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1、第五章 地球橢球 與測量計算 中國礦業(yè)大學(xué)環(huán)境與測繪學(xué)院 應(yīng)用大地測量學(xué) 本章解決的主要問題 1、基礎(chǔ)知識 橢球的幾何特征；地球 橢球及其定位；橢球面 上的弧長計算。 2、地面觀測元素化算 至橢球面 3、橢球面上大地坐標 的計算問題 1 2 3 4 5 A1 N A2 S (B1,L1) 平面坐標計算 球面坐標計算 (x1,y1) 第五章 地球橢球及橢球面上的計算 第一節(jié) 地球橢球及其定位（基礎(chǔ)） 第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑（基礎(chǔ)） 第三節(jié) 橢球面上弧長計算（基礎(chǔ)） 第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面（重點） 第五節(jié) 橢球面上大地問題解算（重點） 第五章 地球橢球及橢球面上的計算 第一節(jié) 地球
2、橢球及其定位（基礎(chǔ)） 第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑（基礎(chǔ)） 第三節(jié) 橢球面上弧長計算（基礎(chǔ)） 第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面（重點） 第五節(jié) 橢球面上大地問題解算（重點） 5.1 地球橢球及其定位 應(yīng)用大地測量學(xué) 測量的外業(yè)工作主要是在地球表面進行的 ， 或者說 主要是對地球表面進行觀測的 ， 由于地球表面不是一個 規(guī)則的數(shù)學(xué)曲面 ， 在其上面無法進行嚴密的測量計算 。 因此 ， 需要尋求一個大小和形狀最接近于地球的規(guī)則形 體 地球橢球 ， 在其表面完成測量計算工作 。 用橢球 來表示地球必須解決 2個問題： 一是橢球 參數(shù) 的選擇 (橢球的大小和形狀 )； 二是確定橢球與地球的相關(guān)位置 ，
3、 即橢球的 定位 (橢球 與大地水準面包圍的大地體應(yīng)當最密合 )。 5.1 地球橢球及其定位 應(yīng)用大地測量學(xué) 具有一定幾何參數(shù) ， 經(jīng)過定位 ， 在 全球范圍內(nèi) 與大 地體最為接近 、 密合最好的橢球稱為 地球橢球 。 在 某一地區(qū) 與大地水準面密合最好的橢球 ， 稱為 參 考橢球 。 5.1 地球橢球及其定位 應(yīng)用大地測量學(xué) 5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系 5.1.2 垂線偏差及其基本公式 5.1.3 橢球定位 5.1 地球橢球及其定位 應(yīng)用大地測量學(xué) 5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系 5.1.2 垂線偏差及其基本公式 5.1.3 橢球定位 5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系 應(yīng)用大地
4、測量學(xué) 應(yīng)用大地測量學(xué) 偏心距： 第一偏心率： （ 5-1） 第二偏心率： 扁率： （ 5-2） 橢球長半徑 a， 短半徑 b 5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系 22 ba 應(yīng)用大地測量學(xué) a、 b、 e、 e之間的關(guān)系： （ 5-3） （ 5-4） （ 5-5） 5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系 2 2 1 1 eba eab 2 2 1 1 eee eee 22 2 ffe 應(yīng)用大地測量學(xué) 克拉索夫斯基橢球 1980國家大地坐標系 WGS-84 a 6378245 6378140 6378137 b 6356863.01877 6356755.28816 6356752.3142 e2
5、 0.00669342162297 0.00669438499959 0.00669437999013 e2 0.0067385254468 0.00673950181947 0.00673949674227 f 1:298.3 1:298.257 1:298.257223563 幾種橢球幾何參數(shù) 5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系 5.1 地球橢球及其定位 應(yīng)用大地測量學(xué) 5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系 5.1.2 垂線偏差及其基本公式 5.1.3 橢球定位 5.1.2 垂線偏差及其基本公式 應(yīng)用大地測量學(xué) 垂線偏差 地面一點上，鉛垂線方向和相應(yīng)的橢球面法 線方向之間的夾角 u 。 垂線
