2022-2023學年安徽省阜陽市高二年級下冊學期選修模塊檢測數(shù)學【含答案】
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1、 高二數(shù)學試卷 一、單項選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的 1. 拋物線的焦點坐標是() A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】將已知拋物線方程整理成標準形式,從而可求出焦點坐標. 【詳解】由可得,焦點在軸的正半軸上,設(shè)坐標為, 則,解得,所以焦點坐標為. 故選:D. 2. 設(shè)隨機變量,若,則() A. , B. , C. , D. , 【答案】A 【解析】 【分析】根據(jù)正態(tài)分布及求出期望與方差即可判斷作答. 【詳解】因為隨機變量,且, 所以由對稱性知,由正態(tài)分布知方差,A正
2、確,BCD錯誤. 故選:A 3. 從1,2,3,0這四個數(shù)中取三個組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù),則三位數(shù)的個數(shù)為() A. 24 B. 48 C. 18 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步計數(shù)原理和排列數(shù)即可求解. 【詳解】先排末位則有種,再從剩下的三個選兩個進行排列則, 根據(jù)分步計數(shù)原理可得種, 故選:C. 4. 已知上可導函數(shù)的圖象如圖所示,是的導函數(shù),則不等式的解集為() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函數(shù)圖象得出和的解,然后用分類討論思想求得結(jié)論. 【詳解】由圖象知的解集為,的解集為, 或, 所以或,
3、解集即為. 故選:C 5. 在數(shù)列中,已知,則的前10項的和為() A. 1023 B. 1024 C. 2046 D. 2047 【答案】C 【解析】 【分析】利用,表示出的前10項的和,通過等比數(shù)列前n項和公式求解即可. 【詳解】 ,,,,, 則的前10項的和為. 故選:C. 6. 在棱長為2的正方體中,下列說法不正確的是() A. 直線與平面所成的角為 B. C. 三棱錐外接球的表面積為 D. 平面與平面距離為 【答案】A 【解析】 【分析】根據(jù)線面角的定義即可判斷A,建立空間直角坐標系,通過空間向量的坐標運算即可判斷BD,由三棱錐外接球與正方體的外
4、接球相同即可判斷C. 【詳解】 連接,與相交于點,因為平面,且平面, 所以,又因為,,所以平面, 即直線與平面所成的角為,且,故A錯誤; 連接,以為原點,建立如圖所示空間直角坐標系, 則, 則 設(shè)平面的法向量為, 則,解得,取,則 所以,則,所以平面, 且平面,則,故B正確; 因為三棱錐外接球就是正方體的外接球, 設(shè)其外接球的半徑為,則,即, 所以,故C正確; 因為平面平面所以平面 同理平面 又平面, 所以平面平面, 由B選項可知,平面的法向量為,且, 則兩平面間的距離,故D正確. 故選:A 7. 已知拋物線的焦點為,點是拋物線上一點,圓與
5、線段相交于點,且被直線截得的弦長為,若,則() A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根據(jù)點在拋物線上及拋物線的定義,利用圓的弦長及勾股定理即可求解 【詳解】由題意可知,如圖所示, 在拋物線上,則 易知,,由, 因為被直線截得的弦長為,則, 由,于是在中, 由解得:,所以. 故選:C. 8. 已知函數(shù)的導函數(shù)為,且,,則不正確的是() A. B. C. 沒有極小值 D. 當有兩個根時, 【答案】C 【解析】 【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性,即可判斷AB;求函數(shù),利用導數(shù)求函數(shù)的極值,判斷C;將方程的實數(shù)根,轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點
