高中數學 探究導學課型 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標表示 2.3.3 平面向量的坐標運算課件 新人教版必修4

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1、2.3.2 平 面 向 量 的 正 交 分 解 及 坐 標 表 示2.3.3 平 面 向 量 的 坐 標 運 算 【 自 主 預 習 】主 題 1:平 面 向 量 的 正 交 分 解 及 坐 標 表 示1.在 平 面 內 ,規(guī) 定 e1,e2為 基 底 ,那 么 一 個 向 量 對 e1,e2的分 解 是 唯 一 的 嗎 ?提 示 :由 平 面 向 量 的 基 本 定 理 知 向 量 對 e1,e2的 分 解 是 唯一 的 . 2.在 平 面 直 角 坐 標 系 中 ,分 別 取 與 x軸 ,y軸 方 向 相 同的 兩 個 單 位 向 量 i,j作 為 基 底 ,任 作 一 向 量 ,根 據平

2、 面 向 量 基 本 定 理 , =xi+yj,那 么 (x,y)與 A點 的 坐 標相 同 嗎 ?提 示 :相 同 . OAOA 3.如 果 向 量 也 用 (x,y)表 示 ,那 么 這 種 向 量 與 實數 對 (x,y)之 間 是 否 一 一 對 應 ?提 示 :一 一 對 應 .OA OA 結 合 以 上 探 究 ,總 結 平 面 向 量 的 正 交 分 解 及 坐 標 表 示 :(1)正 交 分 解 :把 一 個 向 量 分 解 為 兩 個 _的 向 量 .(2)平 面 向 量 的 坐 標 表 示基 底 :取 與 x軸 、 y軸 方 向 相 同 的 兩 個 _i,j作 為基 底 ;

3、 互 相 垂 直單 位 向 量 表 示 :對 于 平 面 內 的 一 個 向 量 a,由 平 面 向 量 基 本 定 理知 ,有 且 只 有 一 對 實 數 x,y,使 得 a=_ 結 論 :有 序 數 對 (x,y)叫 做 向 量 a的 坐 標 .其 中 ,x叫 做 a在 _上 的 坐 標 ,y叫 做 a在 _上 的 坐 標 ,_叫 做向 量 a的 坐 標 表 示 . xi+yjx軸 y軸 (x,y) 主 題 2:平 面 向 量 的 坐 標 運 算1.設 i,j是 與 x軸 、 y軸 同 向 的 兩 個 單 位 向 量 ,若 設a=(x1,y1),b=(x2,y2),則 a=x1i+y1j,

4、b=x2i+y2j,根 據 向 量的 線 性 運 算 性 質 ,向 量 a+b,a-b, a( R)如 何 分 別用 基 底 i,j表 示 ? 提 示 :a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j,a-b=(x1i+y1j)-(x2i+y2j)=(x1-x2)i+(y1-y2)j, a= (x1i+y1j)= x1i+ y1j. 2.已 知 點 A(x1,y1),B(x2,y2),那 么 向 量 的 坐 標 是 什么 ?一 般 地 ,一 個 任 意 向 量 的 坐 標 如 何 計 算 ?提 示 : =(x2-x1,y2-y1),任 意 一 個 向 量 的

5、 坐 標 等 于 表示 該 向 量 的 有 向 線 段 的 終 點 坐 標 減 去 始 點 坐 標 .ABAB 用 文 字 語 言 描 述 :兩 個 向 量 和 (差 )的 坐 標 分 別 等 于 這 兩個 向 量 相 應 坐 標 的 和 (差 ) 用 符 號 語 言 描 述(1)已 知 向 量 a=(x1,y1),b=(x2,y2)和 實 數 ,那 么 a+b=_;a-b=_; a=_.(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)( x1, y1) (2)已 知 A(x1,y1),B(x2,y2)則 =(x2,y2)-(x1,y1)=_,即 一 個 向 量 的 坐 標 等 于 該向

