《結(jié)構(gòu)力學(xué)》第七章力法

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1、 7 2 超 靜 定 次 數(shù) 的 確 定 7 3 力 法 的 基 本 概 念 7 4 力 法 的 典 型 方 程 7 6 對(duì) 稱 性 的 利 用 7 5 力 法 的 計(jì) 算 步 驟 和 示 例 7 7 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 位 移 計(jì) 算 7 9 溫 度 變 化 時(shí) 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 計(jì) 算 7 10 支 座 移 動(dòng) 時(shí) 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 計(jì) 算 7 13 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 特 性 7 8 最 后 內(nèi) 力 圖 的 校 核 7 1 概 述第 七 章 力 法 7 1 概 述 1. 靜 定 結(jié) 構(gòu) 與 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 靜 定 結(jié) 構(gòu) ： 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) ：A B CP P

2、 全 部 反 力 和 內(nèi) 力 只 用 平 衡 條 件 便 可 確 定 的 結(jié) 構(gòu) 。 僅 用 平 衡 條 件 不 能 確 定 全 部 反 力 和內(nèi) 力 的 結(jié) 構(gòu) 。 A BPHA VA RB VAHA RB RC外 力 超 靜 定 問 題 內(nèi) 力 超 靜 定 問 題 PA B C P 1X 2 . 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 在 幾 何 組 成 上 的 特 征多 余 聯(lián) 系 與 多 余 未 知 力 的 選 擇 。 是 幾 何 不 變 且 具 有 “ 多 余 ” 聯(lián) 系 （ 外 部 或 內(nèi) 部 ） 。 多 余 聯(lián) 系 ： 這 些 聯(lián) 系 僅 就 保 持 結(jié) 構(gòu) 的 幾 何 不 變 性 來 說 ， 是

3、不 必 要 的 。多 余 未 知 力 ： 多 余 聯(lián) 系 中 產(chǎn) 生 的 力 稱 為 多 余 未 知 力 （ 也 稱 贅 余 力 ） 。此 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 有 一 個(gè) 多 余 聯(lián)系 ， 既 有 一 個(gè) 多 余 未 知 力 。 此 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 有 二 個(gè) 多 余 聯(lián)系 ， 既 有 二 個(gè) 多 余 未 知 力 。1X 2X 3. 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 類 型（ 1） 超 靜 定 梁 ;（ 2） 超 靜 定 桁 架 ；（ 3） 超 靜 定 拱 ； 4. 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 解 法 求 解 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) ， 必 須 綜 合 考 慮 三 個(gè) 方 面 的 條 件 :（ 1） 平 衡

4、 條 件 ；（ 2） 幾 何 條 件 ；（ 3） 物 理 條 件 。 具 體 求 解 時(shí) ， 有 兩 種 基 本 (經(jīng) 典 )方 法 力 法 和 位 移 法 。（ 4） 超 靜 定 剛 架 ；（ 5） 超 靜 定 組 合 結(jié) 構(gòu) 。 7 2 超 靜 定 次 數(shù) 的 確 定 1. 超 靜 定 次 數(shù) ： 2 .確 定 超 靜 定 次 數(shù) 的 方 法 : 解 除 多 余 聯(lián) 系 的 方 式 通 常 有 以 下 幾 種 ： （ 1） 去 掉 或 切 斷 一 根 鏈 桿 ， 相當(dāng) 于 去 掉 一 個(gè) 聯(lián) 系 。 1X （ 2） 拆 開 一 個(gè) 單 鉸 ， 相 當(dāng)于 去 掉 兩 個(gè) 聯(lián) 系 。 用 力

5、法 解 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 時(shí) ， 首 先 必 須 確 定 多 余 聯(lián) 系 或 多 余 未 知 力 的 數(shù) 目 。 1X 1X2X 多 余 聯(lián) 系 或 多 余 未 知 力 的 個(gè) 數(shù) 。 采 用 解 除 多 余 聯(lián) 系 的 方 法 。 3. 在 剛 結(jié) 處 作 一 切 口 ，或 去 掉 一 個(gè) 固 定 端 ， 相 當(dāng)于 去 掉 三 個(gè) 聯(lián) 系 。 1X 1X 3X 4. 將 剛 結(jié) 改 為 單 鉸 聯(lián)結(jié) ， 相 當(dāng) 于 去 掉 一 個(gè) 聯(lián) 系 。 1X 1X 應(yīng) 用 上 述 解 除 多 余聯(lián) 系 (約 束 )的 方 法 ， 不 難確 定 任 何 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的超 靜 定 次 數(shù) 。 X

6、2 X2 3. 例 題 :確 定 圖 示 結(jié) 構(gòu) 的 超 靜 定 次 數(shù) （ n） 。1X 2X3X4X 5X 6Xn=6 1X 2X 3X 4X 5X6Xn=3 7=21 對(duì) 于 具 有 較 多 框 格 的 結(jié) 構(gòu) ， 可按 框 格 的 數(shù) 目 確 定 ， 因 為 一 個(gè) 封閉 框 格 ， 其 超 靜 定 次 數(shù) 等 于 三 。當(dāng) 結(jié) 構(gòu) 的 框 格 數(shù) 目 為 f ,則 n=3f 。 7 3 力 法 的 基 本 概 念 首 先 以 一 個(gè) 簡(jiǎn) 單 的 例 子 ， 說 明 力 法 的 思 路 和 基 本 概 念 。 討 論 如 何 在 計(jì) 算 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 基 礎(chǔ) 上 ， 進(jìn) 一 步