6、問題,利用數(shù)形結(jié)合判斷的取值范圍. 【詳解】因為,所以函數(shù)單調(diào)遞增, ,即,故A正確; ,即,故B正確; 設(shè), 即,,得, 所以,,得, 在區(qū)間上,,單調(diào)遞減,在區(qū)間上,,單調(diào)遞增,所以當函數(shù)取得極小值,故C錯誤; 有2個根,即函數(shù)的圖象與有2個交點,由以上可知當函數(shù)取得極小值,, 并且時,,并且時,,時,,并且時,, 所以當直線與的圖象有2個交點時,,故D正確. 故選:C. 二、多項選擇題:本大題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個選項中,有多項符合要求,全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分. 9. 下列說法正確是() A. 若隨機變量
7、~,則 B. 若隨機變量的方差,則 C. 若,,,則事件與事件獨立 D. 若隨機變量~且,則 【答案】ACD 【解析】 【分析】通過計算可以判斷選項ABD;計算得到,則事件與事件獨立,所以選項C正確. 【詳解】A. 若隨機變量~,則,所以該選項正確; B. 若隨機變量的方差,則,所以該選項錯誤; C. 若,則事件與事件獨立,所以該選項正確; D. 若隨機變量~且,則,所以該選項正確. 故選:ACD 10. 已知是等差數(shù)列,其前項和為,,則下列結(jié)論一定正確的有( ) A. B. 最小 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】計算得所以,所以選項A正確;
8、由于符號不確定,所以選項B錯誤;所以選項C正確;,所以選項D錯誤. 【詳解】根據(jù)題意,數(shù)列是等差數(shù)列,若 即 變形可得所以,所以選項A正確; , 如果,則,則最?。蝗绻?,則,由于,則最??; 如果,則,由于,則沒有最小值.所以選項B錯誤; ,所以選項C正確; ,所以選項D錯誤. 故選:AC 11. 點是拋物線上第一象限內(nèi)的點,過點A作圓C:的兩條切線,切點為、,分別交軸于P,Q兩點,則下列選項正確的是() A. B. 若,則直線MN的方程為 C. 若,則的面積為92 D. 的面積最小值為72 【答案】ABD 【解析】 【分析】根據(jù)勾股定理即可判斷A,根據(jù)相交弦
9、的方程即可由兩圓方程相減求解B,根據(jù)三角形面積與內(nèi)切圓的關(guān)系即可列出方程求解C,結(jié)合基本不等式即可求解D. 【詳解】對于A選項,,故,A正確; 對于B選項,,,則以為直徑的圓的方程為,與圓相減得,故MN直線為,故B正確; 對于C選項,,又,當時,,則,故,故C錯誤; 對于D選項,由C可知當且僅當時,等號成立,故時,取得最小值72,故D正確, 故選:ABD. 【點睛】圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略: (1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍; (2)利用已知參數(shù)的范圍,求新的參數(shù)的范圍,解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系; (
10、3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍; (4)利用已知的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍; (5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù),求其值域,從而確定參數(shù)的取值范圍. 12. 如圖,點M是棱長為l的正方體中的側(cè)面上的一個動點(包含邊界),則下列結(jié)論正確的是() A. 不存在點M滿足平面 B. 存在無數(shù)個點M滿足 C. 當點M滿足時,平面截正方體所得截面的面積為 D. 滿足的點M的軌跡長度是 【答案】BCD 【解析】 【分析】對于A:根據(jù)線面垂直關(guān)系可得,分析判斷;對于B:根據(jù)線面垂直關(guān)系可得,分析判斷;對于C:根據(jù)平行線的性
11、質(zhì)以及利用空間向量分析運算求截面,進而可求截面面積;對于D:利用空間向量求點M的軌跡,進而求點M的軌跡長度. 【詳解】對于選項A:連接, 因為四邊形ABCD是正方形,所以, ∵,且平面,所以, ,平面, 所以平面,且平面, 可得, 同理可證, ,平面,所以, 又點M是面上一個動點(包含邊界),所以當M與A1重合時, 故A錯誤; 對于選項B:連接, ,,則, 又因為,,, 所以, 可知當M在線段上時,有故存在無數(shù)個點滿足,故B正確; 對于選項C:延長交于點, ∵,則為線段靠近點的三等分點, 且,則,則為線段的中點, 如圖,以D點為原點建立空間直角坐標