6、量 的 _的 坐 標 減 去 _的 坐 標 .AB OB OA (x2-x1,y2-y1)終 點 始 點 【 深 度 思 考 】結 合 教 材 P96例 2在 平 面 直 角 坐 標 系 中 你 認 為 應 怎 樣 求向 量 a的 坐 標 ? 第 一 步 :_;第 二 步 :_;第 三 步 :_.將 向 量 a的 始 點 移 至 坐 標 原 點找 出 以 x軸 正 向 為 始 邊 ,向 量 a所 在 射 線 為 終邊 的 角 根 據 x=rcos ,y=rsin (r為 向 量 的 模 )求 終點 坐 標 ,即 為 向 量 a的 坐 標 【 預 習 小 測 】1.如 圖 所 示 ,i,j分 別

7、 是 與 x軸 、y軸 正 方 向 相 同 的 單 位 向 量 ,則 a的 坐 標 為 ( )A.(-3,3) B.(-1,1)C.(-2,2) D.(2,-2) 【 解 析 】 選 C.因 為 B(-1,1),A(-3,3),所 以 a= =(-2,2). BA 2.已 知 向 量 a=(1,2),b=(3,1),則 b-a等 于 ( )A.(-2,1) B.(2,-1)C.(2,0) D.(4,3)【 解 析 】 選 B.b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1). 3.已 知 =(-2,4),則 下 面 說 法 正 確 的 是 ( )A.A點 的 坐 標 是 (-2,4)B.B點 的

8、坐 標 是 (-2,4)C.當 B是 原 點 時 ,A點 的 坐 標 是 (-2,4)D.當 A是 原 點 時 ,B點 的 坐 標 是 (-2,4)【 解 析 】 選 D.當 A是 原 點 時 ,B點 的 坐 標 與 向 量 的 坐標 相 同 .AB AB 4.把 一 個 向 量 分 解 為 兩 個 互 相 垂 直 的 向 量 ,叫 做 把 向 量正 交 分 解 .如 圖 ,向 量 i,j是 兩 個 互 相 垂 直 的 單 位 向 量 ,向 量 a與 i的 夾 角 是 30 且 |a|=4,以 向 量 i,j為 基 底 ,向 量a= . 【 解 析 】 在 OAP中 ,|OP|=|a|=4,

9、POA=30 ,所 以 |PA|=2,|OA|=2 ,故 a=2 i+2j.答 案 :2 i+2j 3 33 5.已 知 a=(2,1),b=(-1,4),則 2a-3b= .【 解 析 】 2a-3b=2(2,1)-3(-1,4)=(4,2)-(-3,12)=(7,-10).答 案 :(7,-10) 【 備 選 訓 練 】 如 圖 ,已 知 四 邊 形 ABCD為 平 行 四 邊 形 ,O為 對 角 線 AC,BD的 交 點 , =(3,7), =(-2,1).求 的 坐 標 .(仿 照 教 材 P97例 5解 法 2的 過 程 )AD ABOB 【 解 析 】 =(-2,1)-(3,7)=

10、(-5,-6),所 以 DB AB AD 1 1 5OB DB 5, 6 ( , 3).2 2 2 【 互 動 探 究 】1.相 等 向 量 的 坐 標 相 同 嗎 ?相 等 向 量 的 起 點 、 終 點 的 坐標 一 定 相 同 嗎 ?提 示 :由 向 量 坐 標 的 定 義 知 :相 等 向 量 的 坐 標 一 定 相 同 ,由 于 向 量 可 以 平 移 ,所 以 相 等 向 量 的 起 點 、 終 點 的 坐 標可 以 不 同 . 2.以 原 點 O為 起 點 作 向 量 =a,點 A的 位 置 由 誰 確 定 ?提 示 :由 a唯 一 確 定 . OA 3.求 向 量 的 坐 標

