二次型與二次曲面

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1、2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 1 2 二 次 型 的 標 準 形 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 2 第 一 節(jié) 二 次 型 的 基 本 概 念定 義一 、 二 次 型 及 其 矩 陣稱 為 一 個 (n元 )二 次 型 . 的 二 次 齊 次 多 項 式個 變 量含 有 nxxxn , 21 ),( 21 nxxxf nn xxaxxaxa 2232232222 22 2nnnxa nn xxaxxaxxaxa 11311321122111 222 本 書 只 討 論 實 二 次 型 ， 即 系 數(shù) 全 是 實 數(shù) 的 二 次 型 。 2021-

2、6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 3 ),( 21 nxxxf nn xxaxxaxa 2232232222 22 2nnnxa nn xxaxxaxxaxa 11311321122111 222 由 于 ijji xxxx ， 具 有 對 稱 性 ， 若 令 ijji aa ， ji ， 則 ijjijiijjiij xxaxxaxxa 2 ， ji ， 于 是 上 述 二 次 型 可 以 寫 成 如 下 求 和 形 式 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 4nn xxaxxaxxaxa 11311321122111 nn xxaxxaxaxxa 22322322

3、221221 22211 nnnnnnn xaxxaxxa ,1 1 ni nj jiij xxa ),( 21 nxxxf nn xxaxxaxa 2232232222 22 2nnnxa nn xxaxxaxxaxa 11311321122111 222 ),( 21 nxxxf 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 5 ni nj jiijn xxaxxxf 1 121 ),( 記 , 21 22221 11211 nnnn nnaaa aaa aaaA ,21 nxxxX 則 上 述 二 次 型 可 以 用 矩 陣 形 式 表 示 為 ,),( 21 AXXxxxf T

4、n A稱 為 二 次 型 的 矩 陣 。 ),( 21 nxxxf 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 6 A的 秩 稱 為 該 二 次 型 的 秩 。 ,),( 21 AXXxxxf Tn A稱 為 二 次 型 的 矩 陣 。 ),( 21 nxxxf A是 一 個 實 對 稱 矩 陣 。 事 實 上 ， 由 一 個 實 對 稱 矩 陣 也 可 構 造 唯 一 的 實二 次 型 ， 也 就 是 說 ， 實 二 次 型 與 實 對 稱 矩 陣 是 互 相唯 一 確 定 的 ， 所 以 ， 研 究 二 次 型 的 性 質 可 以 轉 化 為研 究 它 的 矩 陣 A所 具 有

5、的 性 質 。 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 7 例 1 設 二 次 型 323121232221321 6422),( xxxxxxxxxxxxf 求 二 次 型 的 矩 陣 A和 二 次 型 的 秩 。解 ,A 2 1 11 22 331 132 311 212A 710 410 311 ,100 410 311 所 以 r(A) = 3， 即 二 次 型 的 秩 等 于 3。 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 8 例 2 求 二 次 型 2332211321 )(),( xaxaxaxxxf 的 矩 陣 A和 二 次 型 的 秩 ，解 其 中

6、321 , aaa 不 全 為 零 。 2332211321 )(),( xaxaxaxxxf 2321321 ),( aaaxxx ,),(),( 321321321321 xxxaaaaaaxxx所 以 二 次 型 f 的 矩 陣 為),( 321321 aaaaaaA ,232313 322212 312121 aaaaa aaaaa aaaaa .1)( Ar 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 9 二 、 線 性 變 換 dcybxyax 22 2 cossin sincos yxy yxx 選 擇 適 當 的 ， 消 去 交 叉 項 ,可 使 上 面 的 方 程

7、化 為 ,22 dybxa 上 述 yx , 由 yx , 的 線 性 表 達 式 給 出 ， 通 常 稱 為線 性 變 換 。 一 般 有 下 面 的 定 義 。 在 平 面 解 析 幾 何 中 ， 為 了 確 定 二 次 方 程 所 表 示 的 曲 線 的 性 態(tài) ， 通 常 利 用 轉 軸 公 式 ： 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 10 定 義 關 系 式 nnnnnn nn nn ycycycx ycycycx ycycycx 2211 22221212 12121111 稱 為 由 變 量 nxxx , 21 到 nyyy , 21 的 一 個 線 性 變 換

8、 。 記 ,21 nxxxX ,21 22221 11211 nnnn nnccc ccc cccC ,21 nyyyY 則 上 述 線 性 變 換 可 以 寫 成 矩 陣 形 式 ： .CYX 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 11 ,2211 22221212 12121111 nnnnnn nn nn ycycycx ycycycx ycycycx .CYX C 稱 為 該 線 性 變 換 的 矩 陣 。 若 0| C ， 則 此 線 性 變 換 稱 為 可 逆 線 性 變 換 。 如 果 C 為 正 交 矩 陣 ， 則 此 線 性 變 換 稱 為 正 交 變 換 。

9、 cossin sincos yxy yxx容 易 驗 證 ， 轉 軸 公 式是 一 個 正 交 變 換 。 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 12 三 、 矩 陣 的 合 同 關 系 將 可 逆 線 性 變 換 CYX ， 代 入 二 次 型AXXxxxf Tn ),( 21 ， 得 AXXT )()( CYACY T YACCY TT )(,ACCB T其 中 ,BYYT 由 于 A 是 實 對 稱 陣 ， 則 ACCB T 也 是 實 對 稱 陣 ， 于 是 BYY T 是 一 個 以 nyyy , 21 為 變 量 的 實 二 次 型 。 由 于 C是 可 逆 矩

