高中數學 第二章 數列 2_2 等差數列 第2課時 等差數列的性質課件 新人教A版必修5

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1、第2課時等差數列的性質 自主學習 新知突破 1進一步了解等差數列的項與序號之間的規(guī)律2理解等差數列的性質3掌握等差數列的性質及其應用 等差數列中項與序號的關系 (1)若an是公差為d的等差數列，則下列數列：can(c為任一常數)是公差為_的等差數列；can(c為任一常數)是公差為_的等差數列；anank(k為常數，k N*)是公差為_的等差數列(2)若an，bn分別是公差為d1，d2的等差數列，則數列panqbn(p，q是常數)是公差為_的等差數列 等差數列的性質dcd 2dpd1qd2 對等差數列的性質的理解(1)第一條性質是指等號兩邊都是和，等號兩邊都是兩項特別地，當mn2r時(m，n，r

2、 N*)aman2ar.(2)從等差數列an中，等距離抽取一項，所得的數列仍為等差數列，當然公差也隨之發(fā)生變化 (3)將等差數列各項都乘以同一個常數k，所得數列仍為等差數列，公差為kd.(4)形如a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，的抽取，實際上是3a2,3a5,3a8當然成等差數列對于每2項，4項，5項抽取，道理是相同的(5)a1ana2an1a3an2 1已知an為等差數列，a2a812，則a5等于()A4B5C6 D7解析：a2a82a512，a56.答案：C 2在等差數列an中，已知a12，a2a313，則a4a5a6等于()A40 B42C43 D45解析：a2a32a13d，

3、d3，a4a5a6a1a2a333d42.答案：B 3已知an為等差數列，a3a822，a67，則a5_.解析：a3a8a5a622，a522a622715.答案：15 4在等差數列an中，(1)已知a2a3a23a2448，求a13；(2)已知a2a3a4a534，a2a552，求公差d.解析：方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1d)(a12d)(a122d)(a123d)48，即4(a112d)48，4a1348，a1312. 合作探究 課堂互動 等差數列性質的應用在等差數列an中，已知a2a3a10a1136，則a5a8_.思路點撥由題目可獲取以下主要信息：數列an為等差數列

4、；a2a3a10a1136；求a5a8.解答本題可利用性質：在等差數列an中，若mnpq(m，n，p，q N*)，則amanapaq，也可引入公差d和首項a1對已知和所求進行化簡求解 解析：方法一：根據等差數列的性質可得：a5a8a3a10a2a1136218.方法二：根據題意，有(a1d)(a12d)(a19d)(a110d)36，4a122d36，則2a111d18.而a5a8(a14d)(a17d)2a111d，因此，a5a818.答案：18 法一運用了等差數列的性質，若pqmn(p，q，m，nN*)，則apaqaman；法二設出了a1，d但并沒有求出a1，d.事實上也求不出來，這種“設

5、而不求”的方法在數學中是一種常用方法，它體現了整體求解的思想. 1在等差數列an中，a7a916，a41，則a12的值是() A15B30C31 D64 解析：方法一：設等差數列的首項為a1，公差為d，則由a7a916得2a114d16，由a41，得a13d1.兩式相減得a111d15，即a1215.方法二：79412，a7a9a4a12，a12a7a9a415.答案：A 等差數列的運算(1)三個數成等差數列，和為6，積為24，求這三個數；(2)四個數成遞增等差數列，中間兩數的和為2，首末兩項的積為8，求這四個數思路點撥(1)根據三個數成等差數列，可設這三個數為ad，a，ad(d為公差)；(2

6、)四個數成遞增等差數列，且中間兩數的和已知，可設為a3d，ad，ad，a3d(公差為2d) 邊聽邊記(1)方法一：設等差數列的等差中項為a，公差為d，則這三個數分別為ad，a，ad.依題意，3a6且a(ad)(ad)24，所以a2，代入a(ad)(ad)24，化簡得d216，于是d4，故三個數為2,2,6或6,2，2. 方法二：設首項為a，公差為d，這三個數分別為a，ad，a2d，依題意，3a3d6且a(ad)(a2d)24，所以a2d，代入a(ad)(a2d)24，得2(2d)(2d)24,4d212，即d216，于是d4，三個數為2,2,6或6,2，2. (2)方法一：設這四個數為a3d，

7、ad，ad，a3d(公差為2d)，依題意，2a2，且(a3d)(a3d)8，即a1，a29d28，d21，d1或d1.又四個數成遞增等差數列，所以d0，d1，故所求的四個數為2,0,2,4. 利用等差數列的定義巧設未知量，可以簡化計算一般地有如下規(guī)律：當等差數列an的項數n為奇數時，可設中間一項為a，再用公差為d向兩邊分別設項：a2d，ad，a，ad，a2d，；當項數為偶數項時，可設中間兩項為ad，ad，再以公差為2d向兩邊分別設項：a3d，ad，ad，a3d，這樣可減少計算量 2已知成等差數列的四個數，四個數之和為26，第二個數與第三個數之積為40，求這個等差數列 綜合運用題 (1)判斷一個

8、數列是等差數列的基本方法是緊扣定義：an1and(d為常數)，也可以用an1ananan1(n2)進行判斷本題屬于“生成數列問題”，關鍵是利用整體代換的思想方法(2)若要判斷一個數列不是等差數列，只需舉出一個反例即可 3梯子的最高一級寬33 cm，最低一級寬110 cm，中間還有10級，已知各級的寬度成等差數列，試計算中間各級的寬度解析：用an表示題中的等差數列由已知條件得a133，a12110，n12.設公差為d，則a12a1(121)d，即1103311d，解得d7.因此，a233740，a3332747，a1133107103.中間各級的寬度分別為40 cm ,47 cm ,54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm ,89 cm ,96 cm ,103 cm . 已知兩個等差數列an和bn，且an為2,5,8，bn為1,5,9，它們的項數均為40項，則它們有多少個彼此具有相同數值的項？【錯解】由已知兩等差數列的前三項，容易求得它們的通項公式分別為：an3n1，bn4n3(1n40，且nN*)，令anbn，得3n14n3，即n2.所以兩數列只有1個數值相同的項，即第2項 【錯因】本題所說的是數值相同的項，但它們的項數并不一定相同，也就是說，只看這個數在兩個數列中有沒有出現過，而并不是這兩個數列的第幾項