6、偏差 u的分量 子午圈分量 和卯酉圈分量 計算公式： （ 5-7） （ 5-8） c o s)( L B s e cL B 5.1.2 垂線偏差及其基本公式 應(yīng)用大地測量學(xué) 天文方位角與大地方位角之間的關(guān)系式： （ 5-14） （ 5-15） 以上公式稱為 拉普拉斯方程式 。 s in)( LA t a nA 5.1.2 垂線偏差及其基本公式 應(yīng)用大地測量學(xué) 橢球短軸與地球某一固定歷元的地軸不平行，起始大 地子午面和起始天文子午面也不平行，將產(chǎn)生 歐拉角 ，設(shè) 為 。此時垂線偏差公式（ 5-8）及拉普拉斯方 程式（ 5-15）擴展為： （ 5-16） 上式稱為廣義垂線偏差和拉普拉斯方程。 ZY
7、X , Z Y X A L 0s e cs i ns e cc o s 1t a ns i nc o s 0c o ss i n t a n s e c B 5.1 地球橢球及其定位 應(yīng)用大地測量學(xué) 5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系 5.1.2 垂線偏差及其基本公式 5.1.3 橢球定位 5.1.3 橢球定位 應(yīng)用大地測量學(xué) 橢球定位 將一定參數(shù)的橢球與大地體的相關(guān)位置 固定下來 ， 確定測量計算基準面的具體位置和大地測量起 算數(shù)據(jù) 。 包括：定位和定向兩方面 。 定位是指確定橢球中心的 位置 ， 定向是指確定該橢球坐標軸的指向 。 從數(shù)學(xué)上講就 是要確定三個平移參數(shù) 和三個旋轉(zhuǎn)角 度 。
8、橢球定位三個條件： （ 1） 橢球短軸與某一指定歷元的地球橢球自轉(zhuǎn)軸平行； （ 2） 起始大地子午面與起始天文子午面相平行； （ 3） 在一定區(qū)域范圍內(nèi) ， 橢球面與大地水準面 （ 或似大 地水準面 ） 最為密合 。 ),( 000 ZYX ),( ZYX 5.1.3 橢球定位 應(yīng)用大地測量學(xué) 橢球定位通過大地原點的天文觀測實現(xiàn) 。 對于大地原點： B0= 0- 0 L0= 0- 0sec 0 A0= 0- 0tan 0 H0= H0常 + 0 初期定位時 ， 0， 0， 0未知 ， 可取為 0。 稱為 一點定位 。 根據(jù)大地測量和天文測量數(shù)據(jù) ， 在 條件下 ， 求 出原點的 0， 0， 0
9、值 。 稱為 多點定位 。 第五章 地球橢球及橢球面上的計算 第一節(jié) 地球橢球及其定位（基礎(chǔ)） 第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑（基礎(chǔ)） 第三節(jié) 橢球面上弧長計算（基礎(chǔ)） 第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面（重點） 第五節(jié) 橢球面上大地問題解算（重點） 第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑 應(yīng)用大地測量學(xué) 基本概念 法截面 包含曲面一點法線的平面。 法截線 法截面與曲面的截線。 斜截線 不包含法線的平面與橢球面的截線。 子午圈 包含短軸的平面與橢球面的交線。 卯酉圈 與橢球面上一點子午圈相垂直的法截線，為該 點的卯酉圈。 平行圈 垂直于短軸的平面與橢球面的交線。 應(yīng)用大地測量學(xué) 5.2.1 卯酉圈曲率半徑
10、 5.2.2 子午圈曲率半徑 5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑 5.2.4 平均曲率半徑 5.2.5 曲率半徑的數(shù)值計算公式 5.2 橢球面上法截線曲率半徑 應(yīng)用大地測量學(xué) 5.2.1 卯酉圈曲率半徑 5.2.2 子午圈曲率半徑 5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑 5.2.4 平均曲率半徑 5.2.5 曲率半徑的數(shù)值計算公式 5.2 橢球面上法截線曲率半徑 5.2.1 卯酉圈曲率半徑 應(yīng)用大地測量學(xué) T W y C P P E E G Q Q O V O U KK N s s B B B+90 N = b x r x r r a 應(yīng)用大地測量學(xué) BNr c o s 5.2.1 卯酉圈曲率