10、陣 ， 所 以 A和 B秩 相 等 ,從 而 兩 個二 次 型 的 秩 相 等 。 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 13 設 BA, 是 兩 個 n階 矩 陣 ， 如 果 存 在 n階 可 逆 矩 陣 C， 使 得 ACCB T ， 則 稱 A 與 B 合 同 ,記 為 A B. 定 義 與 矩 陣 的 相 似 關 系 類 似 ， 矩 陣 之 間 的 合 同 關 系 也具 有 以 下 性 質 。 (1)反 身 性 ：(2)對 稱 性 ：(3)傳 遞 性 ： 對 任 何 方 陣 A， 總 有 ； A A 若 ， 則 有 ； A B B A 若 ,且 ,則 有 . A B B

11、 C A C證 明 只 證 (3)， 其 余 留 作 練 習 。,1T1 ACCB ,2T2 BCCC 21T1T2 )( CACCCC ,)()( 21T21 CCACC 由 于 21,CC 均 可 逆 ， 所 以 21CC 也 可 逆 . 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 14 本 節(jié) 討 論 的 主 要 問 題 是 ： 如 何 通 過 可 逆 線 性 變 換CYX ， 把 二 次 型 AXXxxxf Tn ),( 21 化 為nyyy , 21 的 平 方 和 2222211 nn ydydyd ， 稱之 為 二 次 型 的 標 準 形 。 從 前 面 分 析 可 以

12、 看 出 ,要 把 一 個 二 次 型 化 為 標 準 形 ,只 要 找 一 個 可 逆 陣 C,使 ACCT成 為 對 角 陣 ， 即 A 與 一 個 對 角 陣 合 同 。 第 二 節(jié) 二 次 型 的 標 準 形 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 15 如 果 二 次 型 AXXxxxf Tn ),( 21 通 過 可 逆 線 性 變 換 CYX ， 化 為 二 次 型 2222211 nnT ydydydBYY ， 則 稱 之 為 原 二 次 型 的 標 準 形 。 一 、 二 次 型 的 標 準 形定 義 實 際 上 ， 二 次 型 AXXxxxf Tn ),( 2

13、1 化 為 標 準 形 的 問 題 ， 等 價 于 該 二 次 型 的 矩 陣 A 合 同 于 一 個 對 角 矩 陣 的 問 題 。 下 面 介 紹 二 次 型 化 為 標 準 形 的 方 法 。 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 16 1、 用 正 交 變 換 法 化 二 次 型 為 標 準 形 由 上 節(jié) 定 理 可 知 ， 對 實 對 稱 陣 A， 總 可 找 到 正 交 陣 P， 使 APP 1 為 對 角 陣 ， 定 理 任 何 二 次 型 都 可 以 通 過 正 交 變 換 化 為 標 準 形 。TPP 1 ， 故 APPAPP T1 。 而 由 正 交 陣

14、性 質 可 知 ， 陣 P 正 好 用 來 作 為 替 換 CYX 中 的 矩 陣 C。 當 C是 正 交 陣 時 ， 我 們 稱 CYX 是 一 個 正 交 替 換 。 因 此 這 樣 的 正 交 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 17 ;, .1 AAXXf T 寫 出將 二 次 型 表 成 矩 陣 形 式 ;, .2 21 nA 的 所 有 特 征 值求 出 ;, .3 21 n 征 向 量求 出 對 應 于 特 征 值 的 特 ;),(, , .4 2121 21 nn nC 記 得單 位 化正 交 化將 特 征 向 量 的 標 準 形則 得作 正 交 變 換 fC

15、YX , .5 用 正 交 變 換 化 二 次 型 為 標 準 形 的 具 體 步 驟 ： 2211 nn yyf 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 18 例 1 用 正 交 變 換 將 二 次 型 解化 為 標 準 形 ， 并 求 所 作 的 正 交 變 換 。 323121232221 844141417 xxxxxxxxxf 二 次 型 的 矩 陣 1442 4142 2217A ,)9()18( 2 1442 4142 2217| AE 23 rr 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 19 1442 4142 2217| AE ,)9()18( 2

16、 ,91 542 452 2289 AE ,2211 ,000 110 452 ,18 3,2 442 442 22118 AE ,000 000 221 ,0122 ,1023 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 20 ,2211 ,0122 ,1023 012 1023 45 ,54251 455032 4545132 4525231Q再 單 位 化 ， 合 在 一 起 ， 即 得 所 求 正 交 變 換 的 矩 陣正 交 化 ， 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 21 于 是 所 求 正 交 變 換 為 ,QYX .18189 232221 yyyf

17、 標 準 形 為 455032 4545132 4525231Q ,91 ,183,2 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 22 解化 為 標 準 形 ， 并 求 所 作 的 正 交 變 換 。 434232413121 222222 xxxxxxxxxxxxf 二 次 型 的 矩 陣 0111 1011 1101 1110A 111 111 111 111| AE 111 111 111 1111)1( 例 2 用 正 交 變 換 將 二 次 型 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 23 111 111 111 1111)1( 12 21)1( 2 .)1

18、)(3( 3 ,3 1 1000 2120 2210 1111)1( 3111 1311 1131 11133 AE 111 111 111 111| AE 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 24 3111 1311 1131 11133 AE ,0000 1100 0110 1131 ,11111 ,12 1111 1111 1111 1111AE ,0000 0000 0000 1111 , 1001,0101,0011 432 111 111 111 111| AE 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 25 正 交 化 ， ,1001,0101,00

