1-3 函數(shù)極限

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1、第 三 講 函 數(shù) 的 極 限 教學(xué)要求 一 、 理 解 函 數(shù) 在 有 限 點(diǎn) 處 以 及 無(wú) 窮 大處 極 限 的 概 念 ， 了 解 函 數(shù) 在 有 限 點(diǎn) 處 及無(wú) 窮 大 處 的 精 確 定 義 ， 了 解 左 、 右 極 限的 定 義二 、 了 解 函 數(shù) 極 限 的 性 質(zhì) 函數(shù)的極限一 、 函 數(shù) 極 限 的 概 念二 、 不 同 過(guò) 程 的 函 數(shù) 極 限 的 關(guān) 系三 、 函 數(shù) 極 限 的 性 質(zhì) 函數(shù)的極限一 、 函 數(shù) 極 限 的 概 念二 、 不 同 過(guò) 程 的 函 數(shù) 極 限 的 關(guān) 系三 、 函 數(shù) 極 限 的 性 質(zhì) 一、函數(shù)極限的概念（ 一 ） 自 變 量

2、的 不 同 變 化 過(guò) 程（ 二 ） 函 數(shù) 極 限 的 統(tǒng) 一 定 義（ 三 ） 各 過(guò) 程 的 函 數(shù) 極 限 定 義（ 四 ） 舉 例 一、函數(shù)極限的概念（ 一 ） 自 變 量 的 不 同 變 化 過(guò) 程（ 二 ） 函 數(shù) 極 限 的 統(tǒng) 一 定 義（ 三 ） 各 過(guò) 程 的 函 數(shù) 極 限 定 義（ 四 ） 舉 例 （一）自變量的不同變化過(guò)程x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 （一）自變量的不同變化過(guò)程x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 1自變量恒取正值，遞增地?zé)o限變大xu例xxf arctan)( 2當(dāng)x 時(shí)，( )f x 2 xoy lim

3、( )x f x A （一）自變量的不同變化過(guò)程x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 （一）自變量的不同變化過(guò)程x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 2自變量恒取負(fù)值， |x|遞增地?zé)o限變大xu例：xxf arctan)( 2當(dāng)x 時(shí)，( )f x 2 xoy lim ( )x f x A （一）自變量的不同變化過(guò)程x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 （一）自變量的不同變化過(guò)程x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 xoy3自變量可取正值，也可取負(fù)值， |x|無(wú)限變大xu例：21 1)( xxf 當(dāng)x 時(shí)，( )f x 0

4、lim ( )x f x A （一）自變量的不同變化過(guò)程x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 （一）自變量的不同變化過(guò)程x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 xoy 4x遞增地?zé)o限接近常數(shù)x0，但恒不等于x0u例： 1,2 1,0 1,)( xx xxxxf 0 xx -1 1當(dāng)x 1時(shí)，( )f x 1lim ( )x x f x A 0（左極限） （一）自變量的不同變化過(guò)程x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 （一）自變量的不同變化過(guò)程x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 xoy 5x遞減地?zé)o限接近常數(shù)x0，但恒不等于

5、x0u例： 1,2 1,0 1,)( xx xxxxf 0 xx 1 1當(dāng)x 1時(shí)，( )f x 1（右極限）lim ( )x x f x A 0 （一）自變量的不同變化過(guò)程x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 （一）自變量的不同變化過(guò)程x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 xoy 6|x-x0|無(wú)限變小，但恒不等于0u例：11)( 2 xxxf 0 xx 12當(dāng)x 1時(shí)，( )f x 2lim ( )x x f x A 0 一、函數(shù)極限的概念（ 一 ） 自 變 量 的 不 同 變 化 過(guò) 程（ 二 ） 函 數(shù) 極 限 的 統(tǒng) 一 定 義（ 三 ） 各 過(guò)

6、程 的 函 數(shù) 極 限 定 義（ 四 ） 舉 例 一、函數(shù)極限的概念（ 一 ） 自 變 量 的 不 同 變 化 過(guò) 程（ 二 ） 函 數(shù) 極 限 的 統(tǒng) 一 定 義（ 三 ） 各 過(guò) 程 的 函 數(shù) 極 限 定 義（ 四 ） 舉 例 12 xoy1 1 xoyxoy-1 1 xoyx函數(shù)極限的統(tǒng)一定義如果存在常數(shù)A具有如下性質(zhì)： 0 “一個(gè)時(shí)刻”使得“在該時(shí)刻以后”恒有( )f x A 2 xoy 2 xoyx xx x 0 x x 0 x x 0則稱函數(shù)在該過(guò)程中極限存在，極限為A考慮自變量的某個(gè)變化過(guò)程， 一、函數(shù)極限的概念（ 一 ） 自 變 量 的 不 同 變 化 過(guò) 程（ 二 ） 函