7、尋 求 計(jì) 算 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 方 法 。 A BEI L 1判 斷 超 靜 定 次 數(shù) ： n=1 qq 1XA B原 結(jié) 構(gòu) 2. 確 定 (選 擇 )基 本 結(jié) 構(gòu) 。3寫 出 變 形 (位 移 )條 件 : 1X 11 P101 (a)0P1111 (b) q基 本 結(jié) 構(gòu) 根 據(jù) 疊 加 原 理 ， 式 （ a）可 寫 成 圖1M圖PM 1X1 圖M8qL2 2qL2L 8qL2將 代 入 (b)得4 .建 立 力 法 基 本 方 程0X P1111 (7 1)5. 計(jì) 算 系 數(shù) 和 常 數(shù) 項(xiàng) EIdsM2111 EI dsMM P1P1 EI8qL46. 將 11、 1

8、1代 入 力 法 方 程 式 (7-1)， 可 求 得)(8qL3X 11P11 EI3L3 A BEI Lq0P1111 (b)此 方 程 便 為 一 次 超 靜 定 結(jié)構(gòu) 的 力 法 方 程 。=EI1 2L2 32L11=11x1 = EI1 2qL2 43L_ (31 L)多 余 未 知 力 x 1求 出 后 ， 其 余 反 力 、 內(nèi)力 的 計(jì) 算 都 是 靜 定 問 題 。 利 用 已 繪 出的 M1圖 和 MP圖 按 疊 加 法 繪 M圖 。q 象 上 述 這 樣 解 除 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 多 余 聯(lián) 系 而得 到 靜 定 的 基 本 結(jié) 構(gòu) ， 以 多 余 未 知 力 作

9、 為 基 本 未知 量 ， 根 據(jù) 基 本 結(jié) 構(gòu) 應(yīng) 與 原 結(jié) 構(gòu) 變 形 相 同 而 建 立的 位 移 條 件 ， 首 先 求 出 多 余 未 知 力 ， 然 后 再 由 平衡 條 件 計(jì) 算 其 余 反 力 、 內(nèi) 力 的 方 法 ， 稱 為 力 法 。 力 法 整 個(gè) 計(jì) 算 過 程 自 始 至 終 都 是 在 基 本 結(jié) 構(gòu)上 進(jìn) 行 的 ， 這 就 把 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 計(jì) 算 問 題 ， 轉(zhuǎn) 化為 已 經(jīng) 熟 悉 的 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 內(nèi) 力 和 位 移 的 計(jì) 算 問 題 。 7 4 力 法 的 典 型 方 程 1. 三 次 超 靜 定 問 題 的 力 法 方 程 用

10、 力 法 計(jì) 算 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 關(guān) 鍵 ， 是 根 據(jù) 位 移 條 件 建 立 力 法 方程 以 求 解 多 余 未 知 力 ， 下 面 首 先 以 三 次 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 為 例 進(jìn) 行 推 導(dǎo) 。A B P首 先 選 取 基 本 結(jié) 構(gòu) （ 見 圖 b） X 1 X2A B PX3基 本 結(jié) 構(gòu) 的 位 移 條 件 為 ： 1=0 2=0 3=0設(shè) 當(dāng) 111 321 XXX 、 和 荷 載 P 分 別 作 用 在 結(jié) 構(gòu) 上 時(shí) ，A點(diǎn) 的 位 移 沿 X1方 向 ：沿 X2方 向 ：沿 X3方 向 ：據(jù) 疊 加 原 理 ， 上 述 位 移 條 件 可 寫 成 原 結(jié) 構(gòu)

11、基 本 結(jié) 構(gòu) 1= （ 7 2）（ a） （ b）1121、 22、 23和 2P ；31、 32、 33和 3P 。 2=21X1+22X2+23X3+ 2P=0 3=31X1+32X2+33X3+ 3P=011X1+12X2+13X3+ 1P=0、 12、 13和 1P ； 2. n次 超 靜 定 問 題 的 力 法 典 型 (正 則 )方 程 對(duì) 于 n次 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) ,有 n個(gè) 多 余 未 知 力 ， 相 應(yīng) 也 有 n個(gè) 位 移 條 件 ， 可 寫 出 n個(gè) 方 程 11X1+ 12X2+ + 1iXi+ + 1nXn+ 1P=0 （ 7 3） 這 便 是 n次 超 靜 定

12、 結(jié) 構(gòu) 的 力 法 典 型 (正 則 )方 程 。 式 中X i為 多 余 未 知 力 ， i i為 主 系 數(shù) ， i j(i j)為 副 系 數(shù) , iP 為 常 數(shù) 項(xiàng) （ 又 稱 自 由 項(xiàng) ） 。 11X1+12X2+13X3+ 1P=0 （ 7 2）21X1+22X2+23X3+ 2P=031X1+32X2+33X3+ 3P=0 i 1X1+ i 2X2+ + i iXi+ + i nXn+ iP=0 n1X1+ n2X2+ + niXi+ + nnXn+ nP=0 3. 力 法 方 程 及 系 數(shù) 的 物 理 意 義 （ 1） 力 法 方 程 的 物 理 意 義 為 ： （ 2

13、） 系 數(shù) 及 其 物 理 意 義 ：下 標(biāo) 相 同 的 系 數(shù) i i 稱 為 主 系 數(shù) (主 位 移 )， 它 是 單 位多 余 未 知 力 1Xi 單 獨(dú) 作 用 時(shí) 所 引 起 的 沿 其 自 身 方 向 上的 位 移 ， 其 值 恒 為 正 。系 數(shù) i j(i j)稱 為 副 系 數(shù) (副 位 移 )， 它 是 單 位 多 余 未 知 力1X j 單 獨(dú) 作 用 時(shí) 所 引 起 的 沿 Xi方 向 上 的 位 移 ，其 值 可 能 為 正 、 為 負(fù) 或 為 零 。 據(jù) 位 移 互 等 定 理 ， 有i j= j i i P稱 為 常 數(shù) 項(xiàng) (自 由 項(xiàng) )它 是 荷 載 單