19、11 432 00112101013 ,021121 ,02113 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 26 ,02113 02116100112110014 ,622261 ,3111 4 ,1001,0101,0011 432 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 27 ,11111 ,00112 ,02113 ,31114 1230021 12162021 121612121 121612121Q再 單 位 化 ， 合 在 一 起 ， 即 得 所 求 正 交 變 換 的 矩 陣所 作 正 交 變 換 為 ,QYX .3 24232221 yyyyf 標

20、準 形 為 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 28 已 知 二 次 曲 面 方 程 4222222 yzxzbxyzayx 可 以 經 過 正 交 變 換 Pzyx . 化 為 橢 圓 柱 面 方 程 44 22 ,求 ba, 的 值 . 例 3解 二 次 型 22 4 f 的 矩 陣 為 410 , 原 二 次 型 的 矩 陣 為 111 111 ab b , 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 29由 )(tr)(tr BA ,得 52a , 二 次 型 22 4 f 的 矩 陣 為 410 , 原 二 次 型 的 矩 陣 為 111 111 ab b

21、 , 由 題 意 ,這 兩 個 矩 陣 相 似 , 由 | BA ,得 ,0)1( 2 b .1 b ;3 a 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 30 第 三 節(jié) 慣 性 定 理 與 二 次 型 的 規(guī) 范 形 一 個 實 二 次 型 ， 既 可 以 通 過 正 交 變 換 化 為 標 準形 ， 也 可 以 通 過 拉 格 朗 日 配 方 法 化 為 標 準 形 ， 顯 然 ，其 標 準 形 一 般 來 說 是 不 唯 一 的 。 但 是 ， 標 準 形 中 系 數(shù) 不 為 零 的 項 數(shù) 是 確 定 的 ，項 數(shù) 等 于 二 次 型 的 秩 , 2222211 rr yk

22、ykykf )0( ik 實 際 上 ， 不 僅 標 準 形 中 的 非 零 系 數(shù) 的 個 數(shù) 是 確定 的 ， 其 中 正 的 系 數(shù) 個 數(shù) 和 負 的 系 數(shù) 個 數(shù) 也 被 原 二次 型 所 確 定 ， 這 就 是 下 面 的 “ 慣 性 定 理 ” 。 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 31 定 理 (慣 性 定 理 ) 對 任 意 二 次 型 AXXxxxf Tn ),( 21 , 2211 pp ydydf ,22 11 rrpp ydyd p為 正 慣 性 指 數(shù) ,正 負 慣 性 指 數(shù) 的 差 稱 為 二 次 型 的 符 號 差 .rpqp 2為 負

23、慣 性 指 數(shù) ,prq 設 二 次 型 AXXxxxf Tn ),( 21 通 過 可 逆 線 性 變 換CYX 化 為 下 列 標 準 形 無 論 用 何 種 可 逆 線 性 變 換 把 它 化 為 標 準 形 ,其 中 正 的 系數(shù) 個 數(shù) (稱 正 慣 性 指 數(shù) )和 負 的 系 數(shù) 個 數(shù) (稱 負 慣 性 指 數(shù) )唯 一 確 定 . 證 略 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 32 ,22 112211 rrpppp ydydydydf ,CYX 繼 續(xù) 作 可 逆 線 性 變 換 ， nn rr rrr zy zy zdy zdy 11 111 11 矩 陣

24、 形 式 為 ,1ZCY ,10 11 011 1 rddC 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 33 二 次 型 化 為 ,22 1221 rpp zzzzf 稱 之 為 二 次 型 的 規(guī) 范 形 .定 理 任 一 二 次 型 都 可 以 通 過 可 逆 線 性 變 換 化 為 規(guī)范 形 ,且 規(guī) 范 形 是 唯 一 的 .化 二 次 型 為 規(guī) 范 形 時 ， 所 作 的 線 性 變 換 不 一 定 是 正交 變 換 。 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 34 定 理 任 一 實 對 稱 矩 陣 A 與 對 角 陣 合 同 ， 其 中 1 和 1 的

25、 個 數(shù) 合 計 為 )(Ar 個 ， 1 的 個 數(shù) 由 A 唯 一 確 定 ， 稱 為 A 的 正 慣 性 指 數(shù) 。 001111 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 35 推 論 兩 個 n 階 實 對 稱 矩 陣 合 同 的 充 分 必 要 條 件 是它 們 的 秩 和 正 慣 性 指 數(shù) 分 別 相 等 。第 四 節(jié) 正 定 二 次 型 與 正 定 矩 陣 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 36 一 、 基 本 概 念 相 應 實 二 次 型 AXXXf T)( , 定 義 （ 1） 若 恒 有 0)( Xf ， 則 稱 )(Xf 是 正 定

26、二 次 型 ， A 稱 為 正 定 矩 陣 ； （ 2） 若 恒 有 0)( Xf ， 則 稱 )(Xf 是 負 定 二 次 型 ， A 稱 為 負 定 矩 陣 ； （ 4） 若 恒 有 0)( Xf ， 則 稱 )(Xf 是 半 負 定 二 次 型 ， A 稱 為 半 負 定 矩 陣 。 如 果 二 次 型 的 取 值 有 正 有 負 ， 就 稱 為 不 定 二 次 型 。 設 A 為 實 對 稱 矩 陣 ，對 任 意 非 零 向 量 X ， （ 3） 若 恒 有 0)( Xf ， 則 稱 )(Xf 是 半 正 定 二 次 型 ， A 稱 為 半 正 定 矩 陣 ； 2021-6-6 南 京