11、半徑 微分幾何中麥尼厄定理： （ 5-19） （ 5-26） （ 5-23） W又稱第一基本緯度函數(shù)， V稱為第二基本維度函數(shù)。 V c W aN 222 22 1c o s1 s in1 BeV BeW 應(yīng)用大地測量學(xué) 5.2.1 卯酉圈曲率半徑 5.2.2 子午圈曲率半徑 5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑 5.2.4 平均曲率半徑 5.2.5 曲率半徑的數(shù)值計算公式 5.2 橢球面上法截線曲率半徑 5.2.2 子午圈曲率半徑 應(yīng)用大地測量學(xué) - dx drE D C K B B M M dB 33 2 )1( V c W eaM （ 5-30） 5.2.2 子午圈曲率半徑 應(yīng)用大地測量
12、學(xué) 表 M、 N隨 B變化的規(guī)律 B N M 說明 B=0 N0=a M0= a(1-e2) 在赤道上， N為赤 道半徑 a， M小于 赤道半徑 a 0 B90 aNc a(1-e2)M R M 22 21 V c W eaR MNR 應(yīng)用大地測量學(xué) 5.2.1 卯酉圈曲率半徑 5.2.2 子午圈曲率半徑 5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑 5.2.4 平均曲率半徑 5.2.5 曲率半徑的數(shù)值計算公式 5.2 橢球面上法截線曲率半徑 5.2.5 曲率半徑的數(shù)值計算公式 應(yīng)用大地測量學(xué) 將 N、 M、 R的計算 公式（ 5-26）、（ 5-30）、 （ 5-36）展開成微小參數(shù)的冪級數(shù)，取其前
13、幾項 數(shù)值。 克拉索夫斯基橢球參數(shù)代入得到（ 5-38）。 1975年國際橢球參數(shù)代入得到（ 5-39）。 第五章 地球橢球及橢球面上的計算 第一節(jié) 地球橢球及其定位（基礎(chǔ)） 第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑（基礎(chǔ)） 第三節(jié) 橢球面上弧長計算（基礎(chǔ)） 第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面（重點） 第五節(jié) 橢球面上大地問題解算（重點） 應(yīng)用大地測量學(xué) （用于高斯投影計算，橢球面上大地問題解算） 5.3.1 子午圈弧長計算 5.3.2 平行圈弧長計算 5.3 橢球面上弧長計算 應(yīng)用大地測量學(xué) 5.3.1 子午圈弧長計算 5.3.2 平行圈弧長計算 5.3 橢球面上弧長計算 應(yīng)用大地測量學(xué) 1、計算 B=0
14、到 B的子午圈弧長 X 由 M=dX/dB（ 5-27）得： 將（ 5-37） 代入上式，從 0到 B積分，可得 X?？芍?X是 B的函數(shù)。見 公式 (5-41)。 注意 ： 將不同的橢球參數(shù)代入得相應(yīng)的子午圈弧長計 算式。 5.3.1 子午圈弧長計算 應(yīng)用大地測量學(xué) 2、計算已知緯度 B1和 B2之間的子午圈弧長 X （ 1）分別計算 0到 B1和 0到 B2之間的子午圈弧長 X1和 X2， 然后求 X=X2-X1； （ 2）用上述積分式求 B1 B2之間的子午圈弧長 X。 5.3.1 子午圈弧長計算 應(yīng)用大地測量學(xué) 5.3.1 子午圈弧長計算 5.3.2 平行圈弧長計算 5.3 橢球面上
15、弧長計算 5.3.2 平行圈弧長計算 應(yīng)用大地測量學(xué) 平行圈是一個半徑等于 r=NCOSB的圓，緯度 B處經(jīng)度 L1 L2之間的平行圈弧長 經(jīng)度差相同，緯度不同的平行圈，弧長不同。緯度越 高，單位經(jīng)度差點平行圈弧長越短。 用于計算中、小比例尺地形圖中兩條子午圈和兩條平 行圈所包圍的橢球面面積。 第五章 地球橢球及橢球面上的計算 第一節(jié) 地球橢球及其定位（基礎(chǔ)） 第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑（基礎(chǔ)） 第三節(jié) 橢球面上弧長計算（基礎(chǔ)） 第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面（重點） 第五節(jié) 橢球面上大地問題解算（重點） 應(yīng)用大地測量學(xué) 5.4.1 相對法截線 5.4.2 大地線及其特征 5.4.3 大地
16、線微分方程和克萊勞方程 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面 5.4.5 地面觀測距離歸算至橢球面 5.4.6 橢球面上的三角形解算 5.4 地面觀測值歸算至橢球面 應(yīng)用大地測量學(xué) 5.4.1 相對法截線 5.4.2 大地線及其特征 5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面 5.4.5 地面觀測距離歸算至橢球面 5.4.6 橢球面上的三角形解算 5.4 地面觀測值歸算至橢球面 5.4.1 相對法截線 應(yīng)用大地測量學(xué) CK=NsinB， （ 5-22）代入（ 5-21）得： 所以： （ 5-43） 上式說點的緯度不同，其法線與短軸的交點到橢球中心 之間的距離不