12、系, 則,可得, 設(shè)平面的法向量為,則, 令,則,即, 設(shè)平面,點,則, 則,解得, 則,故, 可得,即, 且, 故截面面積,故C正確; 對于選項D: 因為正方體的棱長為l,所以設(shè) 所以,, 因為,所以 化簡得:, 所以點M的軌跡是一段以為圓心,半徑為的圓弧, 設(shè)圓弧與分別交于點, 取,則,即;取,則,即; 則,則, 且,即, ∴軌跡長度是,故D正確. 故選:BCD. 三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把答案填寫在答題卡相應位置上. 13. 若,則=__. 【答案】3 【解析】 【分析】列出關(guān)于x的方程,解之即可求得
13、x的值. 【詳解】由,可得, 即,整理得, 解之得或(舍) 故答案為:3 14. 現(xiàn)有兩批產(chǎn)品,第一批產(chǎn)品的次品率為5%,第二批產(chǎn)品的次品率為15%,兩批產(chǎn)品以3:2的比例混合在一起,從中任取1件,該產(chǎn)品合格的概率為__________. 【答案】0.91## 【解析】 【分析】設(shè)兩批產(chǎn)品共取件,求出第一批和第二批產(chǎn)品中的合格品的件數(shù)即得解. 【詳解】設(shè)兩批產(chǎn)品共取件, 所以第一批產(chǎn)品中的合格品有件,第二批產(chǎn)品中的合格品有件, 所以從中任取1件,該產(chǎn)品合格的概率為. 故答案為:0.91 15. 若直線與圓交于兩點,則面積的最大值為____. 【答案】 【解析】
14、【分析】先求得面積的表達式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得面積的最大值. 【詳解】圓的圓心,半徑, 直線恒過定點,則, 設(shè)中點為M,則點M在以為直徑的圓上, 設(shè)圓心到直線距離為d, 則,, 則的面積為 當即時取得最大值. 則面積的最大值為. 故答案為: 16. 已知函數(shù)在處取得極值,且在上的最大值為1,則的值為___. 【答案】或 【解析】 【分析】先求得的導函數(shù),進而按t討論得到的單調(diào)性,利用題給條件列出關(guān)于的方程,進而求得的值. 【詳解】由(),可得 由函數(shù)在處取得極值,可得, 若, 當時,,單調(diào)遞增, 當時,,單調(diào)遞減, 則在處取得極大值即最大
15、值, 則,解之得. 若, 當時,,單調(diào)遞增; 當時,,單調(diào)遞減; 當時,,單調(diào)遞增, 則在處取得極大值, 又由在上的最大值為1可得, ,即,不等式組無解. 若, 當時,,單調(diào)遞增; 當時,,單調(diào)遞減; 當時,,單調(diào)遞增, 則在處取得極小值, 在處取得極大值 又由在上的最大值為1可得, ,解之得. 綜上,的值為或. 故答案為:或. 四、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17. 已知數(shù)列的前項和為,從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個條件作為已知,解答下列問題. (1)求數(shù)列的通項公式; (2)設(shè),記的前項和為,若
16、對任意正整數(shù),都有恒成立,求實數(shù)的取值范圍. 條件①,且;條件②為等比數(shù)列,且滿足. 注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分. 【答案】(1)條件選擇見解析, (2) 【解析】 【分析】(1)選①:由與的關(guān)系求;選②:求得后得到公比,寫出通項公式即可. (2)由裂項求和法求得,并求得的取值范圍,由不等式恒成立求的取值范圍. 【小問1詳解】 選①:且,則, 兩式相減,得, 所以為公比的等比數(shù)列, 又,,解得,所以; 選②:因為為等比數(shù)列,且滿足, 所以,, 所以,所以. 【小問2詳解】 因為,所以, 顯然數(shù)列是關(guān)于的增函數(shù),∵,∴, ∴ 由
17、恒成立得,,解得或 故的取值范圍為. 18. 已知是函數(shù)的極值點,則: (1)求實數(shù)的值. (2)討論方程的解的個數(shù) 【答案】(1) (2)答案見解析 【解析】 【分析】(1)求導,由題意可得,即可得解,要注意檢驗; (2)利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值,由此作出函數(shù)的大致圖象,結(jié)合函數(shù)圖象即可得解. 【小問1詳解】 , 因為是函數(shù)的極值點, 所以,即, 解得或, 當時,, 令,則或,令,則, 所以函數(shù)在上遞增,在上遞增, 所以的極小值點為,極大值點為,符合題意, 當時,, 所以在上遞增,所以無極值點, 綜上所述; 【小問2詳解】 由(1)可得,
