《函數(shù)極限》PPT課件

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1、一 、 自 變 量 趨 于 有 限 值 時(shí) 函 數(shù) 的 極 限二 、 自 變 量 趨 于 無 窮 大 時(shí) 函 數(shù) 的 極 限第 三 節(jié) 函 數(shù) 的 極 限 ,)(xfy對(duì) 0)1( xx 0)2( xx 0)3( xx x)4( x)5( x)6(自 變 量 變 化 過 程 的 六 種 形 式 : 根 據(jù) 自 變 量 的 這 種 變 化 過 程 ， 本 節(jié) 主 要 研 究 以 下兩 種 情 況 ：二 、 當(dāng) 自 變 量 x的 絕 對(duì) 值 無 限 增 大 時(shí) ， f(x)的 變 化 趨 勢 ，的 極 限時(shí)即 )(, xfx 一 、 當(dāng) 自 變 量 x無 限 地 接 近 于 x0時(shí) ， f(x)的

2、 變 化 趨 勢的 極 限時(shí)即 )(,0 xfxx 一 、 自 變 量 趨 向 有 限 值 時(shí) 函 數(shù) 的 極 限的 變 化 趨 勢函 數(shù)時(shí)考 察 1 )1(2)(,1 2 xxxfx 這 個(gè) 函 數(shù) 雖 在 x=1處無 定 義 ， 但 從 它 的 圖形 上 可 見 ， 當(dāng) 點(diǎn) 從 1的左 側(cè) 或 右 側(cè) 無 限 地 接近 于 1時(shí) ， f(x)的 值 無限 地 接 近 于 4， 我 們 稱常 數(shù) 4為 f(x)當(dāng) x1 時(shí) f(x) 的 極 限 。 1 xyo4 Axf )( 00 xx 0 x 0 x,0 鄰 域的 去 心點(diǎn) x .0程 度接 近體 現(xiàn) xx怎 樣 用 數(shù) 學(xué) 語 言 刻

3、劃 ,0 xx 無 限 接 近 )(xf函 數(shù)于 確 定 值 A？ ;)( 任 意 小表 示 Axf .0的 過 程表 示 xx 0 xx ),( 0 xU xO 0 x ,0若 )( 若1.定 義定 義 1 設(shè) 函 數(shù)有 定 義 . ,0 ,0 0 時(shí)使 當(dāng) xx Axf )( ,)(0 Axfxx 有 極 限時(shí) 函 數(shù)則 稱 ,)(lim 0 Axfxx 記 作 ).()( 0 xxAxf 或 恒 有 )(xf 在 點(diǎn) x0某 去 心 鄰 域 內(nèi) 注 定 義 習(xí) 慣 上 稱 為 極 限 的 定 義 其 三 個(gè) 要 素 ：10。 正 數(shù) ， 20。 正 數(shù) ， 30。 不 等 式 )|0(|

4、)(| 0 xxAxf定 義 .)( ,0,0,0 0 Axf xx恒 有 時(shí)使 當(dāng)0lim ( )x x f x A 定 義 中 |0 0 xx 0 xx 表 示 所 以 x x0時(shí) ， f(x) 有 無 極 限 與 f(x)在 x0處 的狀 態(tài) 并 無 關(guān) 系 ， 這 是 因 為 我 們 所 關(guān) 心 的 是 f(x) 在 x0附 近 的 變 化 趨 勢 ， 即 x x0時(shí) f(x) 變 化 有 無 終 極目 標(biāo) ， 而 不 是 f(x) 在 x0這 一 孤 立 點(diǎn) 的 情 況 。 約 定 x x0但 xx0 0反 映 了 x充 分 靠 近 x0的 程 度 ， 它 依 賴 于 ，對(duì) 一 固

5、定 的 而 言 ， 合 乎 定 義 要 求 的 并 不 是 唯一 的 。 由 不 等 式 |f(x) A| 來 選 定 ，一 般 地 ， 越 小 ， 越 小 ,0 AyA必 存 在 x0的 去 心 鄰 域,0 0 xx對(duì) 于 此 鄰 域 內(nèi) 的 x,對(duì) 應(yīng) 的 函 數(shù) 圖 形 位 于 這 一 帶 形 區(qū) 域 內(nèi) .的 幾 何 意 義Axfxx )(lim.2 0 作 出 帶 形 區(qū) 域,0 ,0 0 xx當(dāng) Axf )(,0 xyO )(xfy A A 0 x0 x 0 xA 一 般 說 來 , ,)(lim0 Axfxx 論 證 應(yīng) 從 不 等 式 Axf )( 出 發(fā) , 推 導(dǎo) 出 應(yīng)

