2022-2023學(xué)年福建省永春市高一數(shù)學(xué)下學(xué)期月考試卷【含答案】
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1、2022-2023學(xué)年福建省永春市高一數(shù)學(xué)下學(xué)期月考試卷 高一數(shù)學(xué) (考試時(shí)間:120分鐘 試卷滿分:150分) 注意事項(xiàng): 1.本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。 2.回答第Ⅰ卷時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。 3.回答第Ⅱ卷時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。 第Ⅰ卷 一、單選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合要求的。 1. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則下列說(shuō)法
2、正確的是(????) A. 的虛部為 B. C. 為純虛數(shù) D. 在復(fù)平面內(nèi),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 2.如圖,一個(gè)水平放置的三角形的斜二測(cè)直觀圖是等腰直角三角形,若,那么原三角形的周長(zhǎng)是(????) A. B. C. D. 3.已知向量,則“與的夾角為銳角”是“”的(????) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 4.若用平行于某圓錐底的平面去截該圓錐,得到的小圓錐與圓臺(tái)的母線長(zhǎng)相等,則該小圓錐與該圓臺(tái)的側(cè)面積的比值為(????) A. B. C. D. 5.設(shè)表示平面,表示直線,表示三個(gè)不同的點(diǎn),給出下列命題: ①若,
3、則; ②若表示不同的平面,,則; ③若,則 ④若,則與重合. 其中,正確的有(????) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶左《數(shù)書(shū)九章》中記述了了“一斜求積術(shù)”,用現(xiàn)代式子表示即為:在中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則的面積,根據(jù)此公式,若,且,則的面積為(????) A.B.C. D. 7.已知正四面體的外接球表面積為,則正四面體的體積為(????) A. B. C. D. 8.如圖,直角梯形 中,已知,,動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),且,則的最小值是(???) A.3 B. C.4 D. 二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5
4、分,共20分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目的要求,全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分。 9.下列有關(guān)復(fù)數(shù)的敘述正確的是(????) A.若,則 B.若,則的虛部為 C.若,則可能為純虛數(shù) D.若,則??. 10.已知,,若,則(????) A. B. C. D. 11.在中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知,則下列說(shuō)法正確的是(????) A.若,則 B.若,則是直角三角形 C.若是等腰三角形,則 D.若,則的面積最大值為3 12.如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體中,M,N,P分別是,,的中點(diǎn),Q是線段上的動(dòng)點(diǎn),則(????) A.存在
5、點(diǎn)Q,使B,N,P,Q四點(diǎn)共面 B.存在點(diǎn)Q,使PQ∥平面MBN C.經(jīng)過(guò)C,M,B,N四點(diǎn)的球的表面積為 D.過(guò)Q,M,N三點(diǎn)的平面截正方體 所得截面圖形不可能是五邊形 第Ⅱ卷 三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。 13.已知為銳角,且,則的值為_(kāi)________. 14.如圖,一個(gè)底面半徑為的圓柱形量杯中裝有適量的水,若放入一個(gè)半徑為的實(shí)心鐵球,水面高度恰好升高,則____________. 15. 已知是內(nèi)部一點(diǎn),且滿足,又,,則的面積為_(kāi)_______. 16. 8. 如圖,在正方體中,,,分別是,的中點(diǎn),點(diǎn)在四邊形的邊及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng),則當(dāng)點(diǎn)
6、滿足??????????時(shí),有平面. 四、解答題:本題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。 17.已知向量,,. (1)當(dāng)時(shí),求向量的坐標(biāo); (2)設(shè)函數(shù),將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象,當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最小值. 18.已知的角,,的對(duì)邊分別為,,,設(shè)向量,,. (1)若,求證:為等腰三角形; (2)若,邊長(zhǎng),角,求的面積. 19.如圖所示,在正方體中,為中點(diǎn). (1)求證:平面; (2)若正方體棱長(zhǎng)為2,求三棱錐的體積. 20.在中,角A,B,C的
7、對(duì)邊分別是a,b,c,且. (1)求角B的大??; (2)若,D為AC邊上的一點(diǎn),,且______,求的面積. ①BD是的平分線;②D為線段AC的中點(diǎn).(從①,②兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面的橫線上并作答). 21.如圖:正方體ABCD-A1B1C1D1棱長(zhǎng)為2,E,F(xiàn)分別為DD1,BB1的中點(diǎn). (1)求證:CF//平面A1EC1; (2)過(guò)點(diǎn)D在答題卡上作正方體截面使其與平面A1EC1平行,請(qǐng)給以證明并求出該截面的面積. 22.如圖,某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東30°相距海里的B處有一艘走私船,正沿東偏南45°的方向以3海里小時(shí)