18、 函數(shù)在上遞增,在上遞增, 則, 又當時,,當時,, 作出函數(shù)的大致圖象,如圖所示, 當或時,方程有個解, 當或時,方程有個解, 當時,方程有個解. 19. 如圖,在矩形ABCD中,,E為邊CD上的點,,以BE為折痕把折起,使點C到達點P的位置,且使二面角為直二面角,三棱錐的體積為. (1)求證:平面平面PAE; (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)證明見解析 (2) 【解析】 【分析】(1)取BE中點,則,由三棱錐的體積得,可得,由平面ABCD得,故平面PBE,得,又,可得平面,進而得證; (2)以D為原點,為x,y軸正向,過作軸垂直于平面ABCD,
19、建立空間直角坐標系,分別求出平面BPA和平面DPA的法向量,由向量的夾角公式求解即可. 【小問1詳解】 設(shè),由題意為等腰直角三角形,折疊后為等腰直角三角形, 取BE中點,連接PF,則, 由于二面角為直二面角,故平面ABCD,且, 則, 得,即. 則,故, 又平面ABCD,故,又PF與BE相交, 故平面PBE,故, 又,且PE與AE相交,故平面, 又面PAB,故平面平面. 【小問2詳解】 以D為原點,為x,y軸正向,過作軸垂直于平面ABCD,建立空間直角坐標系, 則,, 設(shè)平面BPA的法向量為,則, 取,可得, 設(shè)平面DPA的法向量為,則, 取,可得,
20、則, 由于二面角為鈍角,故其余弦值為. 20. 2022年12月初某省青少年乒乓球培訓基地舉行了混雙選拔賽,其決賽在韓菲/陳宇和黃政/孫藝兩對組合間進行,每場比賽均能分出勝負.已知本次比賽的贊助商提供了10000元獎金,并規(guī)定:①若其中一對贏的場數(shù)先達到4場,則比賽終止,同時這對組合獲得全部獎金;②若比賽意外終止時無組合先贏4場,則按照比賽繼續(xù)進行各自贏得全部獎金的概率之比給兩對組合分配獎金.已知每場比賽韓菲/陳宇組合贏的概率為,黃政/孫藝贏的概率為,且每場比賽相互獨立. (1)若在已進行的5場比賽中韓菲/陳宇組合贏3場、黃政/孫藝組合贏2場,求比賽繼續(xù)進行且韓菲/陳宇組合贏得全部獎金的
21、概率; (2)若比賽進行了5場時終止(含自然終止與意外終止),則這5場比賽中兩對組合之間的比賽結(jié)果共有多少不同的情況? (3)若比賽進行了5場時終止(含自然終止與意外終止),設(shè),若贊助商按規(guī)定頒發(fā)獎金,求韓菲/陳宇組合獲得獎金數(shù)X的分布列. 【答案】(1) (2)28 (3)分布列見詳解 【解析】 【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合對立事件的概率求法運算; (2)根據(jù)題意可得有四則可能,再結(jié)合組合數(shù)運算求解; (3)根據(jù)題意分析可得獎金數(shù)X的可能取值,結(jié)合(2)求相應的概率,即可得結(jié)果. 【小問1詳解】 “比賽繼續(xù)進行且韓菲/陳宇組合贏得全部獎金”的對立事件為“黃政/孫藝組合
22、再連贏2場”, 故比賽繼續(xù)進行且韓菲/陳宇組合贏得全部獎金的概率. 【小問2詳解】 設(shè)5場比賽中韓菲/陳宇組合贏場、黃政/孫藝組合贏場,用表示比賽結(jié)果, 若比賽進行了5場時終止(含自然終止與意外終止),則有:, 故共有種不同的情況. 【小問3詳解】 若韓菲/陳宇組合贏1場、黃政/孫藝組合贏4場,則韓菲/陳宇組合獲得獎金數(shù)為0元; 若韓菲/陳宇組合贏2場、黃政/孫藝組合贏3場,則韓菲/陳宇組合需再連贏2場,其概率為,故韓菲/陳宇組合獲得獎金數(shù)為元; 若韓菲/陳宇組合贏3場、黃政/孫藝組合贏2場,則韓菲/陳宇組合需再贏1場,其概率為,故韓菲/陳宇組合獲得獎金數(shù)為元; 若韓菲/陳
23、宇組合贏4場、黃政/孫藝組合贏1場,則韓菲/陳宇組合獲得獎金數(shù)為10000元; 即獎金數(shù)X的可能取值有,則有 , 故獎金數(shù)X的分布列為: 0 2500 7500 10000 21. 以橢圓的中心O為圓心,以為半徑的圓稱為該橢圓的“伴隨”.已知橢圓的離心率為,且過點. (1)求橢圓C及其“伴隨”的方程; (2)過點作“伴隨”的切線l交橢圓C于A,B兩點,記為坐標原點)的面積為,將表示為m的函數(shù),并求的最大值. 【答案】(1),;(2),,的最大值為1. 【解析】 【分析】(1)由橢圓C的離心率,結(jié)合的關(guān)系,得到,設(shè)出橢圓方程,代入點,即可得到