14、獨(dú) 作 用 時(shí) 所 引 起的 沿 Xi方 向 的 位 移 。 其 值 可 能 為 正 、 為 負(fù) 或 為 零 。上 述 方 程 的 組 成 具 有 規(guī) 律 性 ， 故 稱 為 力 法 典 型 方 程 。 基 本 結(jié) 構(gòu) 在 全 部 多 余未 知 力 和 荷 載 共 同 作 用 下 ， 基 本 結(jié) 構(gòu) 沿 多 余 未 知 力 方 向上 的 位 移 ， 應(yīng) 與 原 結(jié) 構(gòu) 相 應(yīng) 的 位 移 相 等 。 4. 力 法 典 型 (正 則 )方 程 系 數(shù) 和 自 由 項(xiàng) 的 計(jì) 算 典 型 方 程 中 的 各 項(xiàng) 系 數(shù) 和 自 由 項(xiàng) ， 均 是 基 本 結(jié) 構(gòu) 在已 知 力 作 用 下 的 位

15、移 ， 可 以 用 第 七 章 的 方 法 計(jì) 算 。 對(duì) 于平 面 結(jié) 構(gòu) ， 這 些 位 移 的 計(jì) 算 公 式 為 GAdsQkEAdsNEIdsM 2i2i2iii GAdsQQkEAdsNNEI dsMM jijijijiij GAdsQQkEAdsNNEI dsMM PiPiPiiP 對(duì) 不 同 結(jié) 構(gòu) 選 取 不 同 項(xiàng) 計(jì) 算 。 系 數(shù) 和 自 由 項(xiàng) 求 得 后 ，代 入 典 型 方 程 即 可 解 出 各 多 余 未 知 力 。 7 5 力 法 的 計(jì) 算 步 驟 和 示 例1. 示 例 P A BC I1I2=2I1 a2a2an=2(二 次 超 靜 定 ) 原選 擇

16、基 本 結(jié) 構(gòu) 如 圖 示 P AC B基 X1X2力 法 典 型 方 程 為 ：11X1 計(jì) 算 系 數(shù) 和 常 數(shù) 項(xiàng) ， 為此 作 圖 1M 1X1 a 圖2M 1X2 a a計(jì) 算 結(jié) 果 如 下 EIdsM2111 圖、 P21 MMM (a) EIdsM2222 EI dsMM 212112 a21X1 + 22X2+ 2P=0+ 12X2+ 1P=02EI11 2a2 32a=6EI1a32EI11 2a2 a= 4EI1a3 1365EIa 圖1Ma 圖2Ma aP 圖PM2Pa EI dsMM PP 11 EI dsMM PP 22將 以 上 各 系 數(shù) 代 入 方 程 (a

17、)并 消 去 (a3/EI1)得 0P965X41X61 21 0P161X65X41 21 解 聯(lián) 立 方 程 得,P114X1 P883X2 多 余 未 知 力 求 得 后 其 余 反 力 、內(nèi) 力 的 計(jì) 算 便 是 靜 定 問 題 。 P2211 MXMXMM 例 如 外Pa8815最 后 內(nèi) 力 圖 的 繪 制 用 疊 加 法15/88 Pa M圖13/88 PaP A BC3/88 Pa a 13965 EIPa 1316EIPa M AC=a.114P+a( 883P ) 2Pa 2 .力 法 的 計(jì) 算 步 驟 （ 1） 確 定 原 結(jié) 構(gòu) 的 超 靜 定 次 數(shù) 。 （ 2）

18、 選 擇 靜 定 的 基 本 結(jié) 構(gòu) (去 掉 多 余 聯(lián) 系 ，以 多 余 未 知 力 代 替 )。 （ 3） 寫 出 力 法 典 型 方 程 。 （ 4） 作 基 本 結(jié) 構(gòu) 的 各 單 位 內(nèi) 力 圖 和 荷 載 內(nèi) 力圖 ， 據(jù) 此 計(jì) 算 典 型 方 程 中 的 系 數(shù) 和 自 由 項(xiàng) 。 （ 5） 解 算 典 型 方 程 ， 求 出 各 多 余 未 知 力 。 （ 6） 按 疊 加 法 作 內(nèi) 力 圖 。 例 7 1 用 力 法 分 析 兩 端 固 定 的 梁 ， 繪 彎 矩 圖 。 EI=常 數(shù) 。A BLa bP 解 ： n=3選 取 簡(jiǎn) 支 梁 為 基 本 結(jié) 構(gòu)PX1 X2

19、X3基 本 結(jié) 構(gòu) 典 型 方 程 為11X1+ 12X2+ 13X3+ 1P=021X1+ 22X2+ 23X3+ 2P=031X1+ 32X2+ 33X3+ 3P=01 1X 2 圖2M1X1 1 1X3 圖1M圖3M MP圖P M3=0,故13= 31= 23= 32= 3P=0則 典 型 方 程 第 三 式 為33X3=033 0(因 X3的 解 唯 一 )故 作 基 本 結(jié) 構(gòu) 各 M和 MP圖由 于 X3=0LPab L3 bL 22L bPaM圖2 2LPab 11X1+ 12X2+ 1P=021X1+ 22X2+ 2P=0由 圖 乘 法 求 得EI3L11 EI3L22 EI6