8、的速度向我海岸行駛,巡邏艇立即以海里小時(shí)的速度沿著正東方向直線追去,1小時(shí)后,巡邏艇到達(dá)C處,走私船到達(dá)D處,此時(shí)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇,立即改變航向,以原速向正東方向逃竄,巡邏艇立即加速以海里小時(shí)的速度沿著直線追擊 (1)當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí),兩船相距多少海里 (2)問(wèn)巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追,才能最快追上走私船 草稿紙 參考答案: 1.B 【詳解】:因?yàn)椋? 所以的虛部為,故A錯(cuò)誤; ,故B正確; 不是純虛數(shù),故C錯(cuò)誤; 在復(fù)平面內(nèi),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限,故D錯(cuò)誤. 故選B. 2.D 【分析】由斜二測(cè)畫(huà)法原理將直觀圖轉(zhuǎn)化為原圖,根據(jù)原圖運(yùn)算求解
9、即可. 【詳解】由題意可得:, 由直觀圖可得原圖,如圖所示,可知:, 可得, 所以原三角形的周長(zhǎng). 故選:D. 3.A 【分析】求出與的夾角為銳角時(shí)的充要條件是且,從而判斷出答案. 【詳解】因?yàn)榕c的夾角為銳角,則且與不共線. 時(shí),, 當(dāng)時(shí), 則與不共線時(shí),, 所以與的夾角為銳角的充要條件是且, 顯然且是的真子集, 即“與的夾角為銳角”是“”的充分不必要條件,A正確. 故選:A 4.C 【分析】設(shè)該圓錐的底面半徑為,母線長(zhǎng)為,利用圓錐側(cè)面的面積公式:即可求解. 【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑為,母線長(zhǎng)為, 則該圓錐的側(cè)面積, 截得的小圓錐的底面半徑為,母線
10、長(zhǎng)為,其側(cè)面積, 而圓臺(tái)的側(cè)面積. 故兩者側(cè)面積的比值. 故選:C 5.B 【分析】由平面的基本性質(zhì)的公理1可判斷①;由公理2判斷②;由線面的位置關(guān)系可判斷③;由平面基本性質(zhì)的公理3可判斷④. 【詳解】,表示兩個(gè)平面,表示直線,,,表示三個(gè)不同的點(diǎn), ①若,,,,則,由平面的基本性質(zhì)的公理1,可得①正確; ②,不重合,若,,,,則,由平面的基本性質(zhì)的公理2,可得②正確; ③若,,則或,可得③不正確; ④若,,,,,,如果,,不共線,則與重合,如果3點(diǎn)共線,則與可以相交.由平面的基本性質(zhì)的公理3,可得④不正確. 其中正確的個(gè)數(shù)為2, 故選:B 6.B 【分析】由已知結(jié)
11、合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn),求得,再結(jié)合已知及余弦定理,求得的值,代入已知公式,即可求解. 【詳解】由題意,因?yàn)?,所以? 即, 又由,所以, 由因?yàn)?,所以,所以,即? 因?yàn)椋? 由余弦定理可得,解得, 則的面積為. 故選:B. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和兩角和與差的正弦函數(shù)公式的化簡(jiǎn)求值的綜合應(yīng)用,意在考查推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題. 7.C 【分析】本題考查棱錐的外接球,球的表面積,棱錐體積,棱錐與棱柱的結(jié)構(gòu)特征,屬于中檔題.將正四面體補(bǔ)全為正方體,利用正四面體的外接球與正方體外接球相同,求出正方體的邊長(zhǎng),進(jìn)而求出正四面體的體積. 【詳解】解:設(shè)外
12、接球半徑為, 由,解得, 將正四面體補(bǔ)成正方體,知正四面體的棱為正方體的面對(duì)角線, 正四面體的外接球即為正方體的外接球, 正方體的體對(duì)角線等于外接球的直徑, 設(shè)正方體棱長(zhǎng)為,則,解得 該正四面體的體積為正方體的體積減去個(gè)三棱錐的體積, 所以. 故選C. ?? 8.C 【分析】設(shè),可以用表示和,從而得到與的關(guān)系,再利用均值不等式求解. 【詳解】設(shè) 因?yàn)? 所以 所以,所以 當(dāng)且僅當(dāng),即取等,此時(shí),與重合,符合題意. 故選:C. 【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是利用平面向量基本定理找到與的關(guān)系,從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為均值不等式問(wèn)題. 9.AD 【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)
13、數(shù)的概念、復(fù)數(shù)模的幾何意義判斷各選項(xiàng). 【詳解】,所以,A正確; ,虛部是,B錯(cuò)誤; ,若,則是實(shí)數(shù),若,則是虛數(shù),不是純虛數(shù),C錯(cuò)誤; ,則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心,1為半徑的圓上,這個(gè)圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小值為0,最大值為2,所以,D正確. 故選:AD. 10.ACD 【分析】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,可得出的值,根據(jù)二倍角公式及兩角和的正切即可判斷各選項(xiàng). 【詳解】 所以 , 故A正確; , , ,故B錯(cuò)誤;,故C正確; , ,故D正確; 故選:ACD. 11.BCD 【分析】根據(jù)余弦定理和正弦定理及三角形面積公式分別判斷A,B,C,D選項(xiàng)即可.