27、 郵 電 大 學 邱 中 華 37 二 、 正 定 矩 陣 、 正 定 二 次 型 的 判 別由 定 義 ， 可 得 以 下 結 論 ： （ 1） 二 次 型 222221121 ),( nnn ydydydyyyf 正 定 的 充 分 必 要 條 件 是 0id 。 充 分 性 是 顯 然 的 ； 下 面 用 反 證 法 證 必 要 性 ： 假 設 某 個 0kd ， 取 1ky ， 其 余 )( 0 kjyj ， 代 入 二 次 型 ， 得 0)0,1,0( kdf ， 與 二 次 型 ),( 21 nyyyf 正 定 矛 盾 。 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 38

28、 (2) 二 次 型 AXXT 若 正 定 ， 經 過 可 逆 線 性 變 換 CYX ，化 為 YACCY TT )( ， 其 正 定 性 保 持 不 變 。 這 是 因 為 C 是 可 逆 矩 陣 ， 只 要 Y ， 就 有 X ， 于 是 0AXX T ， 即 0)( YACCY TT 。 由 變 換 的 可 逆 性 ， 若 YACCY TT )( 正 定 ， 也 可 推 出AXXT 正 定 。 由 上 述 兩 個 結 論 可 知 ， 研 究 二 次 型 的 正 定 性 ， 只要 通 過 非 退 化 線 性 變 換 ， 將 其 化 為 標 準 形 ， 就 容 易 由以 下 定 理 判 別

29、 其 正 定 性 。 （ 1） 二 次 型 222221121 ),( nnn ydydydyyyf 正 定 的 充 分 必 要 條 件 是 0id 。 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 39 n元 實 二 次 型 AXXf T 正 定 的 充 分 必 要 條 件 是 它 的 正 慣 性 指 數(shù) 等 于 n。 定 理準 則 1 實 對 稱 矩 陣 A正 定 的 充 分 必 要 條 件 是 A的 特 征 值全 為 正 。 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 40 解例 1 判 別 二 次 型是 否 正 定 。 3221232221321 2232),( xx

30、xxxxxxxxf 二 次 型 對 應 的 矩 陣 為 ,310 121 011 A 310 121 011| AE 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 41全 為 正 ， 因 此 二 次 型 正 定 。 求 得 A 的 特 征 值 為 32,2 ， 310 121 011| AE 312 122 012321 ccc )14)(2( 2 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 42 n階 實 對 稱 矩 陣 A正 定 的 充 分 必 要 條 件 是 A的 順 序 主 子 式 全 大 于 零 。 （ 證 略 ） 準 則 2 其 中 nnijaA )( 的 k 階

31、 順 序 主 子 式 是 指 行 列 式 ,| 21 22221 11211 kkkk kkk aaa aaa aaaA nk ,2,1 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 43 解例 2 判 別 二 次 型是 否 正 定 。 323121232221 244555 xxxxxxxxxf 二 次 型 對 應 的 矩 陣 為 ,512 152 225 A它 的 順 序 主 子 式 為 ： ,05| 1 A ,02152 25| 2 A ,088512 152 225| 3 A 因 此 A是 正 定 的 ， 即 二 次 型 f 正 定 。 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學

32、 邱 中 華 44 解例 3 設 有 實 二 次 型 問 t 取 何 值 時 ， 該 二 次 型 為 正 定 二 次 型 ？ 323121232221 4225 xxxxxxtxxxf f 的 矩 陣 為 ,521 21 11 t tA順 序 主 子 式 為 ： ,01| 1 A ,0111| 22 tt tA,045| 23 ttAA解 得 .054 t 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 45 三 、 正 定 矩 陣 的 性 質1、 若 A 為 正 定 矩 陣 ， 則 A 的 行 列 式 為 正 ， 因 而 可 逆 。 0| 21 nA kAAAA , 1T 都 是 正

33、定 陣 ，2、 若 A 為 正 定 矩 陣 ,則其 中 k 為 正 整 數(shù) 。 矩 陣 A 與 它 的 轉 置 TA 有 相 同 的 特 征 值 ； 這 是 因 為 ： ;)(1)( 1 AA ;)( |)( AAA .)()( kk AA 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 46 3、 若 A 為 正 定 矩 陣 ， 則 A 的 主 對 角 元 全 為 正 。 證 因 為 ni nj jiij xxaAXXXf 1 1T)( 正 定 ， 取 TiX )0,1,0( ， 則 有 ).,1,0( ,0)( niaXf iii 。 4、 若 A 和 B 為 正 定 矩 陣 ， 則

34、 A+B 也 為 正 定 矩 陣 。 證 對 任 意 非 零 向 量 X ，XBAX )(T BXXAXX TT .0 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 47 5、 實 對 稱 矩 陣 A為 正 定 矩 陣 的 充 分 必 要 條 件 是 存 在可 逆 矩 陣 P， 使 得 .TPPA實 際 上 ， 正 定 二 次 型 的 規(guī) 范 形 為,22221 nzzz 即 A正 定 的 充 分 必 要 條 件 是 A合 同 于 單 位 矩 陣 E ，即 存 在 可 逆 矩 陣 P ， 使 . TT PPEPPA 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 48 TT )(