20、L2112 EIL6 )bL(Pab)L3 bL)(LLPab21(EI1P1 EIL6 )aL(PabP2 代 入 典 型 方 程 (消 去 公 因 子 )得0L )bL(PabXX2 221 0L )aL(PabX2X 221 解 得 2 31 LPabX 222 L bPaX 代 入 典 型 方 程 解 得2 21 LaX 222 L bPaX 作 彎 矩 圖 。 P2211 MMXMXM 按 式 例 7 2 用 力 法 計(jì) 算 圖 示 桁架 內(nèi) 力 ， 設(shè) 各 桿 EA相 同 。解 ： n=1(一 次 超 靜 定 )。 0 1 23 4 P P2a 2a a選 擇 基 本 結(jié) 構(gòu) 如

21、圖 示 。 0 1 23 4 P PX1基 本 結(jié) 構(gòu)寫 出 力 法 典 型 方 程11X1+ 1P=0按 下 列 公 式 計(jì) 算 系 數(shù) 和 自 由 項(xiàng)EALN 2111 EALNN P1P1 為 此 ， 求 出 基 本 結(jié) 構(gòu) 的 1N和 NP值 0 1 23 4 X1=11N 22 22-1/2 對(duì) 稱0 1 23 4 P PNP P22 +P/2 對(duì) 稱0列 表 計(jì) 算 (見 書 137頁 )后 得EA11=(3+ 2) aEA 1P= Pa 0 1 23 4 X1=11N 22 22-1/2 對(duì) 稱0 1 23 4 P PNP P22+P/2 對(duì) 稱00 1 23 4 P PN 對(duì)

22、稱代 入 典 型 方 程 ， 解 得 )(223 PX 11P11 拉各 桿 內(nèi) 力 按 式 P11 NXNN 疊 加 求 得 。 0.586P 0.828P +0.414P +0.172P例 如N03=0.707 0.172P -0.707 = 0.586P=0.172P 7 6 對(duì) 稱 性 的 利 用 用 力 法 分 析 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) ， 結(jié) 構(gòu) 的 超 靜 定 次 數(shù) 愈 高 ，計(jì) 算 工 作 量 就 愈 大 ， 主 要 工 作 量 是 組 成 (計(jì) 算 系 數(shù) 、 常 數(shù)項(xiàng) )和 解 算 典 型 方 程 。 利 用 結(jié) 構(gòu) 的 對(duì) 稱 性 可 使 計(jì) 算 得 到 簡(jiǎn)化 。 簡(jiǎn) 化

23、 的 原 則 是 使 盡 可 能 多 的 副 系 數(shù) 、 自 由 項(xiàng) 等 于 零 。 結(jié) 構(gòu) 的 對(duì) 稱 性 ：例 如 ： EI1 EI1EI2a a對(duì) 稱 EI1 EI1對(duì) 稱 指 結(jié) 構(gòu) 的 幾 何 形 狀 、 約 束 、 剛 度 和荷 載 具 有 對(duì) 稱 性 (正 對(duì) 稱 或 反 對(duì) 稱 )。 正 對(duì) 稱 簡(jiǎn) 稱 對(duì) 稱 。 1. 選 取 對(duì) 稱 的 基 本 結(jié) 構(gòu) EI1 EI1EI2 對(duì)稱軸 基 本 結(jié) 構(gòu) X1 X2X3 多 余 未 知 力 X1、 X2是 正 對(duì) 稱 ， X3是 反 對(duì) 稱 的 。 基 本 結(jié) 構(gòu) 的 各 單 位 彎矩 圖 (見 圖 )。 圖 1M 1X1 圖2M

24、1X2 圖3M 1X 3 圖1M 圖2M、是 正 對(duì) 稱 ， 圖3M 是 反 對(duì) 稱 。則 13= 31= 23= 32=0于 是 ， 力 法 典 型 方 程 簡(jiǎn)化 為 11X1+12X2+ 1P=021X1+22X2+ 2P=0 33X3+ 3P=0下 面 就 對(duì) 稱 結(jié) 構(gòu) 作 進(jìn) 一 步 討 論 。 （ 1） 對(duì) 稱 結(jié) 構(gòu) 作 用 對(duì)稱 荷 載 a aP P P PMP圖MP圖 是 正 對(duì) 稱 的 ， 故 3P=0。11X1+12X2+ 1P=021X1+22X2+ 2P=0 33X3+ 3P=0 則 X3=0 。 這 表 明 ： 對(duì) 稱 的 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) ， 在 對(duì) 稱 的 荷

25、 載 作 用 下 ，只 有 對(duì) 稱 的 多 余 未 知 力 ， 反 對(duì) 稱 的 多 余 未 知 力 必 為 零 。 a aP P P PM P圖 （ 2） 對(duì) 稱 結(jié) 構(gòu) 作 用 反對(duì) 稱 荷 載MP圖 是 反 對(duì) 稱 的 ， 故 1P= 2P=0則 得 X1=X2=0 這 表 明 ： 對(duì) 稱 的 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) ， 在 反 對(duì) 稱 的 荷 載 作 用 下 ，只 有 反 對(duì) 稱 的 多 余 未 知 力 ， 對(duì) 稱 的 多 余 未 知 力 必 為 零 。 例 7 4 分 析 圖 示 剛 架 。 10kN 10kN6m6m6m解 ： 這 是 一 個(gè) 對(duì) 稱 結(jié) 構(gòu) ， 為 四 次超 靜 定 。