11、需 要 知 道 哪 些 量 ?提 示 :求 向 量 的 坐 標 ,需 要 知 道 點 A和 點 B的 坐 標 .AB AB 4.向 量 可 以 平 移 ,平 移 前 后 它 的 坐 標 會 發(fā) 生 變 化 嗎 ?提 示 :向 量 確 定 以 后 ,它 的 坐 標 就 被 唯 一 確 定 ,所 以 向 量在 平 移 前 后 ,其 坐 標 不 變 . 【 拓 展 延 伸 】 向 量 的 三 種 運 算 體 系(1)圖 形 表 示 下 的 幾 何 運 算 .此 運 算 體 系 下 要 注 意 三 角 形 法 則 、 平 行 四 邊 形 法 則的 應 用 .(2)字 母 表 示 下 的 幾 何 運 算

12、 .此 運 算 體 系 下 一 方 面 要 注 意 運 算 律 的 應 用 ,另 一 方 面要 注 意 等 運 算 法 則 的 應 用 .OA AB OB,OA OB BA (3)坐 標 表 示 下 的 代 數 運 算 .此 運 算 體 系 下 要 牢 記 公 式 ,且 細 心 運 算 .若 已 知 有 向 線段 兩個 端 點 的 坐 標 ,則 應 先 求 出 向 量 的 坐 標 ,再 進 行 坐 標 運算 . 【 探 究 總 結 】知 識 歸 納 : 方 法 總 結 :求 點 和 向 量 坐 標 的 常 用 方 法(1)求 一 個 點 的 坐 標 ,可 以 轉 化 為 求 該 點 相 對 于

13、 坐 標 原點 的 位 置 的 坐 標 .(2)求 一 個 向 量 的 坐 標 ,可 以 首 先 求 出 這 個 向 量 的 起 點坐 標 和 終 點 坐 標 ,再 運 用 終 點 坐 標 減 去 起 點 坐 標 得 到 該向 量 的 坐 標 . 【 題 型 探 究 】類 型 一 :平 面 向 量 的 坐 標 表 示【 典 例 1】 (1)已 知 O為 坐 標 原 點 ,點 A在 第 一 象 限 , xOA=60 ,則 向 量 的 坐 標 為 .OA 4 3，OA (2)如 圖 ,在 平 面 直 角 坐 標 系 xOy中 ,一 單 位 圓 的 圓 心 的初 始 位 置 在 (0,1),此 時

14、圓 上 一 點 P的 位 置 在 (0,0),圓在 x軸 上 沿 正 向 滾 動 .當 圓 滾 動 到 圓 心 位 于 (2,1)時 , 的 坐 標 為 . OP 【 解 題 指 南 】 (1)求 的 坐 標 ,就 是 求 在 x軸 、 y軸上 的 分 量 ,可 根 據 題 設 條 件 ,利 用 三 角 函 數 求 解 .(2)本 題 中 圓 周 運 動 的 距 離 即 為 P點 轉 過 的 弧 長 ,可 利 用單 位 圓 中 的 三 角 函 數 求 得 P點 坐 標 ,即 為 的 坐 標 .OPOA OA 【 解 析 】 (1)設 點 A(x,y),則 x=| |cos60=4 cos60=

15、2 ,y=| |sin60 =4 sin60 =6,即 A(2 ,6),所 以 =(2 ,6).答 案 :(2 ,6) OA33 3OA3 33OA (2)當 圓 心 運 動 到 C時 ,則 圓 與 x軸 的 切 點 為 D,且 弧 PD長為 2,所 以 PCD=2,點 P的 橫 坐 標 為 2-cos(2- )=2-sin2,點 P的 縱 坐 標 為 1+sin(2- )=1-cos2,所 以 點P坐 標 為 (2-sin2,1-cos2),即 的 坐 標 為 (2-sin2,1-cos2).答 案 :(2-sin2,1-cos2) 2OP 2 【 規(guī) 律 總 結 】 求 向 量 坐 標 的

