微分方程第四節(jié)高階線性方程

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1、第 四 節(jié) 高 階 線 性 方 程1 二 階 齊 次 線 性 方 程 的 通 解 結 構2 二 階 非 齊 次 線 性 方 程 的 通 解 結 構三 n階 線 性 方 程 的 通 解 結 構 一 二 階 齊 次 線 性 方 程 的 通 解 結 構 )( 11 yCxP )( 11 yCxQ 0 證 畢)(),( 21 xyxy若 函 數(shù) 是 二 階 齊 次 線 性 方 程0)()( yxQyxPy的 兩 個 解 ,也 是 該 方 程 的 解 .證 : )()( 2211 xyCxyCy 將 代 入 方 程 左 邊 , 得 11 yC 22 yC 22 yC 22 yC)()( 1111 yxQ

2、yxPyC )()( 2222 yxQyxPyC (疊 加 原 理 ) )()( 2211 xyCxyCy 則 ),( 21 為 任 意 常 數(shù)CC定 理 1.二 階 齊 次 線 性 方 程 一 般 形 式 0)()( yxQyxPy 說 明 : 不 一 定 是 所 給 二 階 方 程 的 通 解 .例 如 , )(1 xy 是 某 二 階 齊 次 方 程 的 解 , )(2)( 12 xyxy 也 是 齊 次 方 程 的 解 )()2()()( 1212211 xyCCxyCxyC 并 不 是 通 解但 是 )()( 2211 xyCxyCy 則為 解 決 通 解 的 判 別 問 題 , 下

3、 面 引 入 函 數(shù) 的 線 性 相 關 與 線 性 無 關 概 念 . 定 義 )(,),(),( 21 xyxyxy n設 是 定 義 在 區(qū) 間 I 上 的 n 個 函 數(shù) , , 21 nkkk 使 得Ixxykxykxyk nn ,0)()()( 2211 則 稱 這 n個 函 數(shù) 在 I 上 線 性 相 關 , 否 則 稱 為 線 性 無 關 .例 如 ， ,sin,cos,1 22 xx 在 ( , )上 都 有0sincos1 22 xx故 它 們 在 任 何 區(qū) 間 I 上 都 線 性 相 關 ;又 如 ， ,1 2xx 若 在 某 區(qū) 間 I 上 ,02321 xkxkk則

4、 根 據 二 次 多 項 式 至 多 只 有 兩 個 零 點 , 321 , kkk必 需 全 為 0 , 可 見2,1 xx故 在 任 何 區(qū) 間 I 上 都 線 性 無 關 .若 存 在 不 全 為 0 的 常 數(shù) 兩 個 函 數(shù) 在 區(qū) 間 I 上 線 性 相 關 與 線 性 無 關 的 充 要 條 件 :)(),( 21 xyxy 線 性 相 關存 在 不 全 為 0 的 21, kk 使 0)()( 2211 xykxyk 1221 )( )( kkxy xy ( 無 妨 設 )01 k)(),( 21 xyxy 線 性 無 關 )( )(21 xy xy 常 數(shù)函 數(shù) )(, ba

5、ee bxax 是 線 性 無 關 的 ；函 數(shù) axax xee , 是 線 性 無 關 的 ；函 數(shù) cos , sin ( 0)ax axe bx e bx b 是 線 性 無 關 的 ；由 此 可 知 思 考 : )(),( 21 xyxy若 中 有 一 個 恒 為 0, )(),( 21 xyxy必 線 性 相 關 則定 理 2. )(),( 21 xyxy若 是 二 階 線 性 齊 次 方 程 的 兩 個 線性 無 關 特 解 , 則 )()( 2211 xyCxyCy 數(shù) ) 是 該 方 程 的 通 解 .例 如 , 方 程 0 yy 有 特 解 ,cos1 xy ,sin2 x

6、y 且常 數(shù) , 故 方 程 的 通 解 為xCxCy sincos 21 (自 證 ) xy tan2 1y 為 任 意 常21,( CC 是 方 程xyxy e, 21 ,0)1(: yxyyx對又 例 如 ,的 兩 個 解 .e : 21 xcxcy 則 方 程 的 通 解 為 二 二 階 非 齊 次 線 性 方 程 解 的 結 構二 階 非 齊 次 線 性 方 程 一 般 形 式 )()()( xfyxQyxPy )(* xy設 是 二 階 非 齊 次 方 程的 一 個 特 解 , )(*)( xyxYy Y (x) 是 相 應 齊 次 方 程 的 通 解 ,定 理 3. )()()(