6、小 于 怎 樣 的 正 數(shù) ,這 個(gè) 正 數(shù) 就 是 要 找 的 與 相 對(duì) 應(yīng) 的 ,這 個(gè) 推 導(dǎo) 常 常 是 困 難 的 . 但 是 , 注 意 到 我 們 不 需 要 找 最 大 的 , 所 以Axf )( 適 當(dāng) 放 大 些 ,的 式 子 , 變 成 易 于 解 出 0 xx .找 到 一 個(gè) 需 要 的 找 到就 證 明 完 畢 .可 把 . lim 00 xxxx 證明證 , | 0 , ,0 0時(shí)則當(dāng)取 xx | 0 xx . lim , 00 xxxx 故成立例 1 例 2 證 明 5)13(lim2 xx證 |2|3|5)(| xxf |2|3|5)(| xxf要 使 3|

7、2| x只 須于 是 0 )3( 時(shí)當(dāng) |2|0 x恒 有 |5)(| xf 5)13(lim2 xx 例 3. 證 明 211lim 21 xxx證 : Axf )( 2112 xx 21 x故 ,0 取 , 當(dāng) 10 x 時(shí) , 必 有 2112xx因 此 211lim 21 xxx 1 x 注 ： 在 x=1處 f(x)出 現(xiàn) 了 一 個(gè) 洞 ， 這 就 如 同 人 生 命 中的 一 小 塊 空 白 ， 一 個(gè) 失 去 了 意 義 的 日 子 ， 但 重 要 的 是追 求 理 想 的 過 程 。 例 4 .lim 0 0 xxxx 證 0)( xxAxf ,0 ,0 0 時(shí)當(dāng) xx 00

8、 xx xx Axf )(要 使 ,0 xx有 00 xxx即 只 要 .lim,0: 00 0 xxx xx 時(shí)當(dāng)證 明 0 x且取 , 0 x 0 x min 00 xxx0 x 可 用 00 xxx 保 證 (1) 證 明 914lim2 xx證 ,0 由 于 24914 xx要 使 914x 解 出 )(2 x只 要 ,42 x 可 取 ,20 時(shí)當(dāng) x 有 ,914 x 914lim2 xx解 不 等 式 , 4 (2) 證 明 0coscoslim0 xxxx 0coscos xx 2sin2 0 xx 0 xx證 ,0 可 取 , ,0 0 時(shí)當(dāng) xx有 ,coscos 0 xx

9、 0coscoslim0 xxxx 2 sin2sin2 00 xxxx 3. 左 、 右 極 限 (單 側(cè) 極 限 )例 如 , 0,1 0,1)( 2 xx xxxf設(shè) 00 xx 和分 , 0 xx從 左 側(cè) 無 限 趨 近 ;00 xx記 作,0 xx從 右 側(cè) 無 限 趨 近 .00 xx記 作.1)(lim0 xfx 兩 種 情 況 分 別 討 論 ! x yO1xy 1 12 xy 左 極 限 ,0右 極 限 Axfxx xx )(lim)( 0 00記 作 Axf xx xx )(lim)( 000記 作 ,0 .)( Axf恒 有 00 xxx 使 得 時(shí) ,Axf )0(

10、0或,0 ,0 00 xxx使 得 時(shí) ,.)( Axf恒 有 Axf )0( 0或 .)( 0 Axf 或或 .)( 0 Axf 0 0 xxx注 Axfxx )(lim 0 Axfxf )0()0( 00 均 存 在和 右 極 限左 極 限 )0()0( 00 xfxf且 00 00 xxxxxx 性 質(zhì) 常 用 于 判 斷 分 段 函 數(shù) 當(dāng) x趨 近 于分 段 點(diǎn) 時(shí) 的 極 限 . (1) 左、右極限均存在, 且相等；(2) 左、右極限均存在, 但不相等；(3) 左、右極限中至少有一個(gè)不存在.找找例題！ 函數(shù)在點(diǎn) x0 處的左、右極限可能出現(xiàn)以下三種情況之一： 試 證 函 數(shù) ,1s