17、等，緯度越高，交點到橢球中心的距離越長。 T W y C P P E E G Q Q O V O U KK N s s B B B+90 N = b x r x r r a BeNyOC s in)1( 2 BNeBeNBNOK s i ns i n)1(s i n 22 5.4.1 相對法截線 應(yīng)用大地測量學(xué) 設(shè) Q1和 Q2兩點既不在同一平行圈上，也不在同一子午 圈上，它們的法線 Q1n1和 Q2n2不相交。法截線 Q1m1Q2和 Q2m2Q1稱為兩點間的 相對法截線。 正法截線 與 反法截線。一般不重合。 應(yīng)用大地測量學(xué) 正反法截線之間的夾角近似公式： 令 Bm=45 ， A=45 ，不
18、同距離 S求得的值為： S 100km 0.042 60km 0.015 30km 0.004 在長距離的測量中 ， 對向觀測所得 3個內(nèi)角不能組成 閉合三角形 ， 需在兩點間選擇一條單一曲線 大地線 。 5.4.1 相對法截線 應(yīng)用大地測量學(xué) 5.4.1 相對法截線 5.4.2 大地線及其特征 5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面 5.4.5 地面觀測距離歸算至橢球面 5.4.6 橢球面上的三角形解算 5.4 地面觀測值歸算至橢球面 5.4.2 大地線及其特征 應(yīng)用大地測量學(xué) 1、 大地線 曲面上兩點間的最短曲線。（或：大地線 是曲面上的一條曲線，該曲
19、線上每一點處的密切平面都包 含曲面在該點的法線。 K dd s s 2 21 1 P P P B A 線 法 曲面 切平面 密切平面 3 1 = B E L D K 5.4.2 大地線及其特征 應(yīng)用大地測量學(xué) 2、 大地線幾何特征 （ 1） 一般情況下 ， 曲面上的曲線并不是大地線 （ 如球面 上的小圓 ） 。 大地線相當于橢球面上兩點間的最短程曲線 。 （ 2） 大地線與相對法截線間的夾角為 = /3。 （ 3） 大地線與相對法截線間的長度之差甚微 ， 600km時二 者之差僅為 0.007mm。 （ 4） 兩點位于同一條子午圈上或赤道上 ， 則大地線與子 午圈 、 赤道重合 。 應(yīng)用大地測
20、量學(xué) 5.4.1 相對法截線 5.4.2 大地線及其特征 5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面 5.4.5 地面觀測距離歸算至橢球面 5.4.6 橢球面上的三角形解算 5.4 地面觀測值歸算至橢球面 5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程 應(yīng)用大地測量學(xué) 大地線的解析特性 表述 dB、 dL、 dA與 dS的關(guān)系： 大地線的三個微分方程： 2 1 - + cos = r r o 90 K M T N N N L L S P P P P B B B B d d d d d Ad AA A 應(yīng)用大地測量學(xué) 大地線的解析特性 表述 dB、 dL、 dA與 dS
21、的關(guān)系： 大地線的 克萊勞方程 ： rsinA=C（ C為常數(shù)） 對于橢球面上一大地 線而言，每點處平行圈 半徑與該點處大地線方 位角正弦的乘積是一個 常數(shù)（ 大地線常數(shù) ）。 克勞萊定理 5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程 應(yīng)用大地測量學(xué) 5.4.1 相對法截線 5.4.2 大地線及其特征 5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面 5.4.5 地面觀測距離歸算至橢球面 5.4.6 橢球面上的三角形解算 5.4 地面觀測值歸算至橢球面 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面 應(yīng)用大地測量學(xué) 將地面觀測方向歸算至橢球面上，包括三個基本內(nèi)容： （ 1）將測站點
22、鉛垂線為基準的地面觀測方向換算成橢球 面上以法線為基準的觀測方向。 （垂線偏差改正） （ 2）將照準點沿法線投影至橢球面，換算成橢球面上兩 點間的法截線方向。 （標高差改正） （ 3）將橢球面上的法截線方向換算成大地線方向。 （截 面差改正） 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面 應(yīng)用大地測量學(xué) 1、垂線偏差改正 1 將地面測站點鉛垂線為基準的觀測方向換算成橢球面 上以法線為準的觀測方向，其改正數(shù) 1 為： （ 5-51） 例： A=0 ， tan=0.01 ， =5 ，則 1=0.05 。 垂線偏差改正數(shù)的大小主要取決于測站點的垂線偏差 和觀測方向的天頂距（或垂直角）。僅在國家一、二等三 角