26、 選 取 對(duì) 稱 的 基 本 結(jié) 構(gòu) 如 圖 示 ， X1只 有 反 對(duì) 稱 多 余 未 知 力 X1 基為 計(jì) 算 系 數(shù) 和 自 由 項(xiàng) 分 別 作 1M和 MP圖 (見 圖 )。 1X 1 EI=常 數(shù)3 3 1M 圖(m) 10kN MP圖(kNm)60 60120由 圖 乘 法 可 得EI11=(1/2 3 3 2) 4 +（ 3 6 3） 2 =144 EI 1P=(3 6 30+1/2 3 3 80) 2=1800代 入 力 法 方 程 11X1+ 1P=0X1= kN5.1211P1 彎 矩 圖 由 P11 MXMM 作 出 。解 得 這 樣 ， 求 解 兩 個(gè) 多 余 未 知

27、力 的 問 題 就 轉(zhuǎn) 變 為 求 解 新的 兩 對(duì) 多 余 未 知 力 的 問 題 。當(dāng) 選 基 本 結(jié) 構(gòu) 為 時(shí) ，2. 未 知 力 分 組 及 荷 載 分 組（ 1） 未 知 力 分 組 A BP X1 X2P為 使 副 系 數(shù) 等 于 零 ， 可 采取 未 知 力 分 組 的 方 法 。 P Y1 Y1Y2 Y2有 X1=Y1+Y2 ， X2=Y1 Y2作 1M 、 M2圖 。 1Y1 1Y1 1M 圖 1Y2 1Y2 M2圖正 對(duì) 稱反 對(duì) 稱故 12= 21=0典 型 方 程 化 簡(jiǎn) 為 11Y1+ 1P=022Y2+ 2P=0 （ 2） 荷 載 分 組 當(dāng) 對(duì) 稱 結(jié) 構(gòu) 承

28、受 一 般 非 對(duì) 稱 荷 載 時(shí) ， 可 以 將 荷載 分 解 為 正 、 反 對(duì) 稱 的 兩 組 ， 分 別 求 解 然 后 疊 加 。 若 取 對(duì) 稱 的 基 本結(jié) 構(gòu) 計(jì) 算 ， 在 正 對(duì) 稱荷 載 作 用 下 將 只 有 對(duì)稱 的 多 余 未 知 力 。 若 取 對(duì) 稱 的 基 本 結(jié) 構(gòu) 計(jì) 算 ， 在 反 對(duì) 稱 荷 載 作 用 下 將只 有 反 對(duì) 稱 的 多 余 未 知 力 。P P2 P2 P2 P2X 1 X1 X2 X2 2P 2P 2P 2P 3.取 一 半 結(jié) 構(gòu) 計(jì) 算 當(dāng) 結(jié) 構(gòu) 承 受 正 對(duì) 稱 或 反 對(duì) 稱 荷 載 時(shí) ， 也 可 以 只 截 取 結(jié)構(gòu)

29、 的 一 半 進(jìn) 行 計(jì) 算 ， 又 稱 為 半 剛 架 法 。 下 面 分 別 就 奇 數(shù) 跨和 偶 數(shù) 跨 兩 種 對(duì) 稱 剛 架 進(jìn) 行 討 論 。（ 1） 奇 數(shù) 跨 對(duì) 稱 剛 架 p p對(duì) 稱p二 次 超 靜 定對(duì) 稱 荷 載 反 對(duì) 稱 荷 載p p反 對(duì) 稱p 。一 次 超 靜 定 （ 2） 偶 數(shù) 跨 對(duì) 稱 剛 架對(duì) 稱 荷 載 p p對(duì) 稱p 三 次 超 靜 定 反 對(duì) 稱 荷 載 p pIp I/2三 次 超 靜 定 p pI/2 I/2p pI/2 I/2CQC QC 7 7 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 位 移 計(jì) 算 上 一 章 所 述 位 移 計(jì) 算 的 原 理 和

30、公 式 ， 對(duì) 超 靜 定 結(jié) 構(gòu)也 是 適 用 的 ， 下 面 以 7 5的 例 題 予 以 說 明 。 求 CB桿 中 點(diǎn) K的 豎 向 位 移 KY K P=1P A BC I1I2=2I1 a2a2a 原 虛 擬 狀 態(tài) 如 圖為 了 作 圖M 8/44 a3/44 a 圖 KM 需 解算 一 個(gè) 二 次 超 靜 定 問 題 ， 較 為 麻 煩 。 K圖 中 所 示 的 M圖就 是 實(shí) 際 狀 態(tài) 。 基 本 結(jié) 構(gòu) 的 內(nèi) 力 和 位 移 與 原 結(jié) 構(gòu) 完 全相 同 ， 則 可 以 在 基 本 結(jié) 構(gòu) 上 作 圖M 。 K P=1a/4圖KM圖 乘 得 6/44 a 1314083

31、 EIPaPa88321)a4a21(11EIKy () 結(jié) 論綜 上 所 述 ， 計(jì) 算 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 位 移 的 步 驟 是 ： （ 1） 解 算 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) ， 求 出 最 后 內(nèi) 力 ，此 為 實(shí) 際 狀 態(tài) 。 （ 2） 任 選 一 種 基 本 結(jié) 構(gòu) ， 加 上 單 位 力 求出 虛 擬 狀 態(tài) 的 內(nèi) 力 。 （ 3） 按 位 移 計(jì) 算 公 式 或 圖 乘 法 計(jì) 算 所 求位 移 。 7 8 最 后 內(nèi) 力 圖 的 校 核 用 力 法 計(jì) 算 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) ， 因 步 驟 多 易 出 錯(cuò) ， 應(yīng) 注 意檢 查 。 尤 其 是 最 后 的 內(nèi) 力 圖 ， 是

