空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖

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1、 1 . 認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征， 并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2 . 能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓 錐、 棱柱等簡易組合）的三視圖，能識別上述三視圖 所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的 直觀圖. 3 .會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空 間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同 表示形式.4 .會畫某些建筑物的三視圖與直觀圖.（在不影響圖 形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求） 1 .空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 2 .空間幾何體的三視圖 三視圖：用 得到，這種投影下與投影面 的 平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是 的.三

2、視圖包括 、 、 .正投影平行相同完全正視圖側(cè)視圖俯視圖 3 .空間幾何體的直觀圖 空間幾何體的直觀圖常用 畫法來畫，基本規(guī)則是： (1 )原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、 y軸的夾角為 ，z軸與x軸和y軸所 在平面 .斜二測4 5(或1 3 5)垂直 (2 )原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中 . 平行于x軸和z軸的線段長度在直觀圖中 ，平 行于y軸的線段長度在直觀圖中 .還是線段保持不變變?yōu)樵瓉淼囊话?1 .下列有關(guān)棱柱的命題中正確的是 () A.有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱 B.有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫 棱柱 C.一個棱柱至少有

3、五個面、六個頂點(diǎn)、九條棱 D.棱柱的側(cè)棱長有的都相等，有的不都相等 解析：A、B都不能保證側(cè)棱平行這個結(jié)構(gòu)特征，對于D，由棱柱的結(jié)構(gòu)特征知側(cè)棱都相等，一個最簡單的棱柱是三棱柱，有五個面、六個頂點(diǎn)、九條棱.答案：C 2 .用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓，則這 個幾何體一定是 () A.圓柱B.圓錐 C.球體 D.圓柱，圓錐，球體的組合體解析：由球的性質(zhì)可知用平面截球所得的截面都是圓面.答案：C 3 .如圖所示，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩 個視圖相同的是 () A. B. C. D. 解析：正方體的正視、側(cè)視、俯視圖都是正方形；圓錐的正視、側(cè)視、俯視圖依次為：三角形、三角形、

4、圓及圓心；三棱臺的正視、側(cè)視、俯視圖依次為：梯形、梯形(與正視圖可能不相同)、三角形(內(nèi)外兩個三角形且對應(yīng)頂點(diǎn)相連)；正四棱錐的正視、側(cè)視、俯視圖依次為：三角形、三角形、正方形.答案：D 4 .一個平面四邊形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長 為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于.解析：如圖所示.原平面四邊形面積為a2 2 .答案：2 5 .如圖所示，圖、是圖表示的幾何體的三視 圖，其中圖是，圖是，圖是 (說出視圖名稱). 解析：結(jié)合三視圖的有關(guān)概念知，圖是正視圖，圖是側(cè)視圖，圖是俯視圖.答案：正視圖側(cè)視圖俯視圖 1 .幾種常見的多面體的結(jié)構(gòu)特征(1 )直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱.特別地，當(dāng)?shù)?/p>

5、面是正 多邊形時，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱). (2 )正棱錐：指的是底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的 射影是底面中心的棱錐.特別地，各條棱均相等的正 三棱錐又叫正四面體.2 .理解并掌握空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，對培養(yǎng)空間想象 能力，進(jìn)一步研究幾何體中的線面位置關(guān)系或數(shù)量關(guān) 系非常重要，每種幾何體的定義都是非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，?意對比記憶. 下面有四個命題：(1 )各個側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；(2 )三條側(cè)棱都相等的棱錐是正三棱錐；(3 )底面是正三角形的棱錐是正三棱錐；(4 )頂點(diǎn)在底面上的射影是底面多邊形的內(nèi)心，又是外心的棱錐必是正棱錐.其中正確命題的個數(shù)是 ()A.1B.2C.3