23、測量計算中，才規(guī)定加入此項改正。 t a n)c oss in( c ot)c oss in(1 AA zAA 應(yīng)用大地測量學(xué) 2、標高差改正 2 橢球上兩點不在同一子午面或同一平行圈上，過兩點多法線不 共面，照準點 B高出橢球面某一高度 H2，使得在 A點照準 B點的法截 線 Ab 與 Ab之間有一夾角 2 。 （ 5-52） B2 照準點的大地緯度； A1 測站點至照準點的大地方位角； H2 照準點高出橢球面的高程； M1 測站點子午圈曲率半徑。 例： A1=45 ， B2=45 ， H2=2000m， 1=0.1 局部地區(qū)的控制測量一般不必考慮此項改正。 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢
24、球面 應(yīng)用大地測量學(xué) 3、截面差改正 3 將橢球面上法截線方向換算為大地線方向 所加的為截面差改正數(shù) 3 。 例： A1=45 ， Bm=45 ， S=30km 3=0.001 截面差改正主要與測站點至照準點間的距 離有關(guān)。只有在國家一等三角測量計算中，才 進行改正。 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面 應(yīng)用大地測量學(xué) 5.4.1 相對法截線 5.4.2 大地線及其特征 5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面 5.4.5 地面觀測距離歸算至橢球面 5.4.6 橢球面上的三角形解算 5.4 地面觀測值歸算至橢球面 5.4.5 地面觀測距離歸算至橢球面 應(yīng)用
25、大地測量學(xué) 設(shè) A、 B兩點的大地高分別為 H1為 H2， h=H2-H1， d為空間直線長。 由三角形 AOB按余弦公式可得： 弦長 （ 5-55） （ 4-28）（ 4-31） 弧長 應(yīng)用大地測量學(xué) 5.4.1 相對法截線 5.4.2 大地線及其特征 5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面 5.4.5 地面觀測距離歸算至橢球面 5.4.6 橢球面上的三角形解算 5.4 地面觀測值歸算至橢球面 5.4.6 橢球面上的三角形解算 應(yīng)用大地測量學(xué) 目的 將方向觀測值和起算邊長歸算到橢球面上后，在橢球面上解 算未知邊長。 方法一：按球面三角形解算公式： 方法二
26、： （勒讓德定理） 將球面三角形改化為對應(yīng)邊相等的平面三 角形，按平面三角公式解算三角形求得球面邊長。 球面三角形球面角超 = （ A0+B0+C0） -180 = /R2 ，為三 角形面積。 A1=A0-/3 ， B1=B0-/3 ， C1=C0-/3 。 第五章 地球橢球及橢球面上的計算 第一節(jié) 地球橢球及其定位（基礎(chǔ)） 第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑（基礎(chǔ)） 第三節(jié) 橢球面上弧長計算（基礎(chǔ)） 第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面（重點） 第五節(jié) 橢球面上大地問題解算（重點） 應(yīng)用大地測量學(xué) 5.5.1 概述 5.5.2 勒讓德級數(shù)式 5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式 5.5.4 高斯平均引數(shù)反
27、解公式 5.5 橢球面上大地問題解算 應(yīng)用大地測量學(xué) 5.5.1 概述 5.5.2 勒讓德級數(shù)式 5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式 5.5.4 高斯平均引數(shù)反解公式 5.5 橢球面上大地問題解算 5.5.1 概述 應(yīng)用大地測量學(xué) （一）解算內(nèi)容 大地問題正解 已知 P1 點大地坐標 （ B1， L1） 、 P1P2 大地線長 S和大地方位角 A1， 推求 P2點大地坐標 （ B2， L2） 和大地方位角 A2。 大地問題反解 已知 P1P2兩點的大地坐標 （ B1， L1） 、 （ B2， L2） 反算 P1P2的 大地線長 S和大地方位角 A1、 A2。 應(yīng)用大地測量學(xué) （二）解算方法 1、