35、 AA6、 設 A 為 nm 矩 陣 ， 且 A 的 秩 nAr )( ， 則 AAT為 正 定 矩 陣 。 證 因 為 ,TAA 故 AA T 是 n 階 對 稱 矩 陣 。 又 nAr )( ， 可 知 齊 次 線 性 方 程 組 AX 僅 有 零 解 ， 所 以 對 任 意 X ， 必 有 AX ， 于 是XAAX )( TT )()( T AXAX ,0 即 二 次 型 XAAX )( TT 為 正 定 二 次 型 ， 即 矩 陣 AA T 為 正 定 矩 陣 。 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 49 類 似 結 論 有 ： 設 A 為 n 階 可 逆 矩 陣 ,

36、則 TT , AAAA 為 正 定 矩 陣 。 設 A為 n 階 正 定 矩 陣 ,P 為 mn 矩 陣 ,且 nmPr )( ， 則 APP T 為 正 定 矩 陣 。 6、 設 A 為 nm 矩 陣 ， 且 A 的 秩 nAr )( ， 則 AA T 為 正 定 矩 陣 。 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 50 顯 然 ， A是 負 定 （ 半 負 定 ） 的 當 且 僅 當 -A是 正 定（ 半 正 定 ） 的 。 由 此 ， 容 易 得 出 以 下 結 論 ： （ 2） A負 定 的 充 分 必 要 條 件 是 A的 特 征 值 全 負 ； （ 3） A半 負 定

37、 的 充 分 必 要 條 件 是 A的 特 征 值 非 正 ； （ 4） A負 定 的 充 分 必 要 條 件 是 A的 奇 數(shù) 階 順 序 主 子式 全 為 負 而 偶 數(shù) 階 順 序 主 子 式 全 為 正 ； （ 1） A半 正 定 的 充 分 必 要 條 件 是 A的 特 征 值 非 負 ； （ 5） 若 A負 定 ， 則 A的 對 角 元 全 為 負 。 注 意 : 1.最 后 一 條 只 是 必 要 條 件 。2.A的 順 序 主 子 式 全 非 負 ， A也 未 必 是 半 正 定 的 。 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 51 例 4 設 矩 陣 顯 然 A

38、的 順 序 主 子 式 ,100 011 011 A,01| 1 A ,011 11| 2 A ,0100 011 011| 3 A但 對 角 元 有 正 有 負 ， 顯 然 A是 不 定 的 。 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 52 例 5 判 定 下 列 二 次 型 是 否 為 有 定 二 次 型 。 解 3121232221 22462 )1( xxxxxxxf 3221232221 4432 )2( xxxxxxxf (1) f 的 矩 陣 為 ,401 061 112 A順 序 主 子 式 ,02 ,01161 12 ,038| A所 以 f 是 負 定 的 。

39、 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 53 例 5 判 定 下 列 二 次 型 是 否 為 有 定 二 次 型 。 3121232221 22462 )1( xxxxxxxf 3221232221 4432 )2( xxxxxxxf (2) f 的 矩 陣 為 ,320 222 021 A順 序 主 子 式 ,01所 以 f 是 不 定 的 。 ,0222 21 解 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 54 .0 0 , 是 否 為 正 定 矩 陣矩 陣 試 判 定 分 塊階 正 定 矩 陣階分 別 為設 BAC nmBA 備 用 例 題1、于 是 不 同

40、時 為 零 向 量則若維 列 向 量維 和是 分 別其 中維 向 量為設因 為 ,0, ,),(, TTT yxznm yxnmyxz yxBAyxCzz 0 0),( TTT ,0 TT ByyAxx解 C是 正 定 的 。且 C是 實 對 稱 陣 ， 故 C是 正 定 矩 陣 。 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 55 證2. 設 A 是 m 階 實 對 稱 陣 且 正 定 ,B為 nm 實 矩 陣 ，試 證 : ABBT 為 正 定 陣 的 充 分 必 要 條 件 是 nBr )( 。 必 要 性 ： 設 ABBT 為 正 定 陣 , 則 對 任 意 實 n 維 向

41、量 ox , 有 0 TT xBABx , 即 0)()( T BxABx , 可 見 0Bx , 這 就 是 說 ,齊 次 線 性 方 程 組 0Bx 只 有 零 解 , 因 此 B 列 滿 秩 ,即 nBr )( ； 充 分 性 : 因 為 BABABB TTTT )( ABBT , 可 見 ABB T 為 實 對 稱 陣 . 將 上 述 過 程 逆 推 ,即 可 得 證 . 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 56四 、 二 次 曲 面 第 五 節(jié)一 、 曲 面 方 程 的 概 念二 、 旋 轉 曲 面 三 、 柱 面 曲 面 及 其 方 程 2021-6-6 南 京

42、郵 電 大 學 邱 中 華 57 一 、 曲 面 方 程 的 概 念求 到 兩 定 點 A(1,2,3) 和 B(2,-1,4)等 距 離 的 點 的222 )3()2()1( zyx 07262 zyx化 簡 得 即說 明 : 動 點 軌 跡 為 線 段 AB 的 垂 直 平 分 面 .引 例 :顯 然 在 此 平 面 上 的 點 的 坐 標 都 滿 足 此 方 程 , 不 在 此 平 面 上 的 點 的 坐 標 不 滿 足 此 方 程 . 222 )4()1()2( zyx解 :設 軌 跡 上 的 動 點 為 ,),( zyxM ,BMAM 則軌 跡 方 程 . 2021-6-6 南 京