14、【詳解】由正弦定理及可得.對(duì)于A,根據(jù)余弦定理得,所以,故A錯(cuò)誤; 對(duì)于B,若,則,又, 所以,而,所以,即,故B正確; 對(duì)于C,若是等腰三角形,只可能是(若,則,不能構(gòu)成三角形), 則,由余弦定理可得,所以,故C正確; 對(duì)于D,由余弦定理可得,所以, 所以,當(dāng)時(shí),取最大值3,故D正確. 故選:BCD. 12.ABD 【分析】作出過(guò)B,N,P的截面判斷選項(xiàng)A;取中點(diǎn)為Q,證明其滿足選項(xiàng)B;過(guò)MN與底面平行的平面截正方體得出的下半部分為長(zhǎng)方體,其外接球也是過(guò)C,M,B,N四點(diǎn)的球,由此求得球半徑,得表面積,判斷選項(xiàng)C;當(dāng)Q在運(yùn)動(dòng)時(shí),確定截面的形狀,判斷選項(xiàng)D. 【詳解】A.連
15、接,,,正方體中易知, 又有分別是,中點(diǎn),則,所以,即四點(diǎn)共面,所以當(dāng)Q與重合時(shí)滿足B,N,P,Q四點(diǎn)共面,故選項(xiàng)A正確; B.如圖,取中點(diǎn)為Q,連接PQ,QM,, 因?yàn)榉謩e,中點(diǎn),則與平行且相等,故四邊形是平行四邊形,所以,又是中點(diǎn),所以,所以, 平面BMN,平面BMN,所以PQ∥平面BMN.故選項(xiàng)B正確; 選項(xiàng)C, 取中點(diǎn)U,中點(diǎn)V,連接MV,MU,NV,NU,則多面體MUNV-ABCD是正四棱柱(也是長(zhǎng)方體),它的外接球就是過(guò)B,C,M,N四點(diǎn)的球,所以球直徑為,半徑,表面積為.故選項(xiàng)C錯(cuò). 選項(xiàng)D,正方體中,M,N分別是,中點(diǎn),則, Q在線段(除端點(diǎn)外)上,
16、如圖,作交于E,連接EN,延長(zhǎng)交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,連接QM延長(zhǎng)交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)T,連接TK交AB于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)F,多邊形QENFGM為所過(guò)M,N,Q三點(diǎn)的截面, 由正方體的對(duì)稱(chēng)性可知梯形QENM與梯形FGMN全等,則截面為六邊形. 當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),點(diǎn)與點(diǎn)重合,此時(shí)截面為四邊形(菱形). 當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),點(diǎn)與點(diǎn)重合,此時(shí)截面為四邊形(矩形). 綜上,過(guò)Q,M,N三點(diǎn)的平面截正方體所得截面圖形不可能是五邊形. 故選項(xiàng)D正確; 故選:ABD. 【點(diǎn)睛】三棱錐外接球點(diǎn)睛: 求三棱錐外接球時(shí),常見(jiàn)方法有兩種:一種是直接法,一種是補(bǔ)形. 解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形,看能否把三棱錐補(bǔ)形成一
17、個(gè)正方體(長(zhǎng)方體),若能,則正方體(長(zhǎng)方體)的頂點(diǎn)均在球面上,正方體(長(zhǎng)方體)的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.另一種是直接法,三棱錐任意兩個(gè)面過(guò)外心的垂線的交點(diǎn)即為三棱錐外接球的球心. 13. 【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果. 【詳解】因?yàn)闉殇J角,且,則, 因此,. 故答案為:. 14. 【詳解】試題分析:由題可知,小球的體積等于水面上升的的體積,因此有,化簡(jiǎn)可得,; 考點(diǎn):簡(jiǎn)單幾何體的體積公式 15. 【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積定義和三角形面積公式可求得,由已知關(guān)系式可知為的重心,由此可得. 【詳解】,, ; ,是的重心,. 故答案為:.
