。分 析 ： 如 果 Hd(ej)有 間 斷 點 ， 則 hd(n)是 無 限 長 的 ， 這 樣 得 到 的 h(n)產(chǎn) 生 時 域 的混 迭 ， 無 法 逼 近 hd(n)。改 進 措 施 ： 增 大 N值 ， 使 設(shè) 計 出 的 濾 波 器 愈 逼 近 待 設(shè) 計 Hd(ej)。 2、 從 頻 域 分 析 誤 差 頻 率 域 等 間 隔 采 樣 得 到 N個 采 樣 值 H(k)， 頻 響 函 數(shù) 和

61、H(k)的 關(guān) 系 為1 20 110 121 ( )( ) 1 2( ) ( ) ( )1 sin( /2)( ) sin( /2)N N jk NNj k Njz H kH z N e zH e H k kNN eN 1 20 110 121 ( )( ) 1 2) ( ) ( )1 sin( /2)( ) sin( /2)N N jk NNj k Njz H kz e zH k kNN eN 內(nèi) 插 函 數(shù)內(nèi) 插 公 式 在采樣點 =2k/N，k=0,1,N-1處，( -2k/N)=1，因此采樣點H(e jk)與H(k)相等，逼近誤差為0。 在采樣點間，H(ej)由有限項H(k)與( -

62、2k/N)之乘積和形成，其誤差與Hd(ej )平滑度有關(guān)，越平滑，誤差越小。 特性曲線間斷點處，誤差最大，表現(xiàn)形式為間斷點用斜線取代，且間斷點附近形成振蕩特性，使阻帶衰減減小，有可能滿足不了技術(shù)要求。誤 差 分 析 ： (1)增 大 N值 ， 但 間 斷 點 仍 無 法 彌 補 ， 帶 來 體 積 增 大 ， 成 本 增 加 。(2) 在 頻 響 間 斷 點 附 近 區(qū) 間 內(nèi) 插 一 個 或 幾 個 過 渡 采 樣 點 ， 使 不 連續(xù) 點 變 成 緩 慢 過 渡 ， 雖 然 增 加 了 過 渡 帶 帶 寬 (代 價 ） ， 但 增 加 了 阻帶 衰 減 (收 獲 )。 過 渡 帶 的 優(yōu)

63、化 要 借 助 于 計 算 機 優(yōu) 化 設(shè) 計 。減 小 誤 差 措 施 總 結(jié) ： 頻 率 采 樣 法 設(shè) 計 線 性 相 位 FIR濾 波 器 步 驟1、 根 據(jù) c 及 N的 奇 偶 性 ， 確 定 濾 波 器 Hk和 k及 kC值 ；2、 由 H(k) = Hkejk， 求 出 H (k)；3、 對 H (k) 進 行 IDFT變 換 ， 求 出 h(n)；4、 由 h(n) 求 出 所 設(shè) 計 的 濾 波 器 的 頻 率 響 應(yīng) H(ejw)， 并 分 析 誤 差 ，優(yōu) 化 設(shè) 計 。 例 ： 試 用 頻 率 采 樣 設(shè) 計 法 設(shè) 計 一 個 FIR線 性 相 位 低 通 濾 波

64、器 ， 已 知 ：c =0.5， N=51。 畫 出 |Hd(ejw)|， |H(k)|, 20lg|H(ejw)|曲 線 。解 ： 在 0 0.5和 1.5 2處 的 幅 度 函 數(shù) 為 1， 其 余 為 0 。 采 樣 頻 率為 ： 2/N 2/51， c 51/2 12.7， 所 以 kc 取 值 12。Hk 1 0k12 和 39k5013k380(k) = k(N-1)/N 50k/51由 幅 度 和 相 位 特 性 ， 得 到 FIR DF的 采 樣 值 為H(k) H kejk e j50K /51 0k12 和 39k5013k380 畫 出 |Hd(ejw)|， |Hd (k

65、)|的 曲 線 如 下 圖 所 示 20lg|H(ejw)|曲 線 如 下 圖 所 示 -Ne1)jwe(H Nj= 1 20 110 121 ( )( ) 1 2( ) ( ) ( )1 sin( /2)( ) sin( /2)N N jk NNj k Njz H kH z N e zH e H k kNN eN jkN eW1 )k(H - 頻 率 采 樣 法 特 點 ：優(yōu) 點 ：(1) 可 以 在 頻 域 直 接 進 行 設(shè) 計 ， 并 且 適 合 于 最 優(yōu) 化 設(shè) 計 ；(2) 特 別 適 合 于 設(shè) 計 窄 選 頻 濾 波 器 ， 因 為 只 有 少 數(shù) 幾 個 非 零 值 的H(

66、k)， 因 而 設(shè) 計 計 算 量 小 。缺 點 ： 采 樣 頻 率 只 能 等 于 2/N的 整 數(shù) 倍 ， 因 而 不 能 確 保 制 止 頻 率 的自 由 取 值 ， 要 想 實 現(xiàn) 自 由 地 選 擇 截 止 頻 率 ， 必 須 增 加 采 樣 點 數(shù) N，但 這 又 使 計 算 量 加 大 。 1 性 能 方 面 ：IIR濾 波 器 ： 傳 輸 極 點 可 位 于 單 位 圓 內(nèi) 任 何 地 方 。優(yōu) 點 ： 較 低 階 數(shù) 濾 波 器 實 現(xiàn) ， 存 儲 單 元 少 ， 所 以 經(jīng) 濟 且 效 率 高 ；缺 點 ： 相 位 是 非 線 性 的 ， 往 往 可 選 擇 性 越 好 ， 相 位 非 線 性 越 嚴 重 。FIR濾 波 器優(yōu) 點 ： 可 以 得 到 嚴 格 的 線 性 相 位 。缺 點 ： 由 于 濾 波 器 傳 輸 函 數(shù) 的 極 點 固 定 在 原 點 ， 所 以 只 能 用 較 高 階數(shù) 的 濾 波 器 達 到 性 能 指 標 。 6.5 IIR和 FIR數(shù) 字 濾 波 器 的 比 較 2 結(jié) 構(gòu) 方 面 ：l IIR濾 波 器 采 用 遞 歸 型 結(jié) 構(gòu)