28、 按 解算的距離 分為：短距離 （ 400km)、 中距離 （ 400 1000km)和長距離 （ 1000 2000km)的解算 。 2、 按 解算形式 分為：直接解法和間接解法 直接解法 直接解求點 B、 A和相鄰起算點的大 地經(jīng)差 。 間接解法 先求大地經(jīng)差 、 緯差和大地方位角 差 ， 再加入到已知點的相應(yīng)大地數(shù)據(jù)中 。 主要用于短 距離大地問題的解算 。 5.5.1 概述 應(yīng)用大地測量學(xué) （二）解算方法 3、 高斯平均引數(shù)大地問題解算公式 （ 間接解法 ， 適 用于短距離 ） 。 基本思路： a、 按照平均引數(shù)展開的泰勒級數(shù)把大地線兩端點 的經(jīng)差 、 緯差和方位角差各表示為大地線長
29、S的冪級數(shù)； b、 利用大地線微分方程推求冪級數(shù)中各階導(dǎo)數(shù) ， 最終得到大地問題解算公式 。 5.5.1 概述 應(yīng)用大地測量學(xué) 5.5.1 概述 5.5.2 勒讓德級數(shù)式 5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式 5.5.4 高斯平均引數(shù)反解公式 5.5 橢球面上大地問題解算 應(yīng)用大地測量學(xué) 按照泰勒級數(shù)將 P1和 P2兩點的緯差 b、經(jīng)差 l和方位 角差 展開成為大地線長度 S的冪級數(shù)，成為 勒讓德級 數(shù)式 。 公式（ 5-63） 公式（ 5-69） 公式（ 5-70） 公式（ 5-71） 5.5.2 勒讓德級數(shù)式 應(yīng)用大地測量學(xué) 5.5.1 概述 5.5.2 勒讓德級數(shù)式 5.5.3 高斯平均引數(shù)
30、正解公式 5.5.4 高斯平均引數(shù)反解公式 5.5 橢球面上大地問題解算 5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式 應(yīng)用大地測量學(xué) （一）基本思想 首先把勒讓德級數(shù)在 P1點展開改為在 大地線長度中 點 M展開，以使級數(shù)公式項數(shù)減少、收斂快、精度高； 其次，考慮到求定中點 M的復(fù)雜性，將 M點用大地線 兩端的 平均緯度及平均方位角相對應(yīng)的 m點 來代替，并 借助迭代計算，便可順利的實現(xiàn)大地問題的正解。 應(yīng)用大地測量學(xué) （二）高斯平均引數(shù)正解公式 推求步驟： 1、經(jīng)差 l、緯差 b、方位角差 a是 S的函數(shù)，故可以將其 展為 S的泰勒級數(shù)（按平均引數(shù)在 S/2處展為 S的冪級 數(shù)）。 2、引入大地線兩端
31、點的平均緯度和平均方位角，將 dL/dS以 Bm、 Am按泰勒級數(shù)展開。 3、根據(jù)大地線微分方程求泰勒級數(shù)中的系數(shù)。 4、將系數(shù)代入平均引數(shù)公式。 5、由于 B2、 A2未知， Bm、 Am精確值未知，可通過逐次 趨近法求出。一般三次即可。 5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式 應(yīng)用大地測量學(xué) （三）計算公式 一般公式： 公式（ 5-89） 實用公式： 距離小于 70km時，采用簡化公式： 公式（ 5-90） 5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式 應(yīng)用大地測量學(xué) 5.5.1 概述 5.5.2 勒讓德級數(shù)式 5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式 5.5.4 高斯平均引數(shù)反解公式 5.5 橢球面上大地問題解算
32、 5.5.4 高斯平均引數(shù)反解公式 應(yīng)用大地測量學(xué) 高斯平均引數(shù)反解公式 推求步驟： 1、已知兩點間的緯差 b、經(jīng)差 l和平均緯度 Bm，導(dǎo)出 SsinAm和 ScosAm，求 a 。 2、由 SsinAm、 ScosAm和 a計算 S和 A1、 A2。 計算公式： 公式 （ 5-93）、（ 5-96） 第五章 復(fù)習思考題 1。名詞定義：地球橢球、橢球定位、法截線、 子午圈、卯酉圈、相對法截線、大地線、垂線 偏差改正、標高差改正、截面差改正、大地問 題正解、大地問題反解。 2。寫出 N、 M、 R及子午圈弧長、平行圈弧長 的計算公式，說明式中符號的意義。 3。大地線微分方程的意義。 4。地面觀測值（方向、距離）歸算至橢球面 應(yīng)加哪些改正？ 第五章 習題 1。已知圖幅 I-50-67中 A、 B點的大地緯度 B=34 20、 34 ，求相應(yīng)的 M、 N、 R。 2。計算圖幅 I-50-67圖廓長度 。 117 00 117 30 34 00 34 20 34 20 117 00 117 30 34 00 I-50-67 A B C D
大地測量學(xué)課件 地球橢球與測量計算