16、 三 個 步 驟 【 鞏 固 訓 練 】 已 知 邊 長 為 1的 正 方 形 ABCD中 ,AB與 x軸正 半 軸 成 30 角 .求 點 B和 點 D的 坐 標 和 的 坐 標 .【 解 題 指 南 】 利 用 任 意 角 三 角 函 數 的 定 義 求 點 B,D的 坐標 . AB AD 與 【 解 析 】 由 題 知 B,D分 別 是 30 ,120 角 的 終 邊 與 單 位圓 的 交 點 ,設 B(x1,y1),D(x2,y2).由 三 角 函 數 的 定 義 ,得x1=cos30 = ,y1=sin30 = ,32 12 所 以 B x2=cos 120 =- ,y2=sin 1

17、20 = .3 1, .2 2（）12 321 3 3 1 1 3D , . AB , .AD , .2 2 2 2 2 2 所以（）所以（）（） 類 型 二 :平 面 向 量 的 坐 標 運 算【 典 例 2】 已 知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且 求 點 M,N及 向 量 的 坐 標 .CM 3CA,CN 2CB ，MN 【 解 題 指 南 】 設 出 點 M的 坐 標 (x1,y1),然 后 利 用 列 出 x1,y1的 方 程 組 ,即 可 求 出 點 M的 坐 標 ,同 理 可 求 N點坐 標 ,然 后 用 N點 坐 標 減 去 M點 坐 標 即 為 的 坐

18、標 .CM 3CA, MN 【 解 析 】 設 M(x1,y1).因 為 =(x1+3,y1+4), =(1,8)且 故 M(0,20). CM 3CA, CMCA 1 11 1x 3 3, x 0,y 4 24 y 20 所以即， 設 N(x2,y2).因 為 =(x2+3,y2+4), =(6,3)且 故 N(9,2).因 此 =(9,2)-(0,20)=(9,-18).CN CBCN 2CB, 2 22 2x 3 12, x 9,y 4 6 y 2. 所以即，MN 【 規(guī) 律 總 結 】 平 面 向 量 坐 標 運 算 的 技 巧(1)若 已 知 向 量 的 坐 標 ,則 直 接 應 用

19、 兩 個 向 量 和 、 差 及向 量 數 乘 的 運 算 法 則 進 行 .(2)若 已 知 有 向 線 段 兩 端 點 的 坐 標 ,則 可 先 求 出 向 量 的坐 標 ,然 后 再 進 行 向 量 的 坐 標 運 算 .(3)向 量 的 線 性 坐 標 運 算 可 完 全 類 比 數 的 運 算 進 行 . 【 拓 展 延 伸 】 平 面 向 量 坐 標 運 算 的 一 般 思 路(1)對 已 知 條 件 中 的 向 量 等 式 或 由 幾 何 關 系 轉 化 而 得 到的 向 量 等 式 ,先 將 其 坐 標 化 ,然 后 利 用 坐 標 運 算 列 方 程或 方 程 組 求 解 有

20、 關 未 知 數 . (2)在 解 題 過 程 中 應 注 意 點 的 坐 標 與 向 量 的 坐 標 的 區(qū) 別及 其 表 示 符 號 的 不 同 ,即 點 A的 坐 標 記 為 A(x,y),而 向 量a的 坐 標 記 為 a=(x,y),同 時 還 要 注 意 理 解 、 選 擇 解 題 思路 . 【 鞏 固 訓 練 】 已 知 A(2,-4),B(-1,3),C(3,4), 的 坐 標 .1CM 2CA 3CB, AM BC 3AB2 若求 【 解 析 】 由 A(2,-4),B(-1,3),C(3,4),得 =(2-3,-4-4)=(-1,-8), =(-1-3,3-4)=(-4,-