6、D.4 思路點(diǎn)撥 課堂筆記命題(1 )不正確；正棱錐必須具備兩點(diǎn)，一是：底面為正多邊形，二是：頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面的中心；命題(2 )缺少第一個條件；命題(3 )缺少第二個條件；而命題(4 )可推出以上兩個條件都具備.答案A 1 .幾何體的三視圖的排列規(guī)則： 俯視圖放在正視圖的下面，長度與正視圖一樣，側(cè)視圖 放在正視圖右面，高度與正視圖一樣，寬度與俯視圖一 樣，即“長對正，高平齊，寬相等”，如圖所示(以長方 體三視圖為例)： 特別警示畫幾何體的三視圖時，能看到的輪廓線畫成實(shí)線，看不到的輪廓線畫成虛線.2 .應(yīng)用：在解題的過程中，可以根據(jù)三視圖的形狀及圖 中所涉及到的線段的長度，推斷出原幾何

7、圖形中的點(diǎn)、 線、面之間的關(guān)系及圖中的一些線段的長度，這樣我 們就可以解出有關(guān)的問題. (2 0 0 9 山東高考)一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 ()A.2 2B.4 2C.2 D.4 思路點(diǎn)撥 課堂筆記由幾何體的三視圖可知，該幾何體是由一個底面直徑和高都是2的圓柱和一個底面邊長為 ，側(cè)棱長為2的正四棱錐疊放而成.故該幾何體的體積為V1 2 2 ( )2 2 . 答案C 3 1 .注意原圖與直觀圖中的“三變、三不變”：“三變”坐標(biāo)軸的夾角改變，與y軸平行線段的長度改變（減半），圖形改變.“三不變”平行性不變,與x軸平行的線段長度不變,相對位置不變. 2 .按照斜二測畫法得到

8、的平面圖形的直觀圖，其面積與 原圖形的面積有以下關(guān)系： S直觀圖 S原圖形，S原圖形2 直觀圖. 已知ABC的直觀圖ABC是邊長為a的正三角形，求原三角形ABC的面積.思路點(diǎn)撥 課堂筆記建立如圖所示的xOy坐標(biāo)系，ABC的頂點(diǎn)C在y軸上，AB邊在x軸上，OC為ABC的高.把y軸繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)4 5得y軸，則點(diǎn)C變?yōu)辄c(diǎn)C，且OC2 OC，A、B點(diǎn)即為A、B點(diǎn)，長度不變. 已知ABACa，在OAC中，由正弦定理得 ，所以O(shè)C a a，所以原三角形ABC的高OC ，所以SABC a a a2 . 若ABC是邊長為a的正三角形，則其直觀圖ABC的面積是多少？解：法一：由于直觀圖的面積S與原圖形的面積

9、S間滿足 )，易知ABC的面積為 . 法二：如圖(1 )(2 )所示的實(shí)際圖形和直觀圖. 由(2 )可知：ABABa，OC OC a，在圖(2 )中作CD AB于D，則CD OC a， SABC ABCD 三視圖是新課標(biāo)新增的內(nèi)容，是一個知識交匯的載體，因而是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一.但新課標(biāo)對這部分內(nèi)容的要求較低，經(jīng)常與立體幾何中有關(guān)的計(jì)算問題融合在一起考查.2 0 0 9年廣東高考將三視圖與幾何體的體積計(jì)算、空間位置關(guān)系融為一體，考查了學(xué)生的空間想象能力，是一個新的考查方向. 考題印證 (2 0 0 9 廣東高考)(1 2分)某高速公路收費(fèi)站入口處的安全標(biāo)識墩如圖1所示.墩的上半部分是正四棱錐P

10、EFGH，下半部分是長方體ABCDEFGH.圖2、圖3分別是該標(biāo)識墩的正視圖和俯視圖. (1 )請畫出該安全標(biāo)識墩的側(cè)視圖；(2 )求該安全標(biāo)識墩的體積；(3 )證明：直線BD平面PEG. 【解】(1 )該安全標(biāo)識墩側(cè)視圖如下圖所示. (4分) (2 )該安全標(biāo)識墩的體積VVPEFGHVABCDEFGH 4 04 06 04 04 02 06 4 0 0 0 (cm3 ).(6分)(3 )由題設(shè)知四邊形ABCD和四邊形EFGH均為正方形， FH EG，又ABCDEFGH為長方體， BD FH.(8分) 設(shè)點(diǎn)O是EFGH的對稱中心， PEFGH是正四棱錐， PO平面EFGH，而FH平面EFGH，