24、橢圓方程和“伴隨”的方程; (2)設(shè)切線的方程為,聯(lián)立橢圓方程,消去y得到x的二次方程,運用韋達定理和弦長公式,即可得到AB的長,由l與圓相切,得到的關(guān)系式,求出 的面積,運用基本不等式,即可得到最大值. 【詳解】(1)橢圓的離心率為,可得,即 又由,可得, 設(shè)橢圓C的方程為, 因為橢圓C過點,代入可得, 解得,所以橢圓C的標準方程為, 又由,即“伴隨圓”是以原點為圓心,半徑為1的圓, 所以橢圓C的“伴隨”方程為. (2)由題意知,, 易知切線的斜率存在,設(shè)切線的方程為, 由得, 設(shè)A,B兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2), 則,. 又由l與圓x2+y2
25、=1相切,所以,k2=m2-1. 所以=, 則,, 可得(當且僅當時取等號), 所以當時,S△AOB的最大值為1. 【點睛】本題考查橢圓的方程和性質(zhì),考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程,消去未知數(shù),運用韋達定理和弦長公式的運用,考查直線與圓相切的條件,考查運算能力,屬于中檔題. 22. 已知函數(shù),. (1)討論函數(shù)的單調(diào)性; (2)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍. 【答案】(1)答案見解析 (2) 【解析】 【分析】(1)求導,對a進行討論,利用導函數(shù)的正負即可求出的單調(diào)性; (2)方法一:將問題轉(zhuǎn)化為恒成立,令,求導利用導函數(shù)的正負和零點存在定理,分析其單調(diào)性,根據(jù)隱零點的的關(guān)
26、系求出最小值,轉(zhuǎn)化為,再次換元,令,求導分析單調(diào)性并得到最值,即可求出a;方法二:利用將問題轉(zhuǎn)化為恒成立,換元后得到新的函數(shù),求導分析其單調(diào)性,并對a進行討論,即可求解; 【小問1詳解】 解:的定義域為,, 當時,恒成立,所以在上單調(diào)遞減; 當時,令解得,所以在上單調(diào)遞增; 令解得,所以在上單調(diào)遞減, 綜上所述:當時,在上單調(diào)遞減; 當時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減; 【小問2詳解】 已知在恒成立,化簡得 法一:令,定義域為, 則, ①當時,恒成立,則單調(diào)遞增,的值域為R,不符合題意; ②當時,,也不符合題意; ③當時,令,則恒成立, 所以在上單調(diào)遞增. 當時,
27、,又, 根據(jù)零點存在定理以及函數(shù)的單調(diào)性可知,有,即有唯一解, 有,此時; 當時,,又, 根據(jù)零點存在定理以及函數(shù)的單調(diào)性可知,有,即有唯一解, 有,此時. 綜上所述,對,都有唯一解,有,此時. 又當時,,即,所以在上單調(diào)遞減; 當時,,即,所以在上單調(diào)遞增. 所以, 故只需. 令,上式即轉(zhuǎn)化為,設(shè),則. 當時,,所以在上單調(diào)遞增; 當時,,所以在上單調(diào)遞減. 所以,當時,有最大值,所以, 所以. 又,所以,所以. 由,解得. 綜上所述. 法二:恒成立, 令,故在上單調(diào)遞增, 所以,問題轉(zhuǎn)化為在恒成立, 設(shè),
28、 當時,恒成立,在上單調(diào)遞增,又, 所以時,,不符合題意; 當時,在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增, 所以, 當時,都有均不符合題意, 當時,,此時在恒成立, 綜上所述: 【點睛】方法點睛:主要考向有以下幾點: 1、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間(含參數(shù))或判斷函數(shù)(含參數(shù))的單調(diào)性; 2、求函數(shù)在某點處的切線方程,或知道切線方程求參數(shù); 3、求函數(shù)的極值(最值); 4、求函數(shù)的零點(零點個數(shù)),或知道零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍; 5、證明不等式; 解決方法:對函數(shù)進行求導,結(jié)合函數(shù)導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)解決,在證明不等式或求參數(shù)取值范圍時,通常會對函數(shù)進行參變分離,構(gòu)造新函數(shù),對新函數(shù)求導再結(jié)合導數(shù)與單調(diào)性等解決.
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