《微積分論文_高等數(shù)學(xué)論文》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《微積分論文_高等數(shù)學(xué)論文(5頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、微積分論文 高等數(shù)學(xué)論文淺談微積分中的反例摘要: 本文列舉了微積分中常見的典型反例,并論述了反例在微積分教學(xué)中的作用:一方面可以強(qiáng)化概念、揭示概念的內(nèi)涵,準(zhǔn)確把握概念之間的關(guān)系,透徹理解定理的條件;另一方面有助于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力,更有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)技能。 關(guān)鍵詞: 反例;微積分;函數(shù);微分;積分 0引言 用命題形式給出的一個(gè)數(shù)學(xué)問題,要判斷它是錯(cuò)誤的,利用只滿足命題的條件但是結(jié)論不成立的例證,就足以否定這個(gè)命題,這就是反例。通過舉出反例從而證明一個(gè)命題的虛假性的方法叫做反例法。反例思想是微積分中的重要思想,用逆向思維方法從問題反面出發(fā),可以解決用直接方法很難或無法解決的問題。在微積分
2、中存在大量的反例,其意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了它的具體內(nèi)容,除了它能幫助學(xué)生深入地理解有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象性質(zhì)之外,還促進(jìn)了學(xué)生的辨證思維方式的形成。 1連續(xù)、可導(dǎo)、可微問題 微積分中對(duì)于無窮大與無界、極大(小)值與最大(小)值以及可導(dǎo)與連續(xù)等容易混淆的概念之間的關(guān)系,可以通過運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆蠢M(jìn)行準(zhǔn)確理解把握。同時(shí)也能培養(yǎng)與提高學(xué)生的辯證思維能力。 情形1 若函數(shù)f(x)在a連續(xù), 則函數(shù)f(x)在a也連續(xù),但其逆命題不成立。 反例:函數(shù) f(x)=1,x?叟0-1,x0,總存在x=n,當(dāng)n時(shí),有f(x)=ncosn=nG然而,當(dāng)x時(shí),若取x=n+此時(shí)f(x)=n+cosn+=0。即f(x)并不趨于。 4函數(shù)的極大
3、(小)值與最大(小)值問題 情形94可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的駐點(diǎn),但駐點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)。 反例:x=0是函數(shù)f(x)=x3的駐點(diǎn),但不是其極值點(diǎn)。 情形10 函數(shù)f(x)的極大(小)值不一定就是最大(小)值。 反例:函數(shù)f(x)=x-4x+3x+1,x-1,3,由于f(x)=4x-8x+3=4(x-1)-1,易見x=或x=為f(x)的穩(wěn)定點(diǎn),列表如下: 由上表可知:點(diǎn)為f(x)的極大值點(diǎn),極大值為;點(diǎn)x=為f(x)的極小值點(diǎn),極小值為1。但函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=3取得最大值為6,在點(diǎn)x=-1取得最小值為-。 上述歸結(jié),若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),則f(x)在a,b上一定有最大、
4、最小值。若函數(shù)f(x)的最大(小)值點(diǎn)x0在區(qū)間內(nèi),則x0必定是f(x)的極大(小)值點(diǎn)。但f(x)的最大(小)值也可能在區(qū)間端點(diǎn)處取得,則f(x)的極大(小)值不一定就是最大(小)值,要通過比較才能確定。 5結(jié)語 微積分中的反例有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力,突出數(shù)學(xué)所表達(dá)的逆向思維以及體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.透徹理解命題、定理?xiàng)l件的充分性及必要性,為了分清條件的充分性與必要性使用恰當(dāng)?shù)姆蠢欠浅S泻锰幍摹7蠢龑?duì)鞏固和加深對(duì)概念與定理的理解,以及對(duì)掌握相關(guān)概念的差異和層次方面有著正面說明或證明所無法取代的作用。 在微積分的教學(xué)中,反例的試舉已成為提高教學(xué)質(zhì)量的重要的一環(huán)。另一方面:“反例教學(xué)”對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力方面的作用也是顯著的。它不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生縱向思維能力,而且有助于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的橫向思維能力,更有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)技能,并使學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)格推理、全面分析問題的能力。 參考文獻(xiàn): 1劉福保.反例教學(xué)法在數(shù)學(xué)分析中的作用和構(gòu)造J.科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào),2009,NO.11. 2薛迎杰.淺談反例在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用J.中國(guó)校外教育,下旬刊. 3馬建珍.反例在數(shù)學(xué)分析中的作用J.宜賓學(xué)院學(xué)報(bào),2006,6(12). 4華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第三版) M.北京:高等教育出版社,2001.