11、 PO FH.(9分) FH PO，F(xiàn)H EG，POEGO，PO平面PEG，EG平面PEG， HF平面PEG.(1 1分)而BD FH，故BD平面PEG.(1 2分) 自主體驗(yàn) 一個多面體的直觀圖及正視圖、側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，M、N分別為A1 B、B1 C1的中點(diǎn). (1 )求證：MN平面ACC1 A1； (2 )求證：MN平面A1 BC. 證明：由題意可知，這個幾何體是直三棱柱，且AC BC，ACBCCC1a.(1 )連結(jié)AC1、AB1 .由直三棱柱的性質(zhì)得AA1 平面A1 B1 C1，所以AA1 A1 B1，則四邊形ABB1 A1為矩形. 由矩形性質(zhì)得AB1過A1 B的中點(diǎn)M.在AB1

12、 C1中，由中位線性質(zhì)得MN AC1 .又AC1 平面ACC1 A1，MN平面ACC1 A1，所以MN平面ACC1 A1 . (2 )因?yàn)锽C平面ACC1 A1，AC1 平面ACC1 A1，所以BC AC1 .在正方形ACC1 A1中，A1 C AC1 .又因?yàn)锽CA1 CC，所以AC1 平面A1 BC.由MN AC 1，得MN平面A1 BC. 1 .對于斜二測畫法敘述正確的是 () A.三角形的直觀圖是三角形 B.正方形的直觀圖是正方形 C.矩形的直觀圖是矩形 D.圓的直觀圖一定是圓 解析：正方形、矩形的直觀圖都是平行四邊形， 故B、C錯誤；圓的直觀圖是橢圓，故D錯誤.答案：A 2 .將正三

13、棱柱截去三個角(如圖(1 )所示A、B、C分別是 GHI三邊的中點(diǎn))得到幾何體如圖(2 )，則該幾何體按 圖(2 )所示方向的側(cè)視圖為 () 解析：由正三棱柱的性質(zhì)得側(cè)面AED底面EFD，則側(cè)視圖必為直角梯形，又線段BE在梯形內(nèi)部.答案：A 3 .下圖是由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的 () 解析：圖中給出的組合體是一個圓臺上接一個圓錐，因此平面圖形應(yīng)由一個直角三角形和一個直角梯形構(gòu)成，并且上面應(yīng)是直角三角形，下面應(yīng)是直角梯形.答案：A 4 .如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，可得 該幾何體的表面積是. 解析：由幾何體的三視圖可知此幾何體是圓柱與球體的組合體，S表4 R22 r22 rh4 2

14、 6 1 2 .答案：1 2 5 .(2 0 1 0 廣州模擬)已知一幾何體的三視圖如下，正視圖 和側(cè)視圖都是矩形，俯視圖為正方形，在該幾何體上 任意選擇4個頂點(diǎn)，它們可能是如下各種幾何形體的4 個頂點(diǎn)，這些幾何形體是(寫出所有正確結(jié)論的編號) . 矩形；不是矩形的平行四邊形；有三個面為直角三角形，有一個面為等腰三角形的四面體；每個面都是等腰三角形的四面體；每個面都是直角三角形的四面體. 解析：由該幾何體的三視圖可知該幾何體為底面邊長為a，高為b的長方體，這四個頂點(diǎn)的幾何形體若是平行四邊形，則其一定是矩形.答案： 6 .用一個平行于圓錐底面的平面截該圓錐，截得圓臺 上、下底面半徑的比是1 4，截去的小圓錐的母線 長是3 cm，求圓臺的母線長. 解：如圖，設(shè)圓臺的母線長為y，小圓錐底面與被截的圓錐底面半徑分別是x、4 x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得 ，解此方程得y9 .所以圓臺的母線長為9 cm.