32、 結(jié) 構(gòu) 設(shè) 計(jì) 的 依 據(jù) ， 應(yīng) 加以 校 核 。 校 核 應(yīng) 從 兩 個(gè) 方 面 進(jìn) 行 。1.平 衡 條 件 校 核 取 結(jié) 構(gòu) 的 整 體 或 任 何 部 分 為 隔 離 體 ， 其 受 力 應(yīng) 滿 足平 衡 條 件 。 （ 1） 彎 矩 圖 ： 通 常 檢 查 剛 結(jié) 點(diǎn) 處 是 否 滿 足 M=0的平 衡 條 件 。 例 如取 結(jié) 點(diǎn) E為 隔 離 體 EM ED MEB MEF應(yīng) 有 ME=MED+MEB+MEF=0 M圖 （ 2） 剪 力 圖 和 軸 力 圖 可 取 結(jié) 點(diǎn) 、 桿 件 或 結(jié) 構(gòu) 的 某 一 部 分 為 隔 離 體 ， 檢 查是 否 滿 足 X=0和 Y=0

33、的 平 衡 條 件 。2.位 移 條 件 校 核 檢 查 各 多 余 聯(lián) 系 處 的 位 移 是 否 與 已 知 的 實(shí) 際 位 移 相符 。 對(duì) 于 剛 架 ， 可 取 基 本 結(jié) 構(gòu) 的 單 位 彎 矩 圖 與 原 結(jié) 構(gòu) 的最 后 彎 矩 圖 相 乘 ， 看 所 得 位 移 是 否 與 原 結(jié) 構(gòu) 的 已 知 位 移相 符 。 例 如 圖1MP A BC I1I2=2I1 a2a2a 原檢 查 A支 座 的 水平 位 移 1是 否為 零 。將 M圖 與 圖1M相 乘 得 3a2)a88Pa321(EI21Pa88332)2a(EI1 1211 =0 7 9 溫 度 變 化 時(shí) 超 靜 定

34、 結(jié) 構(gòu) 的 計(jì) 算 對(duì) 于 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) ， 溫 度 變 化 時(shí) 不 但 產(chǎn) 生 變 形 和 位 移 ，同 時(shí) 產(chǎn) 生 內(nèi) 力 。 用 力 法 分 析 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 在 溫 度 變 化 時(shí) 產(chǎn) 生 的 內(nèi) 力 ，其 原 理 與 荷 載 作 用 下 的 計(jì) 算 相 同 。 例 如 圖 示 剛 架 溫 度 發(fā)生 變 化 ， 選 取 基 本 結(jié) 構(gòu) （ 見 圖 ） ，t1t 1 t2 t3 t1t1 t2 t3X1 X2X3典 型 方 程 為11X1+12X2+13X3+ 1t=021X1+22X2+23X3+ 2t=031X1+32X2+33X3+ 3t=0其 中 系 數(shù) 的 計(jì) 算

35、 同 前 ，自 由 項(xiàng) 1t、 2t、 3t分 別 為 基 本 結(jié) 構(gòu) 由 于 溫度 變 化 引 起 的 沿 X1、 X2X3方 向 的 位 移 。 即 dsMhttlN iiit 例 7 6 剛 架 外 側(cè) 溫 度 升 高 25 ， 內(nèi) 側(cè) 溫 度 升 高 35 ，繪 彎 矩 圖 并 求 橫 梁 中 點(diǎn) 的 豎 向 位 移 。 剛 架 EI=常 數(shù) ， 截 面對(duì) 稱 于 形 心 軸 ， 其 高 度 h=L/10,材 料 的 膨 脹 系 數(shù) 為 。LL + 25+35解 ： n=1選 取 基 本 結(jié) 構(gòu) X 1基+ 25+35典 型 方 程 為 :11X1+ 1t=0計(jì) 算 并 繪 制 1M

36、圖 11M 圖1N 1N LL 00 -1求 得 系 數(shù) 和 自 由 項(xiàng) 為 EI3l5)l3l22l2(EI1EIdsM 3322111 dsMhttlNt 111 =故 得 2 1111 138 lEIX t = 230L 按 11XMM M圖作 彎 矩 圖 求 橫 梁 中 點(diǎn) K的 位 移 K，作 基 本 結(jié) 構(gòu) 虛 擬 狀 態(tài) 的 KM 圖 并 求 出 KN ， 然 后 計(jì) 算 位 移 K1 KN 0KM 圖L/4 138EI/L dsMhtlNEIMdsM KtKK K a)21(2)lEI138l4l21(EI1 )l4l21(h )2535(ll 3525 l450l30l469

37、 l7534 1/21/2 7 10 支 座 位 移 時(shí) 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 計(jì) 算 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 當(dāng) 支 座 移 動(dòng) 時(shí) ， 位 移 的 同 時(shí) 將 產(chǎn)生 內(nèi) 力 。 對(duì) 于 靜 定 結(jié) 構(gòu) ， 支 座 移 動(dòng) 時(shí) 將 使 其 產(chǎn) 生 位 移 ，但 并 不 產(chǎn) 生 內(nèi) 力 。 例 如A B CA B C 用 力 法 分 析 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 在 支 座 移 動(dòng) 時(shí) 的 內(nèi) 力 ， 其 原理 同 前 ， 唯 一 的 區(qū) 別 僅 在 于 典 型 方 程 中 的 自 由 項(xiàng) 不 同 。例 如 圖 示 剛 架 ， A B hL a b可 建 立 典 型 方 程 如 下 ：11X1+12X

