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1、 高 二 數(shù) 學(xué) 組 劉 霄 1.建 立 楊 輝 三 角 與 二 項(xiàng) 式 系 數(shù) 之 間 的 直 覺 ，并 探 索 其 中 的 規(guī) 律 . 2.理 解 和 掌 握 二 項(xiàng) 式 系 數(shù) 的 性 質(zhì) (重 難 點(diǎn) ) 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) n探 究 用 計(jì) 算 器 計(jì) 算 展 開 式 的 二 項(xiàng) 式 系 數(shù)并 填 入 下 表 nba 展 開 式 的 二 項(xiàng) 式 系 數(shù) nba123456通 過 計(jì) 算 填 表 ， 你 發(fā) 現(xiàn) 了 什 么 規(guī) 律 ？1 1 1 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 (a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)
2、4(a+b)5(a+b)6 1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1 從 上 表 可 以 發(fā) 現(xiàn) ， 每 一 行 中 的 數(shù) 具 有 對 稱 性 ，除 此 之 外 ， 還 有 什 么 規(guī) 律 呢 ？ 為 了 方 便 觀 察 研 究 ， 可將 上 表 寫 成 下 面 的 形 式 。探 究 你 能 借 助 上 面 的 楊 輝 三 角 發(fā) 現(xiàn) 一 些 新 的 規(guī) 律 嗎 ？ 第 5行 1 5 5 1第 0行 1第 1行 1 1第 2行 1 2 1第 3行 1 3 3 1第 4行 1 4 1第 6行 1 6 15 6 1第 n-1行 1
3、 1 1nC 12 1nC 11rnC rnC 1 21nnC第 n行 1 1nC 12nC 1nnC 1515=5+10 20 20=10+101010=6+4 10 6 6=3+34=1+3 4 0)( ba 1)( ba 2)( ba 3)( ba 4)( ba 5)( ba 6)( ba nba )( rnrnrn CCC 111 rnC 性 質(zhì) 1： 對 稱 性與 首 末 兩 端 “ 等 距 離 ” 的 兩 個 二 項(xiàng) 式 系 數(shù) 相 等 這 一 性 質(zhì) 可 直 接 由 公 式 得 到 mnnmn CC 展 開 式 的 二 項(xiàng) 式 系 數(shù) 依 次 是 ： nba )( nnnnn C
4、,C,C,C 210 性 質(zhì) 2： 增 減 性 與 最 大 值由 于 ： kkn kk knnnn knkn 1C )!1( )1()2)(1(C 1 所 以 相 對 于 的 增 減 情 況 由 決 定 knC 1C k n kkn 12 111 nkkkn由 ： 2 1 nk 可 知 ， 當(dāng) 時 ， 二 項(xiàng) 式 系 數(shù) 是 逐 漸 增 大 的 ， 因 此 ， 當(dāng) n為 偶 數(shù) 時 ， 中 間 一 項(xiàng) 的 二 項(xiàng) 式 系 數(shù)2Cnn 取 得 最 大 值 ； 當(dāng) n為 奇 數(shù) 時 ， 中 間 兩 項(xiàng) 的 二 項(xiàng) 式 系 數(shù) 、21C nn 21C nn相 等 ， 且 同 時 取 得 最 大 值
5、。性 質(zhì) 2： 增 減 性 與 最 大 值 由 對 稱 性 可 知 它 的 后 半 部 分 是 逐 漸 減 小 的 ， 且中 間 項(xiàng) 取 得 最 大 值 。 也 就 是 說 , (a+b)n的 展 開 式中 的 各 個 二 項(xiàng) 式系 數(shù) 的 和 為 2n ？2n賦 值 法 nnnnn CCCC 210（ nnnrrnnnnn xCxCxCxCCx1 2210 ） 令 x=1，性 質(zhì) 3： 各 項(xiàng) 二 項(xiàng) 式 系 數(shù) 的 和 一 般 地 ， 展 開 式 的 二 項(xiàng) 式 系 數(shù) 有 如 下 性 質(zhì) ：nba )( （ 1） nnnn CCC , 10 mnnmn CC （ 2） （ 3） 當(dāng) 時
6、， （ 4） mnmnmn CCC 11 2 1 nr 1 rnrn CC 當(dāng) 時 ， 2 1 nr rnrn CC 1 nnnnn CCC 210 利 用 楊 輝 三 角 可 得 二 項(xiàng) 式 系 數(shù) 的 對 稱性 、 增 減 性 和 最 大 值 ;以 及 各 項(xiàng) 二 項(xiàng) 式 系數(shù) 的 和 。 小 試 牛 刀 ：1） 已 知 ， 那 么 = ；2） 的 展 開 式 中 ， 二 項(xiàng) 式 系 數(shù) 的 最 大 值是 ；3） 若 的 展 開 式 中 的 第 十 項(xiàng) 和 第 十 一項(xiàng) 的 二 項(xiàng) 式 系 數(shù) 最 大 ， 則 n= ；5 915 15,C a C b 1016C9( )a b( )na b126 a+b19
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