11、in 1)( xx xxxf)(lim1 xfx xx 1lim .,1 無 極 限時(shí)當(dāng) x證 )(lim 1 xfx xx sinlim1 1 1sin左 、 右 極 限 不 相 等 , 故.)(,1 無 極 限時(shí) xfx 例 5 11 121 1)( 2 xx xxxxf求 )(lim1 xfx )(lim1 xfx y = f (x) xO y 1121在 x = 1 處的左、右極限.1lim 21 xx 0)1(lim1 xx 解 二 、 自 變 量 趨 向 無 窮 大 時(shí) 函 數(shù) 的 極 限 .sin 時(shí) 的 變 化 趨 勢當(dāng)觀 察 函 數(shù) xxx 返 回 問 題 :函 數(shù) )(xf

12、y 在 x 的 過 程 中 , 對(duì) 應(yīng)函 數(shù) 值 )(xf 無 限 趨 近 于 確 定 值 A.通 過 上 面 演 示 實(shí) 驗(yàn) 的 觀 察 : .0sin)(, 無 限 接 近 于無 限 增 大 時(shí)當(dāng) xxxfx 問 題 : 如 何 用 精 確 的 數(shù) 學(xué) 數(shù) 學(xué) 語 言 刻 劃 函 數(shù) “ 無限 接 近 ” . ;)()( 任 意 小表 示 AxfAxf .的 過 程表 示 xXx :.1 定 義 定 義 X Axfx )(lim .)(,0,0 AxfXxX 恒 有時(shí)使 當(dāng) 2. 另 兩 種 情 形 Axfx )(lim 且Axfx )(lim Axfx )(limAxfx )(lim ,

13、0 ,0X 當(dāng) Xx 時(shí) , 有Axf )(lim ( )x f x A ,0 ,0X 當(dāng) Xx 時(shí) , 有Axf )( 解 顯 然 有 ,2arctanlim xx ,2arctanlim xx可 見 xx arctanlim和 xx arctanlim雖 然 都 存 在 , 但 它 們 不 相 等 .x x arctanlim故 不 存 在 . 例 6 討 論 極 限 是 否 存 在 ?xx arctanlim 2 2y xy arctan x X X,時(shí)或當(dāng) XxXx A的 幾 何 意 義Axfx )(lim.3 ,| 時(shí)當(dāng) Xx 有 |)(| Axf ,0 ,0X AxfA )()(x

14、fy 函 數(shù),為 中 心 線以 直 線 Ay .2 的 帶 形 區(qū) 域 內(nèi)寬 為 )(xfy 圖 形完 全 落 在 : xyO xxy sin例 7 0sinlim xxx證 明證 ,0 ,1X取 ,| 時(shí)當(dāng) Xx 0sinxx .0sinlim xxx故要 使 ,0sin xx 成 立 .xxxx sin0sin ,|1x 只 要 |1x 有,1| x即 解 不 等 式 | x解 出 xyO .111lim 22 xxx試 證證 ,0注 意 有 12111 222 xxx ,22x為 了 使 ,11122 xx 只 要 使 ,22 x,2x即 ,2X取 ,時(shí)當(dāng) Xx 有 222 2111 x

15、xx .111lim 22 xxx x解 出,0時(shí)當(dāng) x 三 、 函 數(shù) 極 限 的 性 質(zhì) 函 數(shù) 極 限 與 數(shù) 列 極 限 相 比 ,有 類 似 的 性 質(zhì) ,定 理 1(極 限 的 唯 一 性 )有 極 限 , 若 在 自 變 量 的 某 種 變 化趨 勢 下 , 則 極 限 值 必 唯 一 .定 理 2(局 部 有 界 性 ) , 0時(shí)若 當(dāng) xx f(x)有 極 限 ,則 f(x)在 上 有 界 ;),( 0 xU ,時(shí)若 當(dāng) x f(x)有極 限 , ,|,0 時(shí)當(dāng)則 存 在 XxX .)( 有 界函 數(shù) xf且 證 明 方 法 也 類 似 .)(xf ,)(lim)1( 0 A

16、xfxx 若定 理 3(局 部 保 號(hào) 性 )證 (1) 設(shè) A0, 取 正 數(shù) ,2A,)(lim 0 Axfxx 由,0則 ,0 0 xx使 當(dāng) ,2)( AAxf 即 2)(2 AAxfAA .0)( xf );0)(0)(,),( 0 xfxfxU 或有內(nèi)則 在 ),0)(0)(),()2( 0 xfxfxU 或內(nèi) 有若 在 ).0(0 AA 或則 必 有23A2A 有 自 己 證),0(0 AA 或且 0lim ( ) ,x x f x A 若 ),0()(lim0 AAxfxx若只 要 取 ,2A 便 可 得 更 強(qiáng) 的 結(jié) 論 :證 (1) ,2)( Axf 已 證 也 即2)(