43、郵 電 大 學 邱 中 華 58 定 義 1. 0),( zyxF Sz yx o如 果 曲 面 S 與 方 程 F( x, y, z ) = 0 有 下 述 關 系 :(1) 曲 面 S 上 的 任 意 點 的 坐 標 都 滿 足 此 方 程 ;則 F( x, y, z ) = 0 叫 做 曲 面 S 的 方 程 , 曲 面 S 叫 做 方 程 F( x, y, z ) = 0 的 圖 形 .兩 個 基 本 問 題 :(1) 已 知 一 曲 面 作 為 點 的 幾 何 軌 跡 時 ,(2) 不 在 曲 面 S 上 的 點 的 坐 標 不 滿 足 此 方 程 ,求 曲 面 方 程 .(2) 已

44、 知 方 程 時 , 研 究 它 所 表 示 的 幾 何 形 狀( 必 要 時 需 作 圖 ). 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 59 故 所 求 方 程 為例 1. 求 動 點 到 定 點 ),( zyxM ),( 0000 zyxM方 程 . 特 別 ,當 M0在 原 點 時 ,球 面 方 程 為解 : 設 軌 跡 上 動 點 為 RMM 0即 依 題 意距 離 為 R 的 軌 跡x yzo M0M222 yxRz 表 示 上 (下 )球 面 . Rzzyyxx 202020 )()()( 2202020 )()()( Rzzyyxx 2222 Rzyx 2021-6

45、-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 60 例 2. 研 究 方 程 042222 yxzyx解 : 配 方 得 5 ,)0,2,1(0 M此 方 程 表 示 :說 明 : 如 下 形 式 的 三 元 二 次 方 程 ( A 0 )都 可 通 過 配 方 研 究 它 的 圖 形 .其 圖 形 可 能 是的 曲 面 . 表 示 怎 樣半 徑 為 的 球 面 . 0)( 222 GFzEyDxzyxA 球 心 為 一 個 球 面 , 或 點 , 或 虛 軌 跡 .5)2()1( 222 zyx 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 61 定 義 2. 一 條 平 面 曲 線二

46、、 旋 轉 曲 面 繞 其 平 面 上 一 條 定 直 線 旋 轉一 周 所 形 成 的 曲 面 叫 做 旋 轉 曲 面 .該 定 直 線 稱 為 旋 轉軸 .例 如 : 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 62 建 立 yoz面 上 曲 線 C 繞 z 軸 旋 轉 所 成 曲 面 的 方 程 :故 旋 轉 曲 面 方 程 為,),( zyxM當 繞 z 軸 旋 轉 時 , 0),( 11 zyf ,),0( 111 CzyM 若 點給 定 yoz 面 上 曲 線 C: ),0( 111 zyM),( zyxM1221, yyxzz 則 有 0),( 22 zyxf 則 有該

47、 點 轉 到 0),( zyf o z yx C 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 63 思 考 ： 當 曲 線 C 繞 y 軸 旋 轉 時 ， 方 程 如 何 ？0),(: zyfCo yxz 0),( 22 zxyf 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 64 例 3. 試 建 立 頂 點 在 原 點 , 旋 轉 軸 為 z 軸 , 半 頂 角 為 的 圓 錐 面 方 程 . 解 : 在 yoz面 上 直 線 L 的 方 程 為cotyz繞 z 軸 旋 轉 時 ,圓 錐 面 的 方 程 為cot22 yxz )( 2222 yxaz cota令 x yz

48、兩 邊 平 方 L ),0( zyM 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 65x y 例 4. 求 坐 標 面 xoz 上 的 雙 曲 線 12222 czax 分 別 繞 x軸 和 z 軸 旋 轉 一 周 所 生 成 的 旋 轉 曲 面 方 程 . 解 :繞 x 軸 旋 轉 12 2222 c zyax繞 z 軸 旋 轉 1222 22 cza yx這 兩 種 曲 面 都 叫 做 旋 轉 雙 曲 面 .所 成 曲 面 方 程 為所 成 曲 面 方 程 為 z 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 66 x yz三 、 柱 面引 例 . 分 析 方 程表 示

49、怎 樣 的 曲 面 .的 坐 標 也 滿 足 方 程 222 Ryx 解 :在 xoy 面 上 ， 表 示 圓 C, 222 Ryx 222 Ryx 沿 曲 線 C平 行 于 z 軸 的 一 切 直 線 所 形 成 的 曲 面 稱 為 圓故 在 空 間222 Ryx 過 此 點 作柱 面 . 對 任 意 z ,平 行 z 軸 的 直 線 l , 表 示 圓 柱 面 oC在 圓 C上 任 取 一 點 ,)0,(1 yxM lM1M),( zyxM點其 上 所 有 點 的 坐 標 都 滿 足 此 方 程 , 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 67x yzx y zo l定 義

50、3. 平 行 定 直 線 并 沿 定 曲 線 C 移 動 的 直 線 l 形 成的 軌 跡 叫 做 柱 面 . 表 示 拋 物 柱 面 ,母 線 平 行 于 z 軸 ;準 線 為 xoy 面 上 的 拋 物 線 . z 軸 的 橢 圓 柱 面 .xy 22 12222 byax z 軸 的 平 面 .0yx 表 示 母 線 平 行 于 C(且 z 軸 在 平 面 上 )表 示 母 線 平 行 于C 叫 做 準 線 , l 叫 做 母 線 .x yzo o 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 68x z y2l一 般 地 ,在 三 維 空 間 柱 面 ,柱 面 ,平 行 于 x