38、2+13X3+ 1 =021X1+22X2+23X3+ 2 = 31X1+32X2+33X3+ 3 = a A BX1 X2X3基 式 中 系 數(shù) 的 計(jì) 算 同 前 ， 自 由 項(xiàng) 按式 (6 15)計(jì) 算 。 cRii 最 后 內(nèi) 力 按 下 式 計(jì) 算 332211 MXMXMXM 在 求 位 移 時(shí) ， 應(yīng) 加 上 支 座 移 動(dòng) 的影 響 ： KKK EIMdsM 例 ： 7 7 兩 端 固 定 的 等 截 面 梁 A端 發(fā) 生 了 轉(zhuǎn) 角 ， 分析 其 內(nèi) 力 。 A BL解 ： n=3選 取 基 本 結(jié) 構(gòu) 如 圖 ， X1 X2 X3基 本 結(jié) 構(gòu) 因X3=0,則 典 型 方

39、程 為11X1+12X2+ 1 = 21X1+22X2+ 2 =0繪 出 21 MM、 圖 ， 1 1X2 圖2M1X1 1圖1M圖 乘 得EI3l11 EI3l22 ， ， EI6l2112 由 題 意 知 ： 1t= 2t=0,將 上述 結(jié) 果 代 入 方 程 后 解 得 lEI4X1 lEI2X2按 式 2211 MXMXM 作 彎 矩 圖 。A BlEI4 lEI2M圖 7 11 用 彈 性 中 心 法 計(jì) 算 無 鉸 拱 拱 是 一 種 曲 軸 的 推 力 結(jié) 構(gòu) ， 除 三 鉸 拱 外 均 是超 靜 定 的 ， 超 靜 定 拱 有 無 鉸 拱 和 兩 鉸 拱 兩 種 形 式 。一

40、般 說 無 鉸 拱 彎 矩 分 布 比 較 均 勻 ， 且 構(gòu) 造 簡(jiǎn) 單 ，工 程 中 應(yīng) 用 較 多 ， 例 如 鋼 筋 混 凝 土 拱 橋 和 石 拱 橋 ，無 鉸 拱兩 鉸 拱 拱 橋 拱 圈隧 道 的 混 凝 土 拱 圈 等 。 因 為 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 內(nèi) 力 與 變 形 有 關(guān) ， 所 以 計(jì) 算 超 靜 定 拱 之 前 ， 須 事 先 確 定 拱 軸 線 方 程 和 截 面 變 化 規(guī) 律 。 在 初 步 計(jì) 算 時(shí) ， 常 采 用 相 應(yīng) 三 鉸 拱 的 合 理 拱 軸 線 作 為 超 靜 定 拱 的 軸 線 ， 然 后 根 據(jù) 計(jì) 算 結(jié) 果 加 以 修 正 ， 以

41、盡 量 減 小 彎 矩 。 拱 截 面 的 變 化 規(guī) 律 ， 在 拱 橋 設(shè) 計(jì) 中 可 采 用 下 列 經(jīng) 驗(yàn) 公 式cos)1(1 1lxnII c （ 78）xyIc Ix L1=L/2 L1 IK、 K 由 式 （ 7 8） 有 KK cI In cos可 見 n愈 小 ， Ic與 IK之 比 愈 小 ， 拱 厚 變 化 愈 劇 烈 。n的 范 圍 一 般 為 0.251。 當(dāng) 取 n=1時(shí) ，coscII 為 簡(jiǎn) 化 計(jì) 算 常 近 似 取 coscAA當(dāng) 拱 高 f L/8時(shí) ， 因 角 較 小 ， 可 近 似 取A=AC=常 數(shù) 無 鉸 拱 是 三 次 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 。

42、對(duì) 稱 無 鉸 拱 在計(jì) 算 時(shí) 為 簡(jiǎn) 化 計(jì) 算 取 對(duì) 稱 的 基 本 結(jié) 構(gòu) 。PPx1x2x3 故 副 系 數(shù)13= 31=023= 32=0但 仍 有 12= 21 0 如 果 能 設(shè) 法 使 12= 21=0， 則 典 型 方 程 中 的全 部 副 系 數(shù) 都 為 零 ， 計(jì) 算 就 更 加 簡(jiǎn) 化 。 這 可 以 用下 述 引 用 “ 剛 臂 ” 的 辦 法 來 達(dá) 到 目 的 。 EI=P x1 x2x3原 結(jié) 構(gòu) 可 以 設(shè) 想 ， 對(duì) 稱 無 鉸 拱 沿 拱 頂截 面 切 開 后 ， 在 切 口 兩 邊 沿 豎 向 引出 兩 個(gè) 剛 度 無 窮 大 的 伸 臂 剛 臂 ，

43、然 后 在 兩 剛 臂 下 端 將 其 剛 結(jié) 。選 取 基 本 結(jié) 構(gòu) ， 它 是 兩 個(gè) 帶 剛臂 的 懸 臂 梁 ， 利 用 對(duì) 稱 性 ， 并 適 當(dāng)選 取 剛 臂 的 長(zhǎng) 度 ， 便 可 以 使 典 型 方程 中 全 部 副 系 數(shù) 都 等 于 零 。 選 取 坐 標(biāo) ， 寫 出 各 單 位 多 余 未知 力 作 用 下 基 本 結(jié) 構(gòu) 的 內(nèi) 力 表 達(dá) 式 。x sin,cos, cos,sin, 0,0,1 333 222 111 NQxM NQyM NQM （ 79）y P x1 x2x3 xy sin,cos, cos,sin, 0,0,1 333 222 111 NQxM

44、 NQyM NQM （ 79）式 中 ： 彎 矩 內(nèi) 側(cè) 受 拉 為 正 ， 剪 力 以繞 隔 離 體 順 時(shí) 針 方 向 為 正 ， 軸 力 以壓 力 為 正 。 為 拱 軸 的 弦 切 角 ， 右 半 拱 取 正 ， 左 半 拱 取 負(fù) 。 由 于 多 余 未 知 力 X1和 X2是 對(duì) 稱 的 ， X3是 反 對(duì) 稱 的 ，故 有 13= 31=023= 32=0 GAdsQQkEAdsNNEI dsMM 2121212112 0021 EI dsMM EIdsyyEIdsy s)( 1 EIdsyEIdsyEIdsyyEIdsy ss 11 )(12= 21 x1 x2x3 xy ys