17、 Axf (2) 自 己 證 .定 理 3 (1)的 證 明 中 ,),( 0 內(nèi)使 在 xU .2|)(| Axf 有 不 論 ,0則 ,00 AA 或定 理 3 ,0時(shí)A ,0時(shí)A ),0)(0)(),()2( 0 xfxfxU 或內(nèi) 有若 在 ).0(0 AA 或則 必 有證 ,0)( xf設(shè) 假 設(shè) 上 述 論 斷 不 成 立 , ,0A即 設(shè)那 末 由 (1)就 有 ),( 0 xU 在 該 鄰 域 內(nèi) ,0)( xf這 與 .0A所 以類 似 可 證 的 情 形 .0)( xf假 設(shè) 矛 盾 ,若 定 理 3(2)中 的 條 件 改 為 ,0)( xf必 有 ?0A不 能 ! 20

18、limxx如 是 否0定 理 3 ),0(0,)(lim)1( 0 AAAxfxx 或且若 );0)(0)(,),( 0 xfxfxU 或有內(nèi)則 在 定 理 3 0lim ( ) ,x x f x A 若 定 理 4(函 數(shù) 極 限 與 數(shù) 列 極 限 的 關(guān) 系 )如 果 極 限 存 在 , nx 為 函 數(shù) )(xf的 定 義 域 內(nèi) 任 一 收 斂 于 x0的 數(shù) 列 ,那 么 相 應(yīng) 的 函 數(shù) 值 數(shù) 列 且 滿 足 : 0 xxn ),( Nn )( nxf 必 收 斂 ,且證 設(shè) 則 ,0 ,0,|0 0 時(shí)當(dāng) xx .|)(| Axf有故 對(duì) ,0 ,N ,時(shí)當(dāng) Nn 有 .|

19、 0 xxn,時(shí)當(dāng) Nn ,|0 0 xxn 有 .|)(| Axf n即 0lim xxnn )(lim0 xfxx ).(lim)(lim 0 xfxf xxnn )(lim nn xf A,)(lim0 Axfxx 例 8 .1sinlim0 不 存 在證 明 xx證 xy 1sin ,1 nxn取 ,0lim nn x ;0nx且 ,2 14 1 nxn取 ,0lim nn x ;0nx且nx nnn sinlim1sinlim 而 2 14sinlim1sinlim nx nnn而 1lim n ,1二 者 不 相 等 , .1sinlim0 不 存 在故 xx 1. 函 數(shù) 極 限

20、 的 或 X 定 義 ;2. 函 數(shù) 極 限 的 性 質(zhì) 局 部 保 號(hào) 性 ;四 、 小 結(jié)唯 一 性 ; 局 部 有 界 性 ;函 數(shù) 極 限 與 數(shù) 列 極 限 的 關(guān) 系 ;3. 函 數(shù) 的 左 右 極 限 判 定 極 限 的 存 在 性 . 思 考 題1. 設(shè) 函 數(shù) )(xf 且 )(lim1 xfx 存 在 , 則. a 1,12 1,2 xx xxa . |lim 0 xxx求2.4. 試 證 311lim 31 xxx lim . x xx xx e ee e 討 論 的 存 在 性3. 0 lim . | |x xx求 |lim 0 xxx |lim0 xxx )(lim)

21、(lim 00 xfxf xx . |lim 0不存在xxx xxx 0lim 11lim0 x xxx 0lim 1)1(lim0 x解 （ 1） lim . x xx xx e ee e 討 論 存 在 性 , 111limlim 22 xxxxx xxx eeee ee , 111limlim 22 xxxxx xxx eeee ee , limlim xx xxxxx xxx ee eeee ee 由于 . lim 不存在故xx xxx ee ee (2)解： (3) 試 證 311lim 31 xxx提 示 僅 需 在 附 近 討 論 問 題 ,1x 如 限 定,1,20 xx 即 限 定 在 1|1|0 x 范 圍 內(nèi)討 論 問 題 . 3113 xx |1| x,0 . 4,1min 取 這 時(shí) )1)(1(1 23 xxxx )1)(2(22 xxxx |1|2| xx 4 作 業(yè)習(xí) 題 1-3 (37頁 ) 1.(3) 2.(2) 5. 6