51、 軸 ;平 行 于 y 軸 ;平 行 于 z 軸 ;準 線 xoz 面 上 的 曲 線 l3.母 線 柱 面 ,準 線 xoy 面 上 的 曲 線 l1.母 線準 線 yoz 面 上 的 曲 線 l2. 母 線 表 示方 程 0),( yxF 表 示方 程 0),( zyG 表 示方 程 0),( xzH x yz3lx yz 1l 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 69 四 、 二 次 曲 面三 元 二 次 方 程 適 當 選 取 直 角 坐 標 系 可 得 它 們 的 標 準 方 程 ,下 面 僅 就 幾 種 常 見 標 準 型 的 特 點 進 行 介 紹 .研 究 二

52、 次 曲 面 特 性 的 基 本 方 法 : 截 痕 法 其 基 本 類 型 有 : 橢 球 面 、 拋 物 面 、 雙 曲 面 、 錐 面的 圖 形 通 常 為 二 次 曲 面 . FzxEyxDxyCzByAx 222 0 JIzHyGx(二 次 項 系 數(shù) 不 全 為 0 ) 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 70 z yx1. 橢 球 面 ),(1222222 為 正 數(shù)cbaczbyax (1)范 圍 ： czbyax ,(2)與 坐 標 面 的 交 線 ： 橢 圓,0 12222 z byax ,0 12222 x czby 0 12222y czax 2021

53、-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 71 1222222 czbyax 與 )( 11 czzz 的 交 線 為 橢 圓 ：1zz(4) 當 a b 時 為 旋 轉 橢 球 面 ;同 樣 )( 11 byyy 的 截 痕）（ axxx 11及也 為 橢 圓 . 當 a b c 時 為 球 面 .(3) 截 痕 : 1)()( 212 2212 2 2222 zcyzcx cbca cba ,( 為 正 數(shù) ) z 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 72 2. 拋 物 面 zqypx 22 22(1) 橢 圓 拋 物 面 ( p , q 同 號 )(2) 雙 曲 拋

54、 物 面 （ 鞍 形 曲 面 ）zqypx 22 22 z yx特 別 ,當 p = q 時 為 繞 z 軸 的 旋 轉 拋 物 面 .( p , q 同 號 ) z yx 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 73 3. 雙 曲 面(1)單 葉 雙 曲 面by 1)1 上 的 截 痕 為平 面 1zz 橢 圓 .時 , 截 痕 為 2212222 1 byczax (實 軸 平 行 于 x 軸 ；虛 軸 平 行 于 z 軸 ）1yy zx y),(1222222 為 正 數(shù)cbaczbyax 1yy平 面 上 的 截 痕 情 況 :雙 曲 線 : 2021-6-6 南 京 郵

55、 電 大 學 邱 中 華 74虛 軸 平 行 于 x 軸 ） by 1)2 時 , 截 痕 為0czax )( bby 或by 1)3 時 , 截 痕 為 2212222 1 byczax (實 軸 平 行 于 z 軸 ;1yy zx yzx y相 交 直 線 : 雙 曲 線 : 0 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 75 (2) 雙 葉 雙 曲 面 ),(1222222 為 正 數(shù)cbaczbyax 上 的 截 痕 為平 面 1yy 雙 曲 線上 的 截 痕 為平 面 1xx 上 的 截 痕 為平 面 )( 11 czzz 橢 圓注 意 單 葉 雙 曲 面 與 雙 葉 雙

56、 曲 面 的 區(qū) 別 : 雙 曲 線 zx yo 222222 czbyax 單 葉 雙 曲 面11 雙 葉 雙 曲 面 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 76 4. 橢 圓 錐 面 ),(22222 為 正 數(shù)bazbyax 上 的 截 痕 為在 平 面 tz 橢 圓在 平 面 x 0 或 y 0 上 的 截 痕 為 過 原 點 的 兩 直 線 .zx yo1)()( 2222 tbytax tz,可 以 證 明 , 橢 圓 上 任 一 點 與 原 點 的 連 線 均 在 曲 面 上 .(橢 圓 錐 面 也 可 由 圓 錐 面 經 x 或 y 方 向 的 伸 縮 變 換得

57、 到 。 ) x yz 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 77r 例 8.直 線 1101: zyxL 繞 z 軸 旋 轉 一 周 , 求 此 旋 轉轉 曲 面 的 方 程 . 提 示 : 在 L 上 任 取 一 點 ),1( 000 zyM軸繞為設 zMzyxM 0),( 旋 轉 軌 跡 上 任 一 點 , L xoz y0MM 則 有00 zy z22 yx 201 y得 旋 轉 曲 面 方 程 1222 zyx r，代 入 第 二 方 程將 zy 0 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 78 化 為 標 準 型 ， 并 指 出 表 示 何 種 二 次

58、1),( 321 xxxf 曲 面 .323121232221321 662355),( xxxxxxxxxxxxf 例 9. 求 一 正 交 變 換 ， 將 二 次 型解 ,333 351 315 A ,)9)(4(| AE ,9,4,0 321 的 特 征 值 為于 是 A .111,011,211 321 對 應 特 征 向 量 為 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 79 .111,011,211 321 再 單 位 化 ， 合 在 一 起 ， 即 得 所 求 正 交 變 換 的 矩 陣,31062 312161 312161 P ,PYX 2322 94 yyf 二