45、y1 yK令 12= 21=0， 可 得 EIdsEIdsyys 1 （ 710） 設(shè) 想 沿 拱 軸 作 寬 度 等 于 1/EI的 圖 形 ， 則 ds/EI 就 代表 此 圖 形 的 微 面 積 ， 式 （ 7 10） 就 是 計(jì) 算 這 個(gè) 圖 形 面積 的 形 心 坐 標(biāo) 的 公 式 。 xy yso1/EIy 1 ds 由 于 此 圖 形的 面 積 與 結(jié) 構(gòu) 的 彈 性 性 質(zhì) EI有關(guān) ,故 稱 它 為 彈 性 面 積 圖 ， 它 的形 心 則 稱 為 彈 性 中 心 。 由 此 可 知 ， 把 剛 臂 端 點(diǎn) 引 到 彈 性 中 心 上 ， 且將 X1、 X3置 于 x、 y

46、 軸 方 向 上 ， 就 可 以 使 全 部 副系 數(shù) 都 等 于 零 。 這 一 方 法 稱 為 彈 性 中 心 法 。 此 時(shí)典 型 方 程 簡(jiǎn) 化 為 ： GAdsQkEAdsNEIdsM 2i2i2iii GAdsQQkEAdsNNEI dsMM PiPiPiiP 11X1+ 1P=022X2+ 2P=033X3+ 3P=0計(jì) 算 系 數(shù) 和 自 由 項(xiàng) 時(shí) ， 仍 可 采 用 直 桿 的 位 移 計(jì) 算公 式 ： 7 12 兩 鉸 拱 及 系 桿 拱 兩 鉸 拱 是 一 次 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) ， P L f當(dāng) 其 發(fā) 生 豎 向 位 移 時(shí) 并 不 引 起 內(nèi)力 ， 故 在 地 基

47、 可 能 發(fā) 生 較 大 的 不均 勻 沉 陷 時(shí) 易 采 用 。 兩 鉸 拱 的 彎矩 在 兩 拱 趾 處 為 零 而 逐 漸 向 拱 頂增 大 ， 所 以 其 截 面 一 般 也 相 應(yīng) 設(shè)計(jì) 為 由 拱 趾 向 拱 頂 逐 漸 增 大 的 形式 。 通 常 采 用 的 變 化 規(guī) 律 為 ： （ 715）A BC為 計(jì) 算 方 便 ， 當(dāng) f L/4時(shí) ， 可 采 用 coscII 當(dāng) 跨 度 不 大 時(shí) ， 也 常 做 成 等 截 面 。I=Iccos P L fA BCP 計(jì) 算 兩 鉸 拱 時(shí) ， 通 常 采 用 簡(jiǎn)支 曲 梁 為 基 本 結(jié) 構(gòu) ， 以 支 座 的 水平 推 力

48、X1為 多 余 未 知 力 。 X1典 型 方 程 為11X1+ 1P=0 計(jì) 算 系 數(shù) 和 自 由 項(xiàng) 時(shí) ， 一 般略 去 剪 力 的 影 響 ， 而 軸 力 影 響 僅當(dāng) f L/5 時(shí) 才 在 11中 予 以 考 慮 。因 此 有 EAdsNEIdsM 212111 EI dsMM PP 11 xy x y且 ,1 yM cos1 N AdsIdsy IdsyMX PP 221111 cos （ 716） 有 時(shí) 為 了 避 免 支 座 承 受 推 力 ， 可 采 用 帶 拉 桿 的兩 鉸 拱 ， 也 稱 系 鉸 拱 。 拱 的 水 平 推 力 由 系 桿 承 受 。計(jì) 算 時(shí) 以

49、系 桿 的 內(nèi) 力 X1為多 余 未 知 力 。 X 1x y典 型 方 程 為 ：11X1+ 1P=0計(jì) 算 11時(shí) ， 要 考 慮 系 桿 軸向 變 形 的 影 響 ， 即 EI、 AE1、 A111212111 AElEAdsNEIdsM EIdsMM PP 11將 ,1 yM cos1 N 代 入 得 11221 cos AElEAdsEIdsy EIdsyMX P 7 13 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 特 性超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 與 靜 定 結(jié) 構(gòu) 對(duì) 比 ， 具 有 以 下 一 些 重 要 特 性 ： 1.由 于 存 在 多 余 聯(lián) 系 ， 當(dāng) 結(jié) 構(gòu) 受 到 荷 載 外 其 他 因 素影 響 ， 如 溫 度 變 化 、 支 座 移 動(dòng) 時(shí) 結(jié) 構(gòu) 將 產(chǎn) 生 內(nèi) 力 。 2.超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 內(nèi) 力 僅 由 平 衡 條 件 不 能 全 部 確 定 ，必 須 考 慮 變 形 條 件 ， 因 此 內(nèi) 力 與 桿 件 的 剛 度 有 關(guān) 。 3.超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 多 余 聯(lián) 系 被 破 壞 后 ， 仍 能 維 持 幾 何不 變 ， 故 有 較 強(qiáng) 的 防 御 能 力 。 4.超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 由 于 存 在 多 余 聯(lián) 系 ， 一 般 地 說 要 比 相應(yīng) 的 靜 定 結(jié) 構(gòu) 剛 度 大 些 ， 內(nèi) 力 分 布 也 均 勻 些 。