18、 16.線段D. 【分析】本題考查線面平行的條件的判斷,考查面面平行的判定與性質(zhì),屬于中檔題. 先通過(guò)面面平行的判定定理得到平面平面,從而求出滿足條件線段時(shí),有平面. 【詳解】解:在正方體中,,,分別是,,的中點(diǎn), 點(diǎn)在四邊形的邊及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng). ,,所以, 平面,平面, 所以平面, 同理可得平面, ,,平面, 平面平面, 滿足條件線段時(shí),有平面. 故答案為:線段D. 17.(1);(2). 【分析】(1)代入數(shù)據(jù)即可求解; (2)先根據(jù)二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù),再得到函數(shù)的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案. 【詳解】解:(1)當(dāng)時(shí),,, ∴; (
19、2)∵,, ∴, ∵函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象, ∴, ∵,∴,∴,∴, ∴的最小值為. 【點(diǎn)睛】本題主要考查向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示,考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題. 18.(1)證明見(jiàn)解析 (2) 【分析】(1)根據(jù),利用向量平行的坐標(biāo)表示,再由正弦定理將角化邊,即可證明; (2)根據(jù)向量垂直的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得,再根據(jù)余弦定理,兩式聯(lián)立可直接求得,并求得三角形的面積. 【詳解】(1)因?yàn)椋遥? 所以,由正弦定理可得, 即,顯然,所以,所以是等腰三角形. (2)因?yàn)?,且? 所以,整理得, 根據(jù)余弦定理可得, 即, 即,所以
20、解得(舍)或 , 所以, 所以的面積是. 19.(1)證明見(jiàn)解析 (2) 【分析】(1)連接交于,由中位線得,即可證平面; (2),代入數(shù)據(jù)運(yùn)算即可. 【詳解】(1)證明:連接交于,連接, 則是的中點(diǎn),又為中點(diǎn),所以, 又平面,平面,所以平面; (2). 20.(1) (2) 【分析】(1)利用正弦定理化簡(jiǎn),再根據(jù)三角形中角的范圍可求得; (2)若選①:利用三角形面積關(guān)系和余弦定理求得,然后根據(jù)面積公式即可;若選②:根據(jù)中點(diǎn)的向量關(guān)系式并同時(shí)平方,結(jié)合余弦定理求得,然后根據(jù)面積公式即可. 【詳解】(1)由正弦定理知: 又: 代入上式可得: ,則
21、 故有: 又,則 故的大小為: (2)若選①: 由BD平分得: 則有:,即 在中,由余弦定理可得: 又,則有: 聯(lián)立 可得: 解得:(舍去) 故 若選②: 可得:, ,可得: 在中,由余弦定理可得:,即 聯(lián)立 解得: 故 21.(1)證明見(jiàn)解析 (2)證明見(jiàn)解析, 【分析】(1)利用線面平行判定定理去證明CF//平面A1EC1; (2)先利用面面平行判定定理作出截面,再去求其面積即可. 【詳解】(1)取中點(diǎn)M,連接 由,可得四邊形為平行四邊形,則 由,可得四邊形為平行四邊形,則 則,又平面,平面,則平面; (2)取AA1,CC1
22、中點(diǎn)G,H,連接DG,CB1,B1H,HD, 因?yàn)樗倪呅蜛DHF為平行四邊形,所以AF//DH 因?yàn)樗倪呅蜛FB1G為平行四邊形,所以GB1//AF,所以GB1//DH 所以GDHB1即為過(guò)點(diǎn)D長(zhǎng)方體截面, ∵DG//A1E,平面AEC1,平面AEC1,∴DG//平面AEC1 ∵DH// C1E,平面AEC1,平面AEC1,∴DH//平面AEC1 又∵,∴平面DHB1G//平面AEC1. 22.(1)兩船相距海里. (2)巡邏艇應(yīng)該北偏東方向去追,才能最快追上走私船. 【分析】(1)在中,解三角形得,, 在中,由余弦定理求得. (2)在中,解三角形得,,得到,在中,由正弦定理求得,結(jié)合圖形知巡邏艇的追趕方向. 【詳解】(1)由題意知,當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí),走私船在D處,巡邏艇在C處,此時(shí), 由題意知 在中, 由余弦定理得 所以 在中, 由正弦定理得,即 所以(舍去) 所在 又 在中, 由余弦定理得 , 故當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí),兩船相距海里. (2)當(dāng)巡邏艇經(jīng)過(guò)小時(shí)經(jīng)方向在處追上走私船, 則 在中,由正弦定理得: 則 所以, 在中,由正弦定理得: 則,故 (舍) 故巡邏艇應(yīng)該北偏東方向去追,才能最快追上走私船.
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