21、1),所 以 =2+3=2(-1,-8)+3(-4,-1)=(-2,-16)+(-12,-3)=(-14,-19).CACB CM 2CA 3CB 設 點 M的 坐 標 為 (x,y),則 =(x-3,y-4).由 向 量 相 等 坐 標 相 同 可 得 所 以 點 M的 坐 標 為 (-11,-15).CMx 3 14, x 11,y 4 19. y 15. 解得 所 以 =(-13,-11).又 =(4,1), =(-3,7),AMBC AB 1 1AM BC 3AB 13, 11 4,1 3 3,72 21 113, 11 (2, ) 9,21 ( 2, 31 ).2 2 所以 類 型

22、三 :向 量 坐 標 運 算 的 綜 合 應 用【 典 例 3】 已 知 點 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及 t為 何 值 時 ,點 P在 x軸 上 ?點 P在 y軸 上 ?點 P在 第 二 象 限 ?【 解 題 指 南 】 設 出 P點 坐 標 ,運 用 坐 標 運 算 及 點 P的 坐 標特 點 列 出 t的 方 程 或 不 等 式 即 可 . OP OA tAB ， 【 解 析 】 因 為 =(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t),若 點 P在 x軸 上 ,則 2+3t=0,所 以 ,t=- .若 點 P在 y軸 上 ,則 1+3t=0,所 以 ,t=- .若 點

23、P在 第 二 象 限 ,則 所 以 , OP OA tAB 23131 3t 0,2 3t 0, 2 1t .3 3 【 延 伸 探 究 】1.本 例 條 件 不 變 ,試 問 四 邊 形 OABP能 為 平 行 四 邊 形 嗎 ?若 能 ,求 出 t值 ;若 不 能 ,說 明 理 由 . 【 解 析 】 因 為 =(1,2), =(3-3t,3-3t).若 四 邊 形 OABP為 平 行 四 邊 形 ,則 所 以 該 方 程 組 無 解 .故 四 邊 形 OABP不 能 成 為 平 行 四 邊 形 .OA PBOA PB ，3 3t 1,3 3t 2, 2.本 例 中 條 件 “ 點 P在

24、x軸 上 ,點 P在 y軸 上 ,點 P在 第 二 象限 ” 若 換 為 “ B為 線 段 AP的 中 點 ” 試 求 t的 值 .【 解 析 】 由 因 為 B為 線 段 AP的中 點 .所 以 t=2. OP OA tAB AP tAB. 得 【 規(guī) 律 總 結 】 向 量 中 含 參 數 問 題 的 求 解(1)向 量 的 坐 標 含 有 兩 個 量 :橫 坐 標 和 縱 坐 標 ,如 果 縱 或橫 坐 標 是 一 個 變 量 ,則 表 示 向 量 的 點 的 坐 標 的 位 置 會 隨之 改 變 .(2)解 答 這 類 由 參 數 決 定 點 的 位 置 的 題 目 ,關 鍵 是 列

25、出滿 足 條 件 的 含 參 數 的 方 程 (組 ),解 這 個 方 程 (組 ),就 能達 到 解 題 的 目 的 . 【 補 償 訓 練 】 已 知 點 A(2,3),B(5,4),C(7,10),若 第三 象 限 的 點 P滿 足 求 實 數 的 取 值 范 圍 .【 解 題 指 南 】 設 出 P點 坐 標 ,運 用 坐 標 運 算 ,使 點 P的 橫 、縱 坐 標 都 小 于 0,便 可 將 問 題 解 決 .AP AB AC ， 【 解 析 】 設 P(x,y),則 =(x-2,y-3),又 =(3,1)+ (5,7)=(3+5 ,1+7 ),于 是 由 可 得 ,(x-2,y-3)=(3+5 ,1+7 ),所 以 因 為 點 P在 第 三 象 限 ,所 以 解 得 -1.故 所 求 實 數 的 取 值 范 圍 是 (- ,-1).APAB AC AP AB AC x 2 3 5 x 5 5y 3 1 7 y 7 4. ，即，5 5 07 4 0 ，