59、 次 型 的 標 準 形.1),( 321 表 示 橢 圓 柱 面可 知 xxxf 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 80 一 、 空 間 曲 線 的 一 般 方 程二 、 空 間 曲 線 的 參 數(shù) 方 程 三 、 空 間 曲 線 在 坐 標 面 上 的 投 影第 六 節(jié) 空 間 曲 線 及 其 方 程 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 81 一 、 空 間 曲 線 的 一 般 方 程空 間 曲 線 可 視 為 兩 曲 面 的 交 線 ,其 一 般 方 程 為 方 程 組 0),( 0),( zyxG zyxF 2S L 0),( zyxF0),( z

60、yxG 1S例 如 ,方 程 組 632 122 zx yx表 示 圓 柱 面 與 平 面 的 交 線 C. x z y1o C2 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 82 又 如 ,方 程 組表 示 上 半 球 面 與 圓 柱 面 的 交 線 C. 022 222 xayx yxaz yxz ao 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 83 z yx o二 、 空 間 曲 線 的 參 數(shù) 方 程將 曲 線 C上 的 動 點 坐 標 x, y, z表 示 成 參 數(shù) t 的 函 數(shù) :稱 它 為 空 間 曲 線 的 參 數(shù) 方 程 .)(txx例 如 ,圓 柱

61、 螺 旋 線 vbt ,令 bz ay ax sincos,2 時當 bh 2tax cos tay sin tvz 的 參 數(shù) 方 程 為上 升 高 度 , 稱 為 螺 距 .)(tyy )(tzz M 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 84 例 1. 將 下 列 曲 線 化 為 參 數(shù) 方 程 表 示 : 632 1)1( 22 zx yx 0)2( 22 222 xayx yxaz解 : (1) 根 據(jù) 第 一 方 程 引 入 參 數(shù) , tx cos ty sin )cos26(31 tz (2) 將 第 二 方 程 變 形 為 ,)( 4222 2aa yx 故

62、所 求 為得 所 求 為tx aa cos22 ty asin2 taz cos2121 )20( t )20( t 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 85 例 2. 求 空 間 曲 線 : )(tx )(ty )(tz )( t 繞 z 軸 旋 轉時 的 旋 轉 曲 面 方 程 .解 : ,)(,)(,)(1 tttM 任 取 點 點 M1繞 z 軸 旋 轉 , 轉 過 角 度 后 到 點 ,),( zyxM 則 cos)()( 22 ttx sin)()( 22 tty )(tz 20 t這 就 是 旋 轉 曲 面 滿 足 的 參 數(shù) 方 程 . 2021-6-6 南

63、京 郵 電 大 學 邱 中 華 86 例 如 , 直 線 1x ty tz 2 繞 z 軸 旋 轉 所 得 旋 轉 曲 面 方 程 為 cos1 2tx sin1 2ty tz 2 20 t消 去 t 和 , 得 旋 轉 曲 面 方 程 為4)(4 222 zyx x zo y 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 87 繞 z 軸 旋 轉 所 得 旋 轉 曲 面 ( 即 球 面 ) 方 程 為 又 如 , xoz 面 上 的 半 圓 周 sinax0y cosaz cossinax sinsinay cosaz )0( 200說 明 : 一 般 曲 面 的 參 數(shù) 方 程 含

64、 兩 個 參 數(shù) , 形 如),( tsxx ),( tsyy ),( tszz 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 88 三 、 空 間 曲 線 在 坐 標 面 上 的 投 影設 空 間 曲 線 C 的 一 般 方 程 為消 去 z 得 投 影 柱 面則 C 在 xoy 面 上 的 投 影 曲 線 C為消 去 x 得 C 在 yoz 面 上 的 投 影 曲 線 方 程消 去 y 得 C 在 zox 面 上 的 投 影 曲 線 方 程 0),( 0),( zyxG zyxF,0),( yxH 0 0),(z yxH 0 0),(x zyR 0 0),(yzxT z yx CC

65、 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 89 z yx C1o例 如 ,在 xoy 面 上 的 投 影 曲 線 方 程 為 0 022 22 z yyx 1)1()1( 1: 222 222 zyx zyxC 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 90zx yo 1C 又 如 ,所 圍 的 立 體 在 xoy 面 上 的 投 影 區(qū) 域 為 :上 半 球 面 和 錐 面224 yxz )(3 22 yxz 0 122 z yx在 xoy 面 上 的 投 影 曲 線 )(34: 22 22 yxz yxzC二 者 交 線 .0,122 zyx所 圍 圓 域 : 二 者 交 線 在xoy 面 上 的 投 影 曲 線 所 圍 之 域 . 2021-6-6 南 京 郵 電 大 學 邱 中 華 91 22 yxz 122 zyx yxz 122 yxyx 0 122z yxyx例 3. 求 平 面 曲 線 繞 z 軸 旋 轉 的 曲 面 與 平 面 的 交 線 在 xoy 平 面 的 投 影 曲 線 方 程 . 1 zyx 解 ： 旋 轉 曲 面 方 程 為交 線 為此 曲 線 向 xoy 面 的 投 影 柱 面 方 程 為 此 曲 線 在 xoy 面 上 的 投 影 曲 線 方 程 為 2yz 0 x ,它 與 所 給 平 面 的