7、 xfyxQyxPy 則是 非 齊 次 方 程 的 通 解 .證 : 將 )(*)( xyxYy 代 入 方 程 左 端 , 得)*( yY )*()( yYxP )*)(*)(*( yxQyxPy )()( YxQYxPY )(0)( xfxf )*()( yYxQ )(*)( xyxYy 故 是 非 齊 次 方 程 的 解 , 又 Y 中 含 有兩 個 獨 立 任 意 常 數(shù) ,例 如 , 方 程 有 特 解 xy *xCxCY sincos 21 對 應 齊 次 方 程 有 通 解因 此 該 方 程 的 通 解 為 xxCxCy sincos 21 證 畢因 而 也 是 通 解 .xyy

8、 0 yy 定 理 4. )(),( 21 xyxy設 分 別 是 方 程的 特 解 , 是 方 程)()()( 1 xfyxQyxPy 21 yyy 則 )()()()( 21 xfxfyxQyxPy 的 特 解 . (非 齊 次 方 程 之 解 的 疊 加 原 理 ) )()()( 2 xfyxQyxPy , 為 常 數(shù) ，證 yxQyxPy )()( )()( 212121 yyxQyyxPyy )()( 111 yxQyxPy )()( 222 yxQyxPy )(1 xf )(2 xf 特 別 取 ),()()( 21 xfxfxf ,1 有)(),( 21 xyxy設 為 方 程

9、)()()( xfyxQyxPy 的 兩 個 解 ， 則 21 yy 為 方 程 0)()( yxQyxPy的 解 。 常 數(shù) , 則 該 方 程 的 通 解 是 ( ). 321 , yyy設 線 性 無 關 函 數(shù) 都 是 二 階 非 齊 次 線性 方 程 )()()( xfyxQyxPy 的 解 , 21,CC 是 任 意;)( 32211 yyCyCA 1 1 2 2 1 2 3( ) ( ) ;B C y C y C C y 1 1 2 2 1 2 3( ) ( 1 ) ;C C y C y C C y .)1()( 3212211 yCCyCyCD D例 1提 示 : 3231 ,

10、 yyyy 都 是 對 應 齊 次 方 程 的 解 ,二 者 線 性 無 關 . (反 證 法 可 證 ) 3322311 )()()( yyyCyyCC 3322311 )()()( yyyCyyCD 例 2 已 知 微 分 方 程 )()()( xfyxqyxpy 個 解 , 2321 xx eyeyxy 求 此 方 程 滿 足 初 始 條 件3)0(,1)0( yy 的 特 解 .解 : 1312 yyyy 與 是 對 應 齊 次 方 程 的 解 , 且 xe xeyy yy xx213 12 常 數(shù)因 而 線 性 無 關 , 故 原 方 程 通 解 為 )()( 221 xeCxeCy

11、 xx x代 入 初 始 條 件 ,3)0(,1)0( yy ,2,1 21 CC得.2 2 xx eey 故 所 求 特 解 為 有 三 三 n階 線 性 方 程 的 通 解 結 構定 理 5 ),2,1)( nkxyk 若 是 n階 齊 次 線 性 方 程 的n個 線 性 無 關 特 解 , )(1 nk kk xyCy是 該 方 程 的 通 解 . )( 為 任 意 常 數(shù)kC則n 階 線 性 微 分 方 程 的 一 般 形 式 為 )()()()( 1)1(1)( xfyxayxayxay nnnn 時 , 稱 為 非 齊 次 方 程 ; 0)( xf 時 , 稱 為 齊 次 方 程

12、.0)( xf 定 理 6 )(,),(),( 21 xyxyxy n設 是 對 應 齊 次 方 程 的 n 個 線 性)(*)()()( 2211 xyxyCxyCxyCy nn 無 關 特 解 , 給 定 n 階 非 齊 次 線 性 方 程 )()()( )1(1)( xfyxayxay nnn )()( xyxY )(* xy 是 非 齊 次 方 程 的 特 解 , 則 非 齊 次 方 程的 通 解 為齊 次 方 程 通 解 非 齊 次 方 程 特 解 定 理 7 )(),( 21 xyxy設 是 n階 線 性 方 程的 解 , 分 別 是 n 階 線 性 方 程)()()( 1)1(1)( xfyxayxay nnn 為 常 數(shù) ， )()()( 2)1(1)( xfyxayxay nnn , 則 21 yyy yxayxay nnn )()( )1(1)( 的 解 。 )()( 21 xfxf