7、數(shù) 極 限 的 統(tǒng) 一 定 義（ 三 ） 各 過(guò) 程 的 函 數(shù) 極 限 定 義（ 四 ） 舉 例 一、函數(shù)極限的概念（ 一 ） 自 變 量 的 不 同 變 化 過(guò) 程（ 二 ） 函 數(shù) 極 限 的 統(tǒng) 一 定 義（ 三 ） 各 過(guò) 程 的 函 數(shù) 極 限 定 義（ 四 ） 舉 例 函數(shù)極限的統(tǒng)一定義 0 “一個(gè)時(shí)刻”使得“在該時(shí)刻以后”恒有( )f x A ( )A f x A xoyA+A-A （三）各過(guò)程的函數(shù)極限定義x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 （三）各過(guò)程的函數(shù)極限定義x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 1自變量恒取正值，遞增地?zé)o限變大x

8、u例xxf arctan)( 2當(dāng)x 時(shí)，( )f x 2 xoy lim ( )x f x A 1自變量恒取正值，遞增地?zé)o限變大xu例xxf arctan)( 2當(dāng)x 時(shí)，( )f x 2 xoy lim ( )x f x A 0 “一個(gè)時(shí)刻”使得“在該時(shí)刻以后”恒有( )f x A 1自變量恒取正值，遞增地?zé)o限變大xu例xxf arctan)( 2當(dāng)x 時(shí)，( )f x 2 xoy X 0 “一個(gè)時(shí)刻”使得“在該時(shí)刻以后”恒有( )f x A X0當(dāng)xX時(shí)lim ( )x f x A （三）各過(guò)程的函數(shù)極限定義x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 （三）各過(guò)程的函數(shù)極限定

9、義x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 2自變量恒取負(fù)值， |x|遞增地?zé)o限變大xu例：xxf arctan)( 2當(dāng)x 時(shí)，( )f x 2 xoy lim ( )x f x A 2自變量恒取負(fù)值， |x|遞增地?zé)o限變大xu例：xxf arctan)( 2當(dāng)x 時(shí)，( )f x 2 xoy lim ( )x f x A 0 “一個(gè)時(shí)刻”使得“在該時(shí)刻以后”恒有( )f x A 2自變量恒取負(fù)值， |x|遞增地?zé)o限變大xu例：xxf arctan)( 2當(dāng)x 時(shí)，( )f x 2 xoy lim ( )x f x A 0 “一個(gè)時(shí)刻”使得“在該時(shí)刻以后”恒有( )f x A

10、-XX0當(dāng)x0當(dāng)|x|X時(shí) （三）各過(guò)程的函數(shù)極限定義x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 （三）各過(guò)程的函數(shù)極限定義x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 xoy 4x遞增地?zé)o限接近常數(shù)x0，但恒不等于x0u例： 1,2 1,0 1,)( xx xxxxf 0 xx -1 1當(dāng)x 1時(shí)，( )f x 1lim ( )x x f x A 0（左極限） xoy 4x遞增地?zé)o限接近常數(shù)x0，但恒不等于x0u例： 1,2 1,0 1,)( xx xxxxf 0 xx -1 1當(dāng)x 1時(shí)，( )f x 1lim ( )x x f x A 0（左極限） 0 “一個(gè)時(shí)刻”

11、使得“在該時(shí)刻以后”恒有( )f x A xoy 4x遞增地?zé)o限接近常數(shù)x0，但恒不等于x0u例： 1,2 1,0 1,)( xx xxxxf 0 xx -1 1當(dāng)x 1時(shí)，( )f x 1lim ( )x x f x A 0（左極限） 0 “一個(gè)時(shí)刻”使得“在該時(shí)刻以后”恒有( )f x A 0 1-當(dāng)x0-x0當(dāng)x0 x0 1+1-當(dāng)x0-x0，則在該過(guò)程中必存在“一個(gè)時(shí)刻”，使得在該“時(shí)刻以后”恒有：f (x)0.推論若函數(shù) f (x)在某一過(guò)程中不小于零，且存在極限A，則A0. 函數(shù)的極限一 、 函 數(shù) 極 限 的 概 念二 、 不 同 過(guò) 程 的 函 數(shù) 極 限 的 關(guān) 系三 、 函 數(shù) 極 限